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习题课五　波的图像与振动图像的综合问题　波的多解问题
题组一　波的图像与振动图像的综合问题
1.一列简谐横波沿x轴正方向传播，图甲是t＝1 s时的波形图，图乙是波中某质点的振动位移随时间变化的振动图像，图乙的振动图像对应图甲上的质点可能是（　　）
A.x＝1 m处的质点 B.x＝2 m处的质点
C.x＝3 m处的质点 D.x＝4 m处的质点
2.如图所示，图（a）为一列简谐横波在t＝0.1 s时刻的波形图，Q是平衡位置为x＝4 m处的质点，图（b）为质点Q的振动图像，则下列说法正确的是（　　）
A.该波的周期是0.1 s
B.该波沿x轴的正方向传播
C.该波的传播速度为40 m/s
D.t＝0.4 s时，质点Q的速度方向向下
3.（多选）一列横波在某介质中沿x轴传播，t＝0.75 s时的波形图如图甲所示，x＝1.5 m处的质点P的振动图像如图乙所示，则下列说法正确的是（　　）
A.图甲中质点N速度方向沿y轴正方向
B.图甲中质点M的速度与加速度均为零
C.再经过t＝0.5 s质点L与质点N的位移相同
D.再经过t＝1.75 s质点P第一次到达波峰
4.（多选）一简谐横波沿x轴正方向传播，在t＝时刻，该波的波形图如图（a）所示，P、Q是介质中的两个质点。图（b）表示介质中某质点的振动图像。下列说法正确的是（　　）
A.质点Q的振动图像与图（b）相同
B.在t＝0时刻，质点P的加速度的大小比质点Q的大
C.平衡位置在坐标原点的质点的振动图像如图（b）所示
D.在t＝0时刻，质点P与其平衡位置的距离比质点Q的大
5.（多选）一列简谐横波沿x轴方向传播，在t＝0.25 s时的波形图如图甲所示，图乙为x＝1.5 m处质点b的振动图像，下列说法正确的是（　　）
A.该波的波速为2 m/s
B.该波沿x轴正方向传播
C.质点a（x＝1 m）在t＝0.25 s到t＝1.25 s的时间内沿x轴正方向运动了2 m
D.质点d（x＝3 m）在t＝0.75 s时处于平衡位置，并沿y轴负方向运动
题组二　波的多解问题
6.（多选）（2023·浙江温州市高二联考）一列简谐波沿直线传播，先后经过a、b两点，a、b两点间距为1 m，图甲为a点振动图像，图乙为b点振动图像。下列说法正确的是（　　 ）
A.波长可能为4 m
B.波的速度可能为0.20 m/s
C.波源的振动频率是4 Hz
D.t＝2 s时，a点向y轴负方向运动
7.（多选）如图所示，一列横波在x轴上传播，在t1＝0时刻的波形如图中实线所示，t2＝0.10 s时刻的波形如图中虚线所示，下列说法中正确的是（　　）
A.由该波形曲线读出这列波的振幅为0.2 m
B.该波形曲线上x＝5 m的质点振动的周期可能是0.3 s
C.若周期大于（t2－t1），则可能的最小波速是 20 m/s
D.若周期大于（t2－t1），则可能的最大波速是 140 m/s
8.（多选）一列沿x轴正方向传播的简谐横波，在波的传播方向上两质点a、b的平衡位置相距6 m，a、b的振动图像分别如图甲、乙所示。下列说法正确的是（　　）
A.该波的周期为12 s
B.该波的波长可能为24 m
C.质点b在波谷位置时，质点a在平衡位置沿y轴负方向运动
D.质点a在0～4 s内通过的路程为6 cm
9.（多选）一列简谐横波在均匀介质中沿直线传播，P、Q是传播方向上相距8 m的两质点，波先传到P，当波传到Q开始计时，P、Q两质点的振动图像如图所示。则（　　）
A.质点Q开始振动的方向沿y轴正方向
B.该波从P传到Q的时间可能为7 s
C.该波的传播速度可能为2 m/s
D.若质点P振动的振幅为A，从2 s开始计时，P点的振动方程为y＝Asinm
10.一列简谐横波沿x 轴正方向传播，t时刻波形图如图中的实线所示，此时波刚好传到P点，t＋0.6 s时刻的波形如图中的虚线所示，a、b、c、P、Q 是介质中的质点。下列说法错误的是（　　）
A.这列波的波速可能为50 m/s
B.质点a 在这段时间内通过的路程一定小于30 cm
C.质点c 在这段时间内通过的路程可能为60 cm
D.若周期T＝0.8 s，则在t＋0.5 s时刻，质点b、P 的位移相同
11.一列简谐横波的图像如图所示，t1时刻的波形如图中实线所示，t2时刻的波形如图中虚线所示，已知Δt＝t2－t1＝0.5 s，
（1）这列波的周期可能是多大？
（2）这列波可能的波速表达式是怎样的？
（3）若波向左传播，且3T＜Δt＜4T，波速为多大？
（4）若波速v＝68 m/s，则波向哪个方向传播？
习题课五　波的图像与振动图像的综合问题
波的多解问题
1.B　波沿x轴正方向传播，由题图乙可得在 t＝1 s时刻，质点在平衡位置且向y轴负方向运动，由题图甲及简谐波沿x轴正方向传播可判断x＝2 m处的质点在平衡位置且沿y轴负方向运动，故B正确，A、C、D错误。
2.C　由图（b）得到该波的周期为T＝0.2 s，故A错误；由图（b）所示图像可知，t＝0.1 s时Q点处在平衡位置上且向下振动，根据波形平移法可知该波沿x轴负方向传播，故B错误；由图（a）得到该波的波长为λ＝8 m，波速v＝＝ m/s＝40 m/s，故C正确；由图（b）可知，t＝0.1 s时Q点处在平衡位置上且向下振动，根据振动规律可知t＝0.4 s时Q的速度方向向上，故D错误。
3.AD　由题图乙可知质点P在t＝0.75 s时沿y轴负方向运动，结合上下坡法可得该波沿x轴负方向运动，故题图甲中N点速度方向沿y轴正方向，故A正确；题图甲中质点M处于波谷位置，速度为零，加速度最大，故B错误；再经过t＝0.5 s质点L与质点N分别位于波谷与波峰，位移不同，故C错误；P点距离右侧最近的波峰Δx＝3.5 m，波速v＝＝2 m/s，所以传播到P点的时间为Δt＝＝ s＝1.75 s，故D正确。
