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2025人教A版高一数学上学期期末质量检测试卷
一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（ ）天．（参考数据：，，）
A．9 B．15 C．25 D．35
5．设 ，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图是摩天轮的示意图，已知摩天轮半径为40米，摩天轮中心到地面的距离为41米，每30分钟按逆时针方向转动1圈．若初始位置是从距地面21米时开始计算时间，以摩天轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系．设从点运动到点时所经过的时间为（单位：分钟），且此时点距离地面的高度为（单位：米），则是关于的函数．当时，（ ）

A． B．
C． D．
7．已知是正实数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．12 D．
8．已知函数是定义在的单调函数，且对于任意的，都有，若关于的方程恰有两个实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题中正确的有（ ）
A．幂函数，且在单调递减，则
B．的单调递增区间是
C．定义域为，则
D．的值域是
10．下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，，对，与中的最大值记为，则（ ）
A．函数的零点为， B．函数的最小值为
C．方程有3个解 D．方程最多有4个解
三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．写出函数在上的一个减区间： .
13．已知函数在R上单调递增，则实数的取值范围为 .
14．偶函数满足，且当时，，则 ，则若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．计算：
(1)；
(2).
16．已知，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
17．已知函数是定义在上的偶函数，当时，
(1)求函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
18．已知函数在区间上的最小值为．
(1)求常数的值；
(2)将函数向右平移个单位，再向下平移个单位，得到函数，请求出函数，的单调递减区间．
19．已知是定义在上的奇函数.
(1)求的解析式；
(2)已知，若对于任意，存在，使得成立，求的取值范围.
答案解析
一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解不等式求得集合，进而求得.
【详解】由，得，
所以，，
则.
故选：D
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】由，得或，
因此“若，则”是假命题，“若，则”是假命题，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：D
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式可得，再由二倍角余弦公式求.
【详解】由，即，
又.
故选：D
4．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（ ）天．（参考数据：，，）
A．9 B．15 C．25 D．35
【答案】D
【分析】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则，然后利用对数的运算和题目所给的数据求出的值即可.
【详解】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则，
∴，
故选：D．
5．设 ，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，求得和，即可求解.
【详解】由指数函数在定义域上为单调递增函数，所以，
又由对数函数 在上为单调递减函数，所以，
所以，即.
故选：D.
6．如图是摩天轮的示意图，已知摩天轮半径为40米，摩天轮中心到地面的距离为41米，每30分钟按逆时针方向转动1圈．若初始位置是从距地面21米时开始计算时间，以摩天轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系．设从点运动到点时所经过的时间为（单位：分钟），且此时点距离地面的高度为（单位：米），则是关于的函数．当时，（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先由题意得到，进而得到后，以为始边，为终边的角，从而得到点的纵坐标为，即距地面的高度函数求解．
【详解】由题意得，而是以为始边，为终边的角，
由在内转过的角为，可知以为始边，
为终边的角为，则点的纵坐标为，
所以点距地面的高度为，
故选：A.
7．已知是正实数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．12 D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式求得正确答案.
【详解】，
当且仅当，时等号成立.
故选：B
8．已知函数是定义在的单调函数，且对于任意的，都有，若关于的方程恰有两个实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，设，得到，结合，求得，把方程转化为和有两个交点，设，得到，结合二次函数的性质，得到和，即可求解.
【详解】因为函数是的单调函数，且对于任意的，都有，
所以为定值，设，可得，
又由，可得，解得或（舍去），
所以，则方程，即，即，
则关于的方程恰有两个实数根，即，
即函数和有两个交点，
设，则，即且，可得，
当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，
所以，且，当时，，
要使得方程恰有两个实数根，可得，解得，
即实数的取值范围为.
故选：C.
二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题中正确的有（ ）
A．幂函数，且在单调递减，则
B．的单调递增区间是
C．定义域为，则
D．的值域是
【答案】ACD
【分析】对于A：根据幂函数的概念和性质解答；对于B：先求出定义域后即可判断；对于C：验证，对于，求即可；对于D：利用换元法求函数值域.
【详解】对于A：，解得，正确；
对于B：由得的定义域为，故单调区间不可能为，错误；
对于C：当时，，定义域为，当时，对于，其，解得，综合，正确；
对于D：令，则，且，
则，由二次函数的性质可得，正确.
故选：ACD.
10．下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】逆用二倍角的正弦、余弦、正切公式、两角和的正弦公式进行求解即可.
【详解】A：因为，
所以本选项不正确；
B：因为，
所以本选项正确；
C：因为
所以本选项正确；
D：因为，
所以本选项正确，
故选：BCD
11．已知函数，，对，与中的最大值记为，则（ ）
A．函数的零点为， B．函数的最小值为
C．方程有3个解 D．方程最多有4个解
【答案】BCD
【分析】根据函数解析式，结合函数性质及函数新定义对选项一一分析即可.
【详解】对于A，由，即，得或，所以的零点为和3，所以A不正确；
对于B，因为的解为和，由与的图象可知，

