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2025人教A版高一数学上学期期末综合检测试卷
一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．16 D．20
4．若函数，在上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．若关于的不等式的解集中恰好有3个整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数， 若方程有九个不同实根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．关于函数，下列说法中正确的有（ ）
A．是奇函数 B．在区间上单调递增
C．为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为
10．下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知a，b为正实数，且，则（ ）
A．ab的最大值为4 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为2
三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．将函数的图象沿x轴向右平移个长度单位后，得到一个偶函数的图象，则的最小值为 ．
13．若， 且， 则 ．
14．设是定义在上的奇函数，且当时，，则关于x的不等式的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知，.
(1)求的值；
(2)若，且，求的值.
16．（1）已知角以x轴的非负半轴为始边，为终边上一点．求的值；
（2）已知都是锐角，，求的值．
17．国庆黄金周期间，旅游潮、探亲潮必将形成高交通压力现象已知某火车站候车厅，候车人数与时间相关，时间单位：小时满足，经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数为人，当，候车人数相对于满厅人数会减少，减少人数与成正比，且时间为点时，候车人数为人，记候车厅候车人数为．
(1)求的表达式，并求当天中午点时，候车厅候车人数
(2)铁路系统为了体现“人性化”管理，每整点时会给旅客提供的免费面包数量为，则当为何值时需要提供的免费面包数量最少.
18．函数（且）是定义在R上的奇函数．
(1)求a的值，并判断的单调性，并证明；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
19．已知函数，其中，.
（1）若，，且对任意的，都有，求实数的取值范围；
（2）若，，且在单调递增，求的最大值.
答案解析
一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】化简集合，判断两个集合之间的关系即可得答案.
【详解】由题可得，，
所以，且 ，，.
故选：B.
2．若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分子分母同除以，再代入求值即可.
【详解】根据题意得：
故选：C.
3．已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．16 D．20
【答案】B
【分析】根据给定条件结合“1”的妙用即可求出的最小值.
【详解】因正数，满足，则，
当且仅当，即时取“=”，由及解得：，
所以当时，取得最小值8.
故选：B
4．若函数，在上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】要求分段函数的两段均递增，且左侧函数值不大于右侧函数值．
【详解】由题意，得，
故选：B
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式求解可得答案.
【详解】令，故，，
故.
故选：B.
6．若关于的不等式的解集中恰好有3个整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式的解法分类讨论求解即可.
【详解】不等式因式分解为.
①当时，不等式为，不等式无解，不合题意；
②当时，不等式的解为，
若不等式的解集中恰好有3个整数，这3个整数必为，0，1，
必有，解得；
③当时，不等式的解为，
若不等式的解集中恰好有3个整数，这3个整数必为，0，1，
必有，解得.
由①②③可知实数的取值范围为.
故选：D.
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用指对数的运算，结合指数、对数的性质即可判断大小关系.
【详解】，，，
∴，
故选：D
【点睛】本题考查了比较指对数的大小，应用了指对数运算及性质，属于简单题.
8．已知函数， 若方程有九个不同实根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】画出的函数图象，根据图形可得本题等价于在有两个零点，其中1个零点为1，则可列出不等式组求出的范围，进而求出结果.
【详解】画出的函数图象如下，
由图可知，若方程有九个不同实根，
则或，其中或，
令，
则在有两个零点，其中1个零点为1，
则，解得且，
，
且，
故的取值范围是.
故选：A.
二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．关于函数，下列说法中正确的有（ ）
A．是奇函数 B．在区间上单调递增
C．为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为
【答案】BCD
【分析】根据题意，结合正切函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】A中，由正切函数的性质，可得为非奇非偶函数，所以A错误；
B中，令，可得，
即为函数的单调递增区间，令，可得，所以B正确；
C中，令，可得，
令，可得，故为其图象的一个对称中心，所以C正确；
D中，函数的最小正周期为，所以D正确.
故选：BCD.
10．下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】利用两角和差的正弦公式、正切公式的逆运用可以分别计算出A、D选项，利用二倍角正弦公式的逆运用可以计算出B选项，根据降幂公式可以化简病求出C选项.
【详解】对于A选项，，所以A正确；
对于B选项，，所以B不正确；
对于C选项，，所以C不正确；
对于D选项，，所以D正确；
故选：AD.
11．已知a，b为正实数，且，则（ ）
A．ab的最大值为4 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为2
【答案】BD
【分析】根据基本不等式及“1”代换即可判断各选项.
【详解】对于A，，
因为（当且仅当时取“=”），
所以ab的最小值为4，A错误；
对于B，由，得（当且仅当时取“=”），B正确；
对于C，（当且仅当时，取“=”），C错误；
对于D，（当且仅当时，取“=”），D正确．
故选：BD．
三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．将函数的图象沿x轴向右平移个长度单位后，得到一个偶函数的图象，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】根据图象平移求得平移后的函数解析式，根据三角函数是偶函数，即可求得，即可求出的最小值.