4.BCD　t＝时刻，题图（b）表示介质中的某质点从平衡位置向下振动，而题图（a）中质点Q在t＝时刻从平衡位置向上振动，平衡位置在坐标原点的质点从平衡位置向下振动，所以质点Q的振动图像与题图（b）不同，平衡位置在坐标原点的质点的振动图像如题图（b）所示，选项A错误，C正确；在t＝0时刻，质点P处在波谷位置，速率为零，与其平衡位置的距离最大，加速度最大，而质点Q处在平衡位置，速度最大，加速度为零，即在t＝0时刻，质点P的加速度比质点Q的大，质点P与其平衡位置的距离比质点Q的大，选项B、D正确。
5.AB　根据题图甲可得λ＝4 m，根据题图乙可得T＝2 s，则波的速度为v＝＝2 m/s，A正确；在t＝0.25 s时，b点振动方向向上，由波形平移法知该波沿x轴正方向传播，B正确；质点a只在自己的平衡位置附近上下振动，并不随着波向右迁移，C错误；题图甲为t＝0.25 s时的波形图，到t＝0.75 s时经过了的时间是，即t＝0.75 s时，质点d处于平衡位置，并正在向y轴正方向运动，D错误。
6.AB　根据两个振动图像可知，b点振动相比a点至少延后了周期，则有λ＝1 m，（n＝0，1，2，3…），可得，该波的波长为λ＝ m，（n＝0，1，2，3…），可知，当n＝0时，该波的波长为4 m，故A正确；由图可知，波的周期为4 s，则该波的波速为v＝＝ m/s，（n＝0，1，2，3…），可知当n＝1时，波的速度为0.20 m/s，故B正确；波的周期为4 s，则波源的振动频率为0.25 Hz，故C错误；由图甲可知，t＝2 s时，a点在平衡位置，向y轴正方向运动，故D错误。
7.CD　由该波形图读出这列波的振幅为0.2 cm，故A错误；若波向右传播，周期满足关系式Δt＝＋nT（n＝0，1，2，…），解得T＝ s（n＝0，1，2，…），当波向左传播时，周期满足关系式Δt＝＋nT（n＝0，1，2，…），解得 T＝ s（n＝0，1，2，…），由数学关系知无论n取何值，周期都不可能为0.3 s，故B错误；由图可知该波的波长为8 m，若周期大于（t2－t1），即Δt＜2T，当波沿x轴正方向传播时，波速v＝＝（n＝0，1），当n＝0时，v＝20 m/s，当n＝1时，v＝100 m/s，当波沿x轴负方向传播时，v＝＝（n＝0，1），当n＝0时，v＝60 m/s，当n＝1时，v＝140 m/s，故C、D正确。
8.ACD　根据质点振动图像可确定周期为12 s，故A正确；由a、b的振动图像可确定a、b间相差λ（其中n＝0，1，2，3，…），所以6 m＝λ，λ＝ m，n＝0时为最大波长，λ＝8 m，不可能为24 m，故B错误；由两振动图像可知，质点b在波谷位置时，质点a在平衡位置沿y轴负方向运动，故C正确；根据三角函数关系可知，0～4 s为，其通过的路程为一个振幅 4 cm，加上振幅的一半，等于6 cm，故D正确。
9.ACD　由图线可知，质点Q开始起振的方向沿y轴正方向，故A正确；振动由P向Q传播，由振动图像可知周期T＝6 s，质点Q的振动图像向左4 s后与P点的振动重合，故振动从P传到Q的时间可能为nT＋4 s＝（6n＋4）s（其中n＝0，1，2，3…），故不可能为7 s，故B错误；根据（nT＋4 s）v＝8 m，得 v＝ m/s（n＝0，1，2，3，…），当 n＝0时，波速为2 m/s，故C正确；因为ω＝＝，则从2 s开始计时，P点的振动方程为y＝Asin ωt＝Asin（t）m，故D正确。
10.B　由波形图可知波长λ＝40 m，且0.6 s＝nT＋T（n＝0，1，2，…），解得周期T＝ s（n＝0，1，2，…）。当n＝0 时，T＝0.8 s，波速v＝＝50 m/s，选项A正确。由波的传播方向沿x轴正方向可知，质点a在t时刻向上运动，当n＝0时，T＝0.8 s，则质点a在这段时间内通过的路程小于30 cm；当n＝1 时，T＝ s，质点a在这段时间内通过的路程大于30 cm，选项B错误。若n＝1，则T＝ s，波传播到c点所用时间为T，0.6 s＝，质点c 振动的时间为T－T＝T，故在这段时间内质点c 通过的路程为6A＝60 cm，选项C正确。若T＝0.8 s，t＋0.5 s 时刻，质点b、P 的位移均为负值且大小相等，选项D正确。
11.见解析
解析：（1）（2）由题图可知波长λ＝8 m，
当波向右传播时Δt＝nT1＋
T1＝ s（n＝0，1，2，…）
v右＝＝4（4n＋1）m/s（n＝0，1，2，…）
当波向左传播时Δt＝nT2＋T2
T2＝ s（n＝0，1，2，…）
v左＝＝4（4n＋3）m/s（n＝0，1，2，…）。
（3）若波向左传播，且3T＜Δt＜4T
则Δt＝3T，
得T＝ s，v1＝＝60 m/s。
（4）Δt时间内波传播的距离为x＝vΔt＝68×0.5 m＝34 m＝4λ，故波向右传播。
3 / 4习题课五　波的图像与振动图像的综合问题　波的多解问题
要点一　波的图像与振动图像的综合问题
1.振动图像与波的图像的比较
振动图像 （y-t图像） 波的图像 （y-x图像）
物理意义 某一质点的位移随时间变化的规律 某时刻所有质点振动的位移
图像
图像信息 直读 （1）周期T、振幅A； （2）各时刻质点的位移 （1）波长λ、振幅A； （2）任意一质点在该时刻的位移
判断 各时刻速度、加速度方向 （1）任意一质点在该时刻加速度方向； （2）传播方向、振动方向的互判
图像变化 随时间推移，图像延续，但已有形状不变 随时间推移，图像沿传播方向平移
形象比喻 一个人在一段时间内活动的“录像” 一群人在某时刻动作的“拍照”
2.求解波的图像与振动图像的综合问题的“三步曲”
【典例1】　（多选）图甲为一列简谐横波在t＝2 s时的波形图，图乙为这列波上质点P的振动图像，则下列说法正确的是（　　）
A.该横波向右传播，波速为0.4 m/s
B.t＝2 s时，质点Q的振动方向为y轴负方向
