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2024-2025 学年陕西省渭南市大荔县高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2.复数1 的共轭复数是( )
A. 1 + B. 1 C. 2 + 2 D. 2 2
2.下列命题中一定正确的是( )
A. = B. + = 0
C. 0 = 0 D. + + = 0
3 = 3 2 .已知 ，则2 +cos 的值为( )
A. 1 B. 17 C. 2 D. 5
4.已知 , 是两个单位向量， 与 的夹角为3，则|
| =( )
A. 12 B. 2 C. 1 D. 3
sin( )+cos( )
5.已知角 的终边上有一点(1,3)，则 2cos( ) cos( + ) =( )
A. 2 B. 2 C. 3 D. 3
6.若 ， 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则( )
A.若 // ， ，则 // B.若 // ， ⊥ ，则 ⊥
C.若 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，则 // D.若 // ， // ，则 //
7 .已知函数 ( ) = 2 ( 4 + )(| | < 2 )图象的一个对称中心为(3,0)，为了得到函数 ( ) = 2 4 的图
象，只需将函数 ( )的图象( )
A. 向左平移 1 个单位长度 B.向左平移4个单位长度
C. 向右平移 1 个单位长度 D.向右平移4个单位长度
8.如图，已知圆台形水杯盛有水(不计厚度)，杯口的半径为 4，杯底的半径为 3，高为 6.5，当杯底水平放
置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为 的球(球被完全浸没)，水高好充满水杯，则 =( )
A. 413 B.
13
4
C. 2 33 D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 , , ，则下列说法正确的是( )
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A. = 0 = 0 或 = 0
B. ⊥ = 0
C.命题“若 = ，则 = ”是假命题
D. ( ) = ( )
10.下列说法正确的有( )
A. 17 6 是第三象限角
B.经过 30 分钟，钟表的分针转过 弧度
C.已知角 的终边过点 ( 3, 4)，则 + = 75
D. 3 若圆心角为3的扇形的弧长为 ，则该扇形面积为 2
11.在△ 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，下列说法正确的是( )
A.若 > ，则 <
B.若 = 30°， = 5， = 2，则△ 有两解
C.若 = ，则△ 为等腰三角形或直角三角形
D.若 > 0，则△ 为钝角三角形
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 .函数 = 2 (2 + 6 )的对称轴为______．
13.长方体的长、宽、高分别为 2，2，1，其顶点在同一个球面上，则该球的表面积______．
14.已知 , 不共线，且 = ( ∈ ), = + ，则 + =______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 = + ( + 2) ，其中 ∈ ， 是虚数单位，
(1)若 为纯虚数，求实数 的值；
(2)若 在复平面内所对应的点在第二象限，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)