【详解】函数的图象沿x轴向右平移个单位后，
得，因为其为偶函数，
故可得，得，
则，当，有.
故答案为：.
13．若， 且， 则 ．
【答案】/-0.2
【分析】根据已知条件，可以求出的值，利用正切函数的二倍角公式可求得的值，然后利用余弦函数的二倍角公式以及对所求式进行转化，转化为只含有的式子进行求解.
【详解】由得，故，
所以，解得，或.
因为，所以，
所以
.
故答案为：
14．设是定义在上的奇函数，且当时，，则关于x的不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】求出分段函数的解析式，对分类讨论并构造函数，利用单调性即可算出.
【详解】结合题意：若，则，
所以，
因为是定义在上的奇函数，
所以，
即，
因为是定义在上的奇函数，所以，
所以，
当时，，而，此时不满足；
当时，，而，此时不满足；
当时，要使，只需，
即，令，
则在上单调递增，且,
而，解得.
即的解集为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知，.
(1)求的值；
(2)若，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两角差正切公式求得，然后化弦为切及二倍角公式，结合“1”的代换化弦为切求解即可；
（2）先利用同角三角函数关系求得，然后利用两角和正切公式求值，最后根据角的范围确定角的大小.
【详解】（1）因为，，
所以，解得，
所以；
（2）因为，且，所以，所以.
所以，
又因为，，所以，所以.
16．（1）已知角以x轴的非负半轴为始边，为终边上一点．求的值；
（2）已知都是锐角，，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由三角函数定义以及诱导公式化简求值即可.
（2）由题意结合两角差的余弦公式以及平方关系、角的范围即可求解.
【详解】（1）
（2）由，可得，
又由，有，
，
．
17．国庆黄金周期间，旅游潮、探亲潮必将形成高交通压力现象已知某火车站候车厅，候车人数与时间相关，时间单位：小时满足，经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数为人，当，候车人数相对于满厅人数会减少，减少人数与成正比，且时间为点时，候车人数为人，记候车厅候车人数为．
(1)求的表达式，并求当天中午点时，候车厅候车人数
(2)铁路系统为了体现“人性化”管理，每整点时会给旅客提供的免费面包数量为，则当为何值时需要提供的免费面包数量最少.
【答案】(1)，人
(2)
【分析】（1）由题意，设出函数，建立方程，解得函数解析式，则求得函数值，可得答案；
（2）由（1）的函数解析式，分段整理函数解析式，求得最值，比较可得答案.
【详解】（1）当时，设，，则，
，
故当天中午点时，候车厅候车人数为人.
（2）当，，当且仅当时等号成立；
当时，．
又，所以当时，需要提供的面包数量最少．
18．函数（且）是定义在R上的奇函数．
(1)求a的值，并判断的单调性，并证明；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，单调递增，证明见详解；
(2)
【分析】（1）由奇函数的性质可得，求出的值，再利用函数奇偶性的定义验证即可，判断出函数在R上为增函数，然后利用函数单调性的定义证明即可；
（2）由（1）知在上单调递增，得，问题转化为，利用函数单调性求出最值得解.
【详解】（1）由题意，得，解得，
当时，，则，
所以函数为奇函数，合题意，故.
函数为R上的增函数.证明如下：
任取，且，则
，
，，即，，，
所以，即，
所以函数为R上的增函数.
（2）由（1）得在上单调递增，，
存在，使得成立，即，
令，易知在上单调递增，
所以.即，当且仅当时等号成立，
，所以实数的取值范围为.
【点睛】思路点睛：第二问，由在上单调递增，得，将原问题转化为，只需即可，换元令，在上单调递增，求出最小值可得的取值范围.
19．已知函数，其中，.
（1）若，，且对任意的，都有，求实数的取值范围；
（2）若，，且在单调递增，求的最大值.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）代入,可求得的解析式.代入不等式化简,将不等式化简为关于的二次函数形式,结合即可求得的取值范围.
（2）解法1:根据条件可求得函数的对称轴,且由可得的表达式.再根据在单调递增,可得关于的不等式组,解不等式组即可求得的最大值.
解法2:根据在单调递增可先求得的取值范围,结合可得函数的对称轴, 且由可得的表达式.根据可求得的值,再求得于的值,即可得的解析式.进而求得满足在单调递增时的最大值.
【详解】（1）∵,
∴
∴,即
∵
∴
∴当时,
∴
（2）解法1：∵
∴为图像的对称轴
又
∴
两式相减得
∴
∵在单调递增,令
∴在单调递增
∴,则,
①+②得
∴
∵
∴当时取到最大值为
解法2：在单调递增
∴
∴
∵
∴为图像的对称轴
又
∴
两式相加得
∵
∴或
①当时,,得,
②当时,得,
当,时
时,
则满足条件在单调递增,所以的最大值为.
【点睛】本题考查了正弦函数的图像与性质的综合应用,三角函数的对称性及单调性的性质,根据条件求参数的取值范围,综合性强,对分析问题解决问题的能力要求较高,属于中档题.

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