C.在2～4 s时间内，质点P沿x轴向右平移2.0 m
D.在2～4 s时间内，质点Q通过的路程为10 cm
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.（2023·四川眉山市高二月考）图甲是一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t＝0时刻的波形图，P是平衡位置在x＝2 cm的质点，Q是平衡位置在x＝4 cm的质点，此时平衡位置在x＝6 cm的质点刚要开始振动，图乙是该简谐波传播方向上的某一质点的振动图像（计时起点相同），由此可知（　　）
A.这列波的波长λ＝4 m
B.这列波的波源起振方向为向下
C.这列波的传播速度v＝2 m/s
D.图乙可能是图甲中质点P的振动图像
2.（多选）图甲为某一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t＝0.5 s时的波形图，图乙为波上某一质点的振动图像，则下列说法正确的是（　　）
A.该简谐横波的传播速度为4 m/s
B.图乙可能是图甲中P质点的振动图像
C.从此时刻起，P质点比Q质点先回到平衡位置
D.从此时刻起，经过4 s，P质点运动了1.6 m的路程
要点二　波的多解问题
1.波的多解问题形成的原因
（1）波的周期性造成多解
①时间的周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。
②空间的周期性：波的传播距离Δx与波长λ的关系不明确。
（2）传播方向的双向性造成多解
①波的传播方向不确定。
②质点的振动方向不确定。
2.解决波的多解问题应注意的问题
（1）质点到达最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能。
（2）质点由平衡位置开始振动，则有起振方向相反的两种可能。
（3）只告诉波速，不指明波的传播方向，应考虑沿两个方向传播的可能。
（4）只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能。
【典例2】　如图所示的是在竖直方向上振动并沿水平方向传播的简谐横波，实线是t＝0时刻的波形图，虚线是t＝0.2 s时刻的波形图。
（1）若波沿x轴负方向传播，求它传播的速度；
（2）若波沿x轴正方向传播，求它的最大周期；
（3）若波速v＝25 m/s，求t＝0时刻P点的振动方向。
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
规律总结
解决波的多解问题的一般思路
（1）首先考虑传播方向的双向性：如果题目未说明波的传播方向或没有其他条件暗示，应首先按波的传播方向的可能性进行讨论。
（2）对设定的传播方向，首先确定Δt和T（或确定Δx和λ）的关系，一般先确定最简单的情况，即一个周期内（或一个波长内）的情况，然后在此基础上加nT（或nλ）。
（3）应注意题目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或限制时间Δt大于或小于一个周期等，所以解题时应综合考虑。
1.（多选）一列简谐横波沿直线由a向b传播，相距 10.5 m 的a、b两处的质点振动图像如图中a、b所示，下列说法正确的是（　　）
A.该波的振幅可能是20 cm
B.该波的波长可能是14 m
C.该波的波速可能是1.5 m/s
D.该波由a传播到b可能历时11 s
2.（多选）如图所示的实线是某沿x轴传播的简谐横波在某时刻的波形图像，虚线是此波经过0.2 s时的波形图像，下列判断正确的是（　　）
A.0.2 s内波传播的距离可能为6 m
B.该波的周期不可能是 s或0.8 s
C.若波速是35 m/s，波向左传播
D.若0.2 s小于一个周期时，传播的距离为3 m或 1 m
1.（2023·江苏扬州市高二统考）一列简谐横波在t＝4 s时的波形图如图甲所示，其中位于x＝2 m处的P点振动图像如图乙所示，则下列说法正确的是（　　）
A.波沿x轴负方向传播
B.波源的起振方向沿y轴负方向
C.该波的传播速度为1 m/s
D.该时刻经过3 s，质点P的路程为3 m
2.（多选）如图所示，图甲是某列简谐横波在t＝0.05 s时的波形图的一部分，图乙是位于坐标原点的质点的振动图像，P点的横坐标为7.5 m，Q点的横坐标为 20 m，下列说法正确的是（　　）
A.该列波沿x轴负方向传播
B.该列波的传播速度为200 m/s
C.在0.062 5 s末质点P的加速度最大
D.从该时刻开始质点P振动4.5 s通过的路程等于900 cm
3.如图所示，一列简谐横波沿x轴正方向传播，图中实线是t＝0时刻的波形图，图中虚线为t＝2 s时刻的波形图。由此可知，这列横波的波速可能为（　　）
A. m/s　 B. m/s C.1 m/s　 D. m/s
4.（多选）一列横波在t＝0时刻的波形图如图中实线所示，在t＝1 s时刻的波形如图中虚线所示，由此可以判定此波的（　　）
A.传播速度可能是3 cm/s
B.传播速度可能是5 cm/s
C.波长一定是5 cm
D.周期一定是4 s
习题课五　波的图像与振动图像的综合问题波的多解问题
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【典例1】　AD　由题图乙知，在t＝2 s时，质点P正通过平衡位置沿y轴负方向振动，根据“上下坡法”可知波向右传播，由题图甲可知波长为λ＝1.6 m，由题图乙可知周期T＝4 s，则波速为v＝＝ m/s＝0.4 m/s，故A正确；质点Q与质点P相差半个波长，故振动方向相反，则t＝2 s时，质点Q沿y轴正方向运动，故B错误；质点不会随波迁移，只在平衡位置附近振动，故C错误；由题图甲可知振幅A＝5 cm，在2～4 s时间内，质点Q通过的路程为s＝2A＝10 cm，故D正确。
