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2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷（全国通用）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：高考全部内容
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，则（ ）.
A． B．
C． D．
2．在某次全市高三模拟考试后，数学老师随机抽取了6名同学的第一个解答题的得分情况如下：7，10，5，8，4，2，则这组数据的平均数和分位数分别为（ ）
A．6，3 B．5，3 C．5，4 D．6，4
3．在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．已知数列{}的前n项和满足：，且＝2，那么＝（ ）
A．2 B．10 C．11 D．56
5．已知，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
6．已知函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
7．工匠们要用一球体雕刻出一正三棱台，正三棱台的顶点都在该球体的球面上，且要求雕刻出的棱台的侧棱长为，上、下底面边长分别为和，则所用球体的半径为（ ）
A．7 B． C． D．
8．已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，为椭圆的右顶点，连接交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．记的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知双曲线的渐近线与圆相切，，为的左、右焦点，动点在的左支上，则（ ）
A． B．为直角三角形
C．周长的最小值为 D．的最小值为2
11．在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转（为弧度）后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”，则（ ）
A．，函数都为“旋转函数”
B．若函数为“旋转函数”，则
C．若函数为“旋转函数”，则
D．当或时，函数不是“旋转函数”
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分．
12．将编号为1，2，3，4的4个小球随机放入编号为1，2，3，4的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是 .
13．若向量与不共线也不垂直，且，则 .
14．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为.已知，.
(1)求的通项公式；
(2)当时，记，求数列的前项和.
16．（15分）
为测试甲、乙两个AI（人工智能）模型解决数学问题的能力，某同学准备了5道数学题让甲、乙同时进行解答，每道题甲答对的概率均为，乙答对的概率均为，且每次解答是否正确相互独立.
(1)若已知前两题中甲至少答对了1题，求前两题甲都答对的概率；
(2)设甲、乙均答对的题数为，求的分布列与数学期望.
17．（15分）
已知四棱锥中，二面角为直二面角，，，M为棱上一点.
(1)证明：；
(2)若M为中点，求二面角的正弦值；
(3)若平面，点N在平面上，若直线与平面所成角为，求的最小值.
18．（17分）
已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点M在C上且在第一象限，，的面积为2.
(1)求C的方程.
(2)A，B是C上异于M的两个动点，直线MA与MB的斜率之积为1，证明：直线AB过定点.
(3)点M关于x轴的对称点为N，分别过M，N作C的两条切线，这两条切线的交点G恰好在x轴上，，过S作C的切线，切点为R（异于点M），且与线段GN交于点T，求面积的最大值.
19．（17分）
(1)证明：在上恒成立.
(2)若，证明：函数在上恰有1个零点.
(3)试讨论函数在上的零点个数.
2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷（全国通用）
数学·答案及评分参考
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
C D D A C B D B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
BD BC BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分．
12． 13． 14．-2
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【详解】（1）由题意知，（1分）
解得或，（3分）
当时，，，故，；（4分）
当时，，，故，（5分）
所以或；（7分）
（2）因为，所以.
因为，（8分）
所以，（9分）
两式相减得（11分）
，（12分）
故.（13分）
16．（15分）
【详解】（1）设事件“前两题中甲至少答对了1题”为，事件“前两题甲都答对”为，
依题意，，（2分）
，（3分）
所以.
则在前两题中甲至少答对了1题的条件下，前两题甲都答对的概率为.（5分）
（2）依题意，每道题甲、乙均答对的概率为，（6分）
的所有可能值为，（7分）
，即，，1，2，3，4，5，
，，
，，
，，（13分）
所以的分布列为
0 1 2 3 4 5
（14分）
数学期望.（15分）
17．（15分）
【详解】（1）由，得，二面角为直二面角，即平面平面，
而平面平面，平面，故平面.（1分）
因为平面，所以，（2分）
又，，平面，，故平面，（3分）
又平面，故.（4分）
（2）过点S作于点O，连接，由，得.
又，故四边形为平行四边形，
因为，所以，即，故，，两两垂直，（5分）
以O为坐标原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
故，，，，
设平面的法向量，则，
令，则，，故为平面的一个法向量，（6分）
设平面的法向量的，则
令，则，，故为平面的一个法向量，（7分）
则，（8分）
二面角的正弦值为.（9分）
（3）若平面，平面，平面平面，则，（10分）
由（2）知，故M与O点重合，因为N在平面上，
设，p，，，则，（10分）
因为，，，则，，
设平面的法向量，则，
令，则，，故为平面的一个法向量，（11分）
故，整理得，（12分）
又，故，（13分）
由，故，
当且仅当时等号成立，取得最小值为.（15分）
18．（17分）
【详解】（1）设，则的面积为，（1分）
所以，（2分）
根据抛物线的定义，得，所以，（3分）
所以，解得，即C的方程为.（4分）
（2）由（1）知，设，，直线AB的方程为，
则且，联立可得，，（5分）
由韦达定理可得，，（6分）
，同理，（7分）
又因为，所以，（8分）
整理得，所以，即，（9分）
所以，即直线AB过定点；（10分）
（3）因为，所以，
设直线GM的方程为，
由可得，
则，解得，（11分）
所以直线GM的方程为，且，同理可得直线，（12分）
设，因为，所以即，
由得，设直线，
由可得，
由，可得或，（13分）
当时，直线，与直线GM的方程一样，舍去，故，所以直线，即，与直线联立求得，（14分）
点到直线的距离为，（15分）
又，
所以的面积为，（16分）
因为，所以当时，面积取到最大值为8.（17分）
19．（17分）
【详解】（1）证明：令函数，，则，（1分）
所以在上单调递增，（2分）
则，即在上恒成立.（3分）
（2）证明：因为，所以在上单调递增.（4分）
由（1）得在上恒成立，故在上恒成立，（5分）
所以，（6分）
因为，故取，取，
则，（7分）
而，所以在上有1个零点，
即在上恰有1个零点.（8分）
（3）令，即，等价于.（9分）
记，.
在上的零点个数即在上的零点个数.
是的1个零点.（10分）
因为，
所以是奇函数，则在和上的零点个数相同.（11分）
，因为在上为减函数，
故在上单调递增.
当时，，故在上单调递增.
因为，所以在上恒成立，即在上没有零点，
所以在上只有1个零点.（13分）
当时，由（2）可得在上恰有1个零点，记该零点为.
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.（14分）
而，故，取，则，（15分）
，
结合在上的单调性可得在上有1个零点，（16分）
即在上有1个零点，所以在上有3个零点.
综上，当时，在上只有1个零点；
当时，在上有3个零点.（17分）

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