当时，有最小值，所以B正确；
对于C，因为的图象与有3个交点，

所以方程有3个解，所以C正确；
对于D，令，因为，由选项B中的图象可知，
当时，最多有2个解，，
当时，有2个解；而有2个解，
故最多有4个解，所以D正确．
故选：BCD．
三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．写出函数在上的一个减区间： .
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用余弦函数的单调性求解即可.
【详解】函数的减区间为的增区间，即，
据此只需写内的任何一个非空子集，例如.
故答案为：（答案不唯一）
13．已知函数在R上单调递增，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据指数函数性质并结合临界值的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】由于函数在上单调递增，
所以需要满足：，解得，
故答案为：.
14．偶函数满足，且当时，，则 ，则若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据函数的周期性定义、偶函数的定义、零点定义，结合数形结合思想进行求解即可.
【详解】由，所以函数的周期为，而是偶函数，因此有；
，
原问题转化为函数的图象与直线有四个交点，如下图所示：
当直线经过点时，符合题意，因为直线恒过，
因此此时，
所以要想函数有4个零点，则实数的取值范围是，
故答案为：；
【点睛】方法点睛：函数零点的个数问题往往转化为两个函数的图象交点个数问题，利用数形结合思想进行求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．计算：
(1)；
(2).
【答案】(1)4
(2)2
【分析】（1）根据指数的运算性质即可化简计算；
（2）利用换底公式，换成已知对数即可化简求值.
【详解】（1）原式
.
（2）原式
.
16．已知，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用同角三角函数基本关系求出正切值，再利用两角差的正切公式求解即可；
（2）利用二倍角公式结合两角差的余弦公式求解即可..
【详解】（1）因为，所以，
又，所以，所以，
所以，
所以；
（2），
，
则.
17．已知函数是定义在上的偶函数，当时，
(1)求函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用偶函数定义直接可得解析式；
（2）利用函数的奇偶性，根据单调性可去掉符号，再考虑到定义域即可求出的范围．
【详解】（1）设，则，，
由为偶函数有，
故.
（2）当时，
因为对称轴为，则此时为单调递增函数，
由偶函数可知在上为减函数，
又因为，
所以，
故有，即，
故.
18．已知函数在区间上的最小值为．
(1)求常数的值；
(2)将函数向右平移个单位，再向下平移个单位，得到函数，请求出函数，的单调递减区间．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用三角恒等变换公式将函数化简，再由的取值范围，求出，即可求出函数值的取值范围，从而得解；
（2）首先得到平移后的函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为
，
当时，，
所以，则，
因为的最小值为，所以；
（2）由（1）得，，
将函数向右平移个单位得到，
再向下平移个单位，得到函数，
令，，
则，，
即的单调递减区间为，，
由可得函数在上的单调递减区间为，
19．已知是定义在上的奇函数.
(1)求的解析式；
(2)已知，若对于任意，存在，使得成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据奇函数的性质，计算出，，然后在代回原函数中检验即可；
（2）不等式成立等价于，两个函数的最大值均由函数单调性法求出.
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以有，即，
又，化简得：，，
而此时， ，
（2）令，
∵且单调递减，∴在上单调递减，
又∵在上单调递减，
在上单调递减且的最大值是，
又令，对于任意，存在，
使得，等价于成立，即成立，
，则在上单调递减，
，故，解得，
综上所述，实数的取值范围为

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