素养训练
1.B　由图甲可知这列波的波长为λ＝4 cm，故A错误；此时平衡位置在x＝6 cm的质点刚要开始振动，根据波形平移法可知，x＝6 cm的质点的起振方向为向下，则这列波的波源起振方向为向下，故B正确；由图乙可知，周期为T＝2 s，则这列波的传播速度为v＝＝2 cm/s，故C错误；根据波形平移法可知，t＝0时刻质点P向下振动，则图乙不可能是图甲中质点P的振动图像，故D错误。
2.AC　由图甲可得λ＝4 m，由图乙可得T＝1.0 s，所以该简谐横波的传播速度为v＝＝4 m/s，故A正确；由图甲可知，在t＝0.5 s时刻，质点M在平衡位置沿y轴正方向振动，与振动图像乙符合，则图乙可能是图甲中M质点的振动图像，故B错误；在图示时刻质点Q沿y轴正方向振动，而质点P在正的最大位移处，其将要沿y轴负方向振动，可知从此时刻起，P质点比Q质点先回到平衡位置，故C正确；因为Δt＝4 s＝4T，则从此时刻起，经过4 s，P质点运动的路程为 s＝4×4A＝16A＝16×0.2 m＝3.2 m，故D错误。
要点二
知识精研
【典例2】　（1）v＝（20n＋15）m/s（n＝0，1，2，3，…）　（2）0.8 s　（3）沿y轴负方向
解析：（1）若波沿x轴负方向传播时，0.2 s内传播的距离可能为
Δx＝λ＝（4n＋3）m（n＝0，1，2，3，…）
传播的速度为v＝＝（20n＋15）m/s（n＝0，1，2，3，…）。
（2）若波沿x轴正方向传播时，传播的时间与周期关系为
Δt＝T（n＝0，1，2，3，…）
得T＝＝ s（n＝0，1，2，3，…）
当n＝0时周期最大，即最大周期为0.8 s。
（3）若v＝25 m/s，则波在0.2 s内传播的距离Δx＝vΔt＝5 m＝λ，即传播了λ的距离，由题知波沿x轴正方向传播，
所以P点在t＝0时刻沿y轴负方向振动。
素养训练
1.BCD　由图读出，该波的振幅为A＝10 cm，故A错误；由图看出，在t＝0时刻，质点b经过平衡位置向上运动，质点a位于波谷，波由a向b传播，结合波形得到a、b间距离与波长的关系为Δx＝10.5 m＝（n＋）λ（n＝0，1，2，…），解得λ＝ m（n＝0，1，2，…），当n＝0时，λ＝14 m，故B正确；波速为v＝＝ m/s（n＝0，1，2，…），当n＝1时，v＝1.5 m/s，故C正确；该波由a传播到b的时间为t＝（n＋）T＝（4n＋3）s（n＝0，1，2，…），当n＝2时，t＝11 s，故D正确。
2.CD　若波向左传播时，传播的距离为x＝nλ＋λ＝（4n＋3）m（n＝0，1，2，…），当n＝0时，0.2 s小于一个周期，传播的距离为x＝3 m，当n＝1时，传播的距离为x＝7 m，若波向右传播时，传播的距离为x＝nλ＋λ＝（4n＋1）m（n＝0，1，2，…），当n＝0时，0.2 s小于一个周期，传播的距离为x＝1 m，当n＝1时，传播的距离为x＝5 m，当n＝2时，传播的距离为x＝9 m，由以上分析可知，当0.2 s小于一个周期时，传播的距离可能为3 m或1 m，波传播的距离不可能为6 m，故A错误，D正确；若波向左传播时，传播时间为t＝nT＋T，解得T＝＝ s（n＝0，1，2，…），n＝0时，T＝ s，若波向右传播时，传播时间为t＝nT＋T，解得T＝＝ s（n＝0，1，2，…），当n＝0时，可得T＝0.8 s，故B错误；若波向左传播时，则波速为v＝＝ m/s＝（20n＋15）m/s（n＝0，1，2，…），当n＝1时，可得 v＝35 m/s，若波向右传播时，则波速为v＝＝ m/s＝（20n＋5）m/s（n＝0，1，2，…），当n＝1时，可得v＝25 m/s，当n＝2时，可得v＝45 m/s，故波速是35 m/s时，波向左传播，故C正确。
【教学效果·勤检测】
1.C　由图乙可知，P处的质点在t＝4 s时向y轴正方向振动，根据波形平移法可知该简谐横波向x轴正方向传播，故A错误；由图乙可知，P处的质点起振方向沿y轴正方向，而后续质点起振方向均与波源起振方向相同，故波源的起振方向沿y轴正方向，故B错误；根据图甲可知λ＝4 m，根据图乙可知周期为T＝4 s，则该简谐横波的传播速度为v＝＝1 m/s，故C正确；该时刻P处的质点处于平衡位置，经过3 s，质点通过的路程为s＝4A×＝0.3 m，故D错误。
2.BCD　由图乙可知，在t＝0.05 s时，位于坐标原点的质点正处于平衡位置向下运动，所以波应该是向x轴正方向传播的，故A错误；波速为v＝＝ m/s＝200 m/s，故B正确；波峰从x＝5 m位置传播到P需要的时间为t＝ s＝0.012 5 s，再过半个周期，即再经过0.05 s时质点P到达波谷位置，即0.062 5 s末时质点P到达波谷位置，加速度有最大值，故C正确；因为4.5 s等于45个周期，根据路程与振幅的关系可知，在4.5 s内质点P通过的路程为s＝45×4A＝900 cm，故D正确。
3.B　波在2 s内传播的距离为Δx＝nλ＋λ＝m（n＝0，1，2，3，…），则波速v＝＝m/s（n＝0，1，2，3，…），当n＝0时，v＝ m/s，故选B。
4.AB　由题图可知，波长为λ＝4 cm，若波向右传播，根据波的周期性有t＝（＋n）T（n＝0，1，2，…），则周期为T＝ s（n＝0，1，2，…），波速为v＝＝（4n＋1）cm/s（n＝0，1，2，…），可知当 n＝1时，传播速度为5 cm/s。若波向左传播，根据波的周期性有t＝（＋n）T（n＝0，1，2，…），则周期为T＝ s（n＝0，1，2，…），波速为v＝＝（4n＋3）cm/s（n＝0，1，2，…），可知当n＝0时，传播速度为3 cm/s，故选A、B。
4 / 5(共59张PPT)
习题课五　波的图像与振动图像的综合问题　波的多解问题
目 录
01.
核心要点·快突破
02.
教学效果·勤检测
03.
课时训练·提素能
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
01
1. 振动图像与波的图像的比较
振动图像（y-t图像） 波的图像（y-x图像）
物理意义 某一质点的位移随时间变化的规律 某时刻所有质点振动的位移
图像
要点一　波的图像与振动图像的综合问题
振动图像（y-t图像） 波的图像（y-x图像）
图
像
信
息 直读 （1）周期T、振幅A； （2）各时刻质点的位移 （1）波长λ、振幅A；
（2）任意一质点在该时刻
的位移
判断 各时刻速度、加速度方向 （1）任意一质点在该时刻
加速度方向；
（2）传播方向、振动方向
的互判
图像变化 随时间推移，图像延续，但
已有形状不变 随时间推移，图像沿传播
方向平移
形象比喻 一个人在一段时间内活动的
“录像” 一群人在某时刻动作的
“拍照”
2. 求解波的图像与振动图像的综合问题的“三步曲”
【典例1】　（多选）图甲为一列简谐横波在t＝2 s时的波形图，图乙
为这列波上质点P的振动图像，则下列说法正确的是（　　）
A. 该横波向右传播，波速为0.4 m/s
B. t＝2 s时，质点Q的振动方向为y轴负方向
C. 在2～4 s时间内，质点P沿x轴向右平移2.0 m
D. 在2～4 s时间内，质点Q通过的路程为10 cm
解析：由题图乙知，在t＝2 s时，质点P正通过平衡位置沿y轴负方向
振动，根据“上下坡法”可知波向右传播，由题图甲可知波长为λ＝
1.6 m，由题图乙可知周期T＝4 s，则波速为v＝＝ m/s＝0.4 m/s，
故A正确；质点Q与质点P相差半个波长，故振动方向相反，则t＝2 s
时，质点Q沿y轴正方向运动，故B错误；质点不会随波迁移，只在平
衡位置附近振动，故C错误；由题图甲可知振幅A＝5 cm，在2～4 s时
间内，质点Q通过的路程为s＝2A＝10 cm，故D正确。
1. （2023·四川眉山市高二月考）图甲是一列沿x轴正方向传播的简谐
横波在t＝0时刻的波形图，P是平衡位置在x＝2 cm的质点，Q是平
衡位置在x＝4 cm的质点，此时平衡位置在x＝6 cm的质点刚要开始
振动，图乙是该简谐波传播方向上的某一质点的振动图像（计时起
点相同），由此可知（　　）
A. 这列波的波长λ＝4 m
B. 这列波的波源起振方向为向下
C. 这列波的传播速度v＝2 m/s
D. 图乙可能是图甲中质点P的振动图像
解析：　由图甲可知这列波的波长为λ＝4 cm，故A错误；此时平
衡位置在x＝6 cm的质点刚要开始振动，根据波形平移法可知，x＝
6 cm的质点的起振方向为向下，则这列波的波源起振方向为向下，
故B正确；由图乙可知，周期为T＝2 s，则这列波的传播速度为v＝
＝2 cm/s，故C错误；根据波形平移法可知，t＝0时刻质点P向下振
动，则图乙不可能是图甲中质点P的振动图像，故D错误。
2. （多选）图甲为某一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t＝0.5 s时的
波形图，图乙为波上某一质点的振动图像，则下列说法正确的是
（　　）
A. 该简谐横波的传播速度为4 m/s
B. 图乙可能是图甲中P质点的振动图像
C. 从此时刻起，P质点比Q质点先回到平衡位置
D. 从此时刻起，经过4 s，P质点运动了1.6 m的路程
解析：　由图甲可得λ＝4 m，由图乙可得T＝1.0 s，所以该简谐
横波的传播速度为v＝＝4 m/s，故A正确；由图甲可知，在t＝0.5 s
时刻，质点M在平衡位置沿y轴正方向振动，与振动图像乙符合，则
图乙可能是图甲中M质点的振动图像，故B错误；在图示时刻质点Q
沿y轴正方向振动，而质点P在正的最大位移处，其将要沿y轴负方
向振动，可知从此时刻起，P质点比Q质点先回到平衡位置，故C正
确；因为Δt＝4 s＝4T，则从此时刻起，经过4 s，P质点运动的路程
为 s＝4×4A＝16A＝16×0.2 m＝3.2 m，故D错误。
要点二　波的多解问题
1. 波的多解问题形成的原因
（1）波的周期性造成多解
①时间的周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。
②空间的周期性：波的传播距离Δx与波长λ的关系不明确。
（2）传播方向的双向性造成多解
①波的传播方向不确定。
②质点的振动方向不确定。
2. 解决波的多解问题应注意的问题
（1）质点到达最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能。
（2）质点由平衡位置开始振动，则有起振方向相反的两种可能。
（3）只告诉波速，不指明波的传播方向，应考虑沿两个方向传播
的可能。
（4）只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能。
【典例2】　如图所示的是在竖直方向上振动并沿水平方向传播的简
谐横波，实线是t＝0时刻的波形图，虚线是t＝0.2 s时刻的波形图。
（1）若波沿x轴负方向传播，求它传播的速度；
答案：v＝（20n＋15）m/s（n＝0，
1，2，3，…）
解析：若波沿x轴负方向传播时，0.2 s内传播的距离可能为
Δx＝λ＝（4n＋3）m（n＝0，1，2，3，…）
传播的速度为v＝＝（20n＋15）m/s（n＝0，1，2，
3，…）。
（2）若波沿x轴正方向传播，求它的最大周期；
答案：0.8 s　
解析： 若波沿x轴正方向传播时，传播
的时间与周期关系为
Δt＝T（n＝0，1，2，3，…）
得T＝＝ s（n＝0，1，2，3，…）
当n＝0时周期最大，即最大周期为0.8 s。
（3）若波速v＝25 m/s，求t＝0时刻P点的振动方向。
答案：沿y轴负方向
解析： 若v＝25 m/s，则波在0.2 s内传播的距离Δx＝vΔt＝5 m＝
λ，即传播了λ的距离，由题知波沿x轴正方向传播，
所以P点在t＝0时刻沿y轴负方向振动。
规律总结
解决波的多解问题的一般思路
（1）首先考虑传播方向的双向性：如果题目未说明波的传播方向
或没有其他条件暗示，应首先按波的传播方向的可能性进行
讨论。
（2）对设定的传播方向，首先确定Δt和T（或确定Δx和λ）的关系，
一般先确定最简单的情况，即一个周期内（或一个波长内）的
情况，然后在此基础上加nT（或nλ）。
（3）应注意题目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方
向，或限制时间Δt大于或小于一个周期等，所以解题时应综
合考虑。
1. （多选）一列简谐横波沿直线由a向b传播，相距 10.5 m 的a、b两处
的质点振动图像如图中a、b所示，下列说法正确的是（　　）
A. 该波的振幅可能是20 cm
B. 该波的波长可能是14 m
C. 该波的波速可能是1.5 m/s
D. 该波由a传播到b可能历时11 s
解析： 由图读出，该波的振幅为A＝10 cm，故A错误；由图
看出，在t＝0时刻，质点b经过平衡位置向上运动，质点a位于波
谷，波由a向b传播，结合波形得到a、b间距离与波长的关系为Δx＝
10.5 m＝（n＋）λ（n＝0，1，2，…），解得λ＝ m（n＝0，
1，2，…），当n＝0时，λ＝14 m，故B正确；波速为v＝＝
m/s（n＝0，1，2，…），当n＝1时，v＝1.5 m/s，故C正确；该波
由a传播到b的时间为t＝（n＋）T＝（4n＋3）s（n＝0，1，
2，…），当n＝2时，t＝11 s，故D正确。
2. （多选）如图所示的实线是某沿x轴传播的简谐横波在某时刻的波
形图像，虚线是此波经过0.2 s时的波形图像，下列判断正确的是
（　　）
A. 0.2 s内波传播的距离可能为6 m
C. 若波速是35 m/s，波向左传播
D. 若0.2 s小于一个周期时，传播的距离为3 m或 1 m
解析：　若波向左传播时，传播的距离为x＝nλ＋λ＝（4n＋3）
m（n＝0，1，2，…），当n＝0时，0.2 s小于一个周期，传播的距
离为x＝3 m，当n＝1时，传播的距离为x＝7 m，若波向右传播时，
传播的距离为x＝nλ＋λ＝（4n＋1）m（n＝0，1，2，…），当n＝
0时，0.2 s小于一个周期，传播的距离为x＝1 m，当n＝1时，传播
的距离为x＝5 m，当n＝2时，传播的距离为x＝9 m，由以上分析可
知，当0.2 s小于一个周期时，传播的距离可能为3 m或1 m，波传播
的距离不可能为6 m，故A错误，D正确；
若波向左传播时，传播时间为t＝nT＋T，解得T＝＝ s（n＝0，
1，2，…），n＝0时，T＝ s，若波向右传播时，传播时间为t＝nT
＋T，解得T＝＝ s（n＝0，1，2，…），当n＝0时，可得T
＝0.8 s，故B错误；若波向左传播时，则波速为v＝＝ m/s＝
（20n＋15）m/s（n＝0，1，2，…），当n＝1时，可得 v＝35 m/s，
若波向右传播时，则波速为v＝＝ m/s＝（20n＋5）m/s（n＝0，
1，2，…），当n＝1时，可得v＝25 m/s，当n＝2时，可得v＝45 m/s，
故波速是35 m/s时，波向左传播，故C正确。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
02
1. （2023·江苏扬州市高二统考）一列简谐横波在t＝4 s时的波形图如
图甲所示，其中位于x＝2 m处的P点振动图像如图乙所示，则下列
说法正确的是（　　）
A. 波沿x轴负方向传播
B. 波源的起振方向沿y轴
负方向
C. 该波的传播速度为1 m/s
D. 该时刻经过3 s，质点P的路程为3 m
解析：　由图乙可知，P处的质点在t＝4 s时向y轴正方向振
动，根据波形平移法可知该简谐横波向x轴正方向传播，故A错
误；由图乙可知，P处的质点起振方向沿y轴正方向，而后续质
点起振方向均与波源起振方向相同，故波源的起振方向沿y轴正
方向，故B错误；根据图甲可知λ＝4 m，根据图乙可知周期为T
＝4 s，则该简谐横波的传播速度为v＝＝1 m/s，故C正确；该
时刻P处的质点处于平衡位置，经过3 s，质点通过的路
程为s＝4A×＝0.3 m，故D错误。
2. （多选）如图所示，图甲是某列简谐横波在t＝0.05 s时的波形图的
一部分，图乙是位于坐标原点的质点的振动图像，P点的横坐标为
7.5 m，Q点的横坐标为 20 m，
下列说法正确的是（　　）
A. 该列波沿x轴负方向传播
B. 该列波的传播速度为200 m/s
C. 在0.062 5 s末质点P的加速度最大
D. 从该时刻开始质点P振动4.5 s通过的路程等于900 cm
解析：　由图乙可知，在t＝0.05 s时，位于坐标原点的质点正
处于平衡位置向下运动，所以波应该是向x轴正方向传播的，故A错
误；波速为v＝＝ m/s＝200 m/s，故B正确；波峰从x＝5 m位置
传播到P需要的时间为t＝ s＝0.012 5 s，再过半个周期，即再经
过0.05 s时质点P到达波谷位置，即0.062 5 s末时质点P到达波谷位
置，加速度有最大值，故C正确；因为4.5 s等于45个周期，根据路
程与振幅的关系可知，在4.5 s内质点P通过的路程为s＝45×4A＝900
cm，故D正确。
3. 如图所示，一列简谐横波沿x轴正方向传播，图中实线是t＝0时刻的
波形图，图中虚线为t＝2 s时刻的波形图。由此可知，这列横波的
波速可能为（　　）
C. 1 m/s
解析：　波在2 s内传播的距离为Δx＝nλ＋λ＝m（n＝
0，1，2，3，…），则波速v＝＝m/s（n＝0，1，2，
3，…），当n＝0时，v＝ m/s，故选B。
4. （多选）一列横波在t＝0时刻的波形图如图中实线所示，在t＝1 s时
刻的波形如图中虚线所示，由此可以判定此波的（　　）
A. 传播速度可能是3 cm/s
B. 传播速度可能是5 cm/s
C. 波长一定是5 cm
D. 周期一定是4 s
解析：　由题图可知，波长为λ＝4 cm，若波向右传播，根据波
的周期性有t＝（＋n）T（n＝0，1，2，…），则周期为T＝ s
（n＝0，1，2，…），波速为v＝＝（4n＋1）cm/s（n＝0，1，
2，…），可知当 n＝1时，传播速度为5 cm/s。若波向左传播，根
据波的周期性有t＝（＋n）T（n＝0，1，2，…），则周期为T＝
s（n＝0，1，2，…），波速为v＝＝（4n＋3）cm/s（n＝0，
1，2，…），可知当n＝0时，传播速度为3 cm/s，故选A、B。
03
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
题组一　波的图像与振动图像的综合问题
1. 一列简谐横波沿x轴正方向传播，图甲是t＝1 s时的波形图，图乙是
波中某质点的振动位移随时间变化的振动图像，图乙的振动图像对
应图甲上的质点可能是（　　）
A. x＝1 m处的质点
B. x＝2 m处的质点
C. x＝3 m处的质点
D. x＝4 m处的质点
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解析：　波沿x轴正方向传播，由题图乙可得在 t＝1 s时刻，质点
在平衡位置且向y轴负方向运动，由题图甲及简谐波沿x轴正方向传
播可判断x＝2 m处的质点在平衡位置且沿y轴负方向运动，故B正
确，A、C、D错误。
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2. 如图所示，图（a）为一列简谐横波在t＝0.1 s时刻的波形图，Q是
平衡位置为x＝4 m处的质点，图（b）为质点Q的振动图像，则下列
说法正确的是（　　）
A. 该波的周期是0.1 s
B. 该波沿x轴的正方向传播
C. 该波的传播速度为40 m/s
D. t＝0.4 s时，质点Q的速度方向向下
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解析：　由图（b）得到该波的周期为T＝0.2 s，故A错误；由图
（b）所示图像可知，t＝0.1 s时Q点处在平衡位置上且向下振动，
根据波形平移法可知该波沿x轴负方向传播，故B错误；由图（a）
得到该波的波长为λ＝8 m，波速v＝＝ m/s＝40 m/s，故C正确；
由图（b）可知，t＝0.1 s时Q点处在平衡位置上且向下振动，根据
振动规律可知t＝0.4 s时Q的速度方向向上，故D错误。
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3. （多选）一列横波在某介质中沿x轴传播，t＝0.75 s时的波形图如图
甲所示，x＝1.5 m处的质点
P的振动图像如图乙所示，则
下列说法正确的是（　　）
A. 图甲中质点N速度方向沿y轴正方向
B. 图甲中质点M的速度与加速度均为零
C. 再经过t＝0.5 s质点L与质点N的位移相同
D. 再经过t＝1.75 s质点P第一次到达波峰
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解析：　由题图乙可知质点P在t＝0.75 s时沿y轴负方向运动，结
合上下坡法可得该波沿x轴负方向运动，故题图甲中N点速度方向沿
y轴正方向，故A正确；题图甲中质点M处于波谷位置，速度为零，
加速度最大，故B错误；再经过t＝0.5 s质点L与质点N分别位于波谷
与波峰，位移不同，故C错误；P点距离右侧最近的波峰Δx＝3.5
m，波速v＝＝2 m/s，所以传播到P点的时间为Δt＝＝ s＝1.75
s，故D正确。
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4. （多选）一简谐横波沿x轴正方向传播，在t＝时刻，该波的波形图
如图（a）所示，P、Q是介质中的两个质点。图（b）表示介质中某
质点的振动图像。下列说法正确
的是（　　）
A. 质点Q的振动图像与图（b）相同
B. 在t＝0时刻，质点P的加速度的大小比质点Q的大
C. 平衡位置在坐标原点的质点的振动图像如图（b）所示
D. 在t＝0时刻，质点P与其平衡位置的距离比质点Q的大
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解析：t＝时刻，题图（b）表示介质中的某质点从平衡位置向下振动，而题图（a）中质点Q在t＝时刻从平衡位置向上振动，平衡位置在坐标原点的质点从平衡位置向下振动，所以质点Q的振动图像与题图（b）不同，平衡位置在坐标原点的质点的振动图像如题图（b）所示，选项A错误，C正确；在t＝0时刻，质点P处在波谷位置，速率为零，与其平衡位置的距离最大，加速度最大，而质点Q处在平衡位置，速度最大，加速度为零，即在t＝0时刻，质点P的加速度比质点Q的大，质点P与其平衡位置的距离比质点Q的大，选项B、D正确。
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5. （多选）一列简谐横波沿x轴方向传播，在t＝0.25 s时的波形图如图
甲所示，图乙为x＝1.5 m处
质点b的振动图像，下列说
法正确的是（　　）
A. 该波的波速为2 m/s
B. 该波沿x轴正方向传播
C. 质点a（x＝1 m）在t＝0.25 s到t＝1.25 s的时间内沿x轴正方向运动
了2 m
D. 质点d（x＝3 m）在t＝0.75 s时处于平衡位置，并沿y轴负方向运动
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解析：　根据题图甲可得λ＝4 m，根据题图乙可得T＝2 s，则波
的速度为v＝＝2 m/s，A正确；在t＝0.25 s时，b点振动方向向上，
由波形平移法知该波沿x轴正方向传播，B正确；质点a只在自己的
平衡位置附近上下振动，并不随着波向右迁移，C错误；题图甲为t
＝0.25 s时的波形图，到t＝0.75 s时经过了的时间是，即t＝0.75 s
时，质点d处于平衡位置，并正在向y轴正方向运动，D错误。
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题组二　波的多解问题
6. （多选）（2023·浙江温州市高二联考）一列简谐波沿直线传播，
先后经过a、b两点，a、b两点间距为1 m，图甲为a点振动图像，图
乙为b点振动图像。下列说法正确的是（　　）
A. 波长可能为4 m
B. 波的速度可能为0.20 m/s
C. 波源的振动频率是4 Hz
D. t＝2 s时，a点向y轴负方向运动
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解析：根据两个振动图像可知，b点振动相比a点至少延后了
λ＝1 m，（n＝0，1，2，3…），可得，该波的波长为λ＝ m，（n＝0，1，2，3…），可知，当n＝0时，该波的波长为4 m，故A正确；由图可知，波的周期为4 s，则该波的波速为v＝＝ m/s，（n＝0，1，2，3…），可知当n＝1时，波的速度为0.20 m/s，故B正确；波的周期为4 s，则波源的振动频率为0.25 Hz，故C错误；由图甲可知，t＝2 s时，a点在平衡位置，向y轴正方向运动，故D错误。
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7. （多选）如图所示，一列横波在x轴上传播，在t1＝0时刻的波形如
图中实线所示，t2＝0.10 s时刻的波
形如图中虚线所示，下列说法中
正确的是（　　）
A. 由该波形曲线读出这列波的振幅为0.2 m
B. 该波形曲线上x＝5 m的质点振动的周期可能是0.3 s
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解析：CD　由该波形图读出这列波的振幅为0.2 cm，故A错误；若
波向右传播，周期满足关系式Δt＝＋nT（n＝0，1，2，…），解
得T＝ s（n＝0，1，2，…），当波向左传播时，周期满足关系
式Δt＝＋nT（n＝0，1，2，…），解得 T＝ s（n＝0，1，
2，…），由数学关系知无论n取何值，周期都不可能为0.3 s，故B
错误；
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由图可知该波的波长为8 m，若周期大于（t2－t1），即Δt＜2T，当波
沿x轴正方向传播时，波速v＝＝（n＝0，1），当n＝0时，v
＝20 m/s，当n＝1时，v＝100 m/s，当波沿x轴负方向传播时，v＝＝
（n＝0，1），当n＝0时，v＝60 m/s，当n＝1时，v＝140 m/s，
故C、D正确。
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8. （多选）一列沿x轴正方向传播的简谐横波，在波的传播方向上两
质点a、b的平衡位置相距6 m，a、b的振动图像分别如图甲、乙所
示。下列说法正确的是（　　）
A. 该波的周期为12 s
B. 该波的波长可能为24 m
C. 质点b在波谷位置时，质点a在平衡位置沿y轴负方向运动
D. 质点a在0～4 s内通过的路程为6 cm
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解析： 　根据质点振动图像可确定周期为12 s，故A正确；由
a、b的振动图像可确定a、b间相差λ（其中n＝0，1，2，
3，…），所以6 m＝λ，λ＝ m，n＝0时为最大波长，λ
＝8 m，不可能为24 m，故B错误；由两振动图像可知，质点b在波
谷位置时，质点a在平衡位置沿y轴负方向运动，故C正确；根据三
角函数关系可知，0～4 s为，其通过的路程为一个振幅
4 cm，加上振幅的一半，等于6 cm，故D正确。
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9. （多选）一列简谐横波在均匀介质中沿直线传播，P、Q是传播方
向上相距8 m的两质点，波先传到P，当波传到Q开始计时，P、Q两
质点的振动图像如图所示。则（　　）
A. 质点Q开始振动的方向沿y轴正方向
B. 该波从P传到Q的时间可能为7 s
C. 该波的传播速度可能为2 m/s
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解析：由图线可知，质点Q开始起振的方向沿y轴正方向，故A正确；振动由P向Q传播，由振动图像可知周期T＝6 s，质点Q的振动图像向左4 s后与P点的振动重合，故振动从P传到Q的时间可能为nT＋4 s＝（6n＋4）s（其中n＝0，1，2，3…），故不可能为7 s，故B错误；根据（nT＋4 s）v＝8 m，得 v＝ m/s（n＝0，1，2，3，…），当 n＝0时，波速为2 m/s，故C正确；因为ω＝＝，则从2 s开始计时，P点的振动方程为y＝Asin ωt＝Asin（t）m，故D正确。
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10. 一列简谐横波沿x 轴正方向传播，t时刻波形图如图中的实线所
示，此时波刚好传到P点，t＋0.6 s时刻的波形如图中的虚线所示，
a、b、c、P、Q 是介质中的
质点。下列说法错误的是
（　　）
A. 这列波的波速可能为50 m/s
B. 质点a 在这段时间内通过的路程一定小于30 cm
C. 质点c 在这段时间内通过的路程可能为60 cm
D. 若周期T＝0.8 s，则在t＋0.5 s时刻，质点b、P 的位移相同
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解析：　由波形图可知波长λ＝40 m，且0.6 s＝nT＋T（n＝0，
1，2，…），解得周期T＝ s（n＝0，1，2，…）。当n＝0
时，T＝0.8 s，波速v＝＝50 m/s，选项A正确。由波的传播方向沿
x轴正方向可知，质点a在t时刻向上运动，当n＝0时，T＝0.8 s，则
质点a在这段时间内通过的路程小于30 cm；当n＝1 时，T＝ s，
质点a在这段时间内通过的路程大于30 cm，选项B错误。
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若n＝1，则T＝ s，波传播到c点所用时间为T，0.6 s＝，质点c 振
动的时间为T－T＝T，故在这段时间内质点c 通过的路程为6A＝60
cm，选项C正确。若T＝0.8 s，t＋0.5 s 时刻，质点b、P 的位移均为负
值且大小相等，选项D正确。
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11. 一列简谐横波的图像如图所示，t1时刻的波形如图中实线所示，t2
时刻的波形如图中虚线所示，已知Δt＝t2－t1＝0.5 s，
（1）这列波的周期可能是多大？
（2）这列波可能的波速表达式是怎样的？
答案：见解析
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解析：（1）（2）由题图可知波长λ＝8 m，
当波向右传播时Δt＝nT1＋
T1＝ s（n＝0，1，2，…）
v右＝＝4（4n＋1）m/s（n＝0，1，2，…）
当波向左传播时Δt＝nT2＋T2
T2＝ s（n＝0，1，2，…）
v左＝＝4（4n＋3）m/s（n＝0，1，2，…）。
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（3）若波向左传播，且3T＜Δt＜4T，波速为多大？
解析：若波向左传播，且3T
＜Δt＜4T
则Δt＝3T，得T＝ s，v1＝＝60 m/s。
（4）若波速v＝68 m/s，则波向哪个方向传播？
解析：Δt时间内波传播的距离为x＝vΔt＝68×0.5 m＝34 m＝
4λ，故波向右传播。
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