已知 sin 2 2 2 = 0．
(1)求 的值；
(2) 2 求 的值．
cos(5 4 + )sin( + )
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17.(本小题 15 分)
如图，四棱锥 的底面 是边长为 2 的菱形，∠ = 60°， 是 的中点， ⊥底面 ， =
4．
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2)求三棱锥 的体积．
18.(本小题 17 分)
定义：已知两个非零向量 与 的夹角为 .我们把数量| || | 叫做向量 与 的叉乘 × 的模，记作| × |，
即| × | = | || | ．
(1)若向量 = (2,4)， = ( 3,1)，求| × |；
(2)若平行四边形 的面积为 4，求| × |；
(3)若| × | = 3， = 1，求| + 2 |的最小值．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 (2 + )(| | < )，将函数 ( ) 向右平移3个单位得到的图像关于 轴对称且当 = 6时，
( )取得最大值．
(1)求函数 ( )的解析式：
(2) 将函数 ( )图象上所有的点向右平移2个单位长度，得到函数 ( )的图象，若 1, 2 ∈ ( 6 , 2 )，且 ( 1) =
( 2)，求 ( 1 + 2)的值．
(3)方程 2( ) + (2 ) ( ) + 1 = 0 [ , 11在 6 12 ]上有 4 个不相等的实数根，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. = + 6 2 , ∈
13.9
14.1
15.解：(1)由复数 = + ( + 2) 为纯虚数，得 = 0 且 + 2 ≠ 0，无解，
所以实数 的值的集合为空集；
(2) < 0由 在复平面内所对应的点( , + 2)在第二象限，得 + 2 > 0，解得 < 1，
所以实数 的取值范围是( ∞, 1)．
16.解：(1) 由 sin 2 2 2 = 0，
知 cos 2 ≠ 0，
∴ tan 2 = 2，
2
∴ = 2 2×2 41 tan2 = 1 4 = 3．2
(2)由(1)，知 = 43，
∴ 2 = 2
cos(5 4 + )sin( + ) cos(4+ )( )
= cos
2 sin2 ( )( + )
( 2
=
2
2 2
2 ) 2 ( )
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= 2 × + = 2 ×
1+ 2
= 4 ，
2 2
即 = ．
cos(5 4 + )sin( + )
4
17.解：(1)如图所示，连接 ，由 是菱形，且∠ = 60°知，△ 是等边三角形．
因为 是 的中点，所以 ⊥ ．
又 // ，所以 ⊥ ．
又因为 ⊥平面 ， 在平面 内，所以 ⊥ ．
而 ∩ = ，因此 ⊥平面 ．
又因为 在平面 内，所以平面 ⊥平面 ．
(2)由 = 2，有 = 3, = 1，
∴ 1 3△ = 2 × 1 × 3 = ，2
∴ 1 3 = = 3 × 2 × 4 =
2 3．
3
18.(1)因为 = (2,4)， = ( 3,1)，
则 = 2，| | = 2 5, | | = 10，

所以 = = 2 = 2，
| || | 2 5× 10 10
因为 ∈ [0, ] = 7 2，所以 10 ，
故| × | = | || | = 2 5 × 10 × 7 210 = 14；
(2)因为平行四边形 的面积为 4，
所以| | | |sin∠ = 4，
所以| × | = 4；
(3)因为| × | = 3，所以| | | |sin , = 3，
又 = 1，所以| | | |cos , = 1，
所以 tan , = 3，又 , ∈ (0, )，
, = 所以 3，则| | |
| = 2，
所以| + 2 |2 = | |2 + 4 + 4| |2 ≥ 2 | |2 × 4| |2 + 4 = 12，
当且仅当| |2 = 4| |2，即| | = 2| | = 2 时等号成立，
所以| + 2 |的最小值为 2 3．
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19.解：(1)因为 ( ) = 2 (2 + )，
2
依题意 ( 3 ) = 2 (2 3 + )的图像关于 轴对称，
2 则有 3 = + 2 , ∈ ，
7
即 = + 6 , ∈ ，
而| | < ，即有 = 5 =6或 6．
当 = 6时， ( 6 ) = 2 2 = 2，符合要求；
当 = 5 时， (

6 ) = 2 (

2 ) = 26 ，不符合要求，
故函数 ( )的解析式是 ( ) = 2 (2 + 6 )；
(2)由图象平移可得 ( ) = 2 [2( 2 ) +

6 ] = 2 (2
5
6 )，

若 ∈ ( 6 , 2 )，则 = 2
5 ∈ ( 7 6 6 , 6 )，
而 = 2 7 在区间( , )上递减，在区间( 2 , 6 )

6 2 上递增，显然两侧关于直线
= 2对称，
若 1,

2 ∈ ( 6 , 2 )且 ( 1) = ( 2)，
2 5 + 2 5 = 2 × ( 则 1 6 2 6 2 ) = ，

可得 1 + 2 = 3，

故 ( 1 + 2) = ( 3 ) = 2 (2 ×
5 3 6 ) = 1；
(3)由(1)，令 = ( ) = 2 (2 + 6 )，
∈ [ , 11 由 6 12 ]，
可得(2 + 6 ) ∈ [ 2 , 2 ]，则 ∈ [ 2,2]，
由题意，关于 的方程 2 + (2 ) + 1 = 0 有两个不等的实根 1， 2，
且 2 (2 + 6 ) = 1与 2 (2 +

6 ) = 2在[
11
6 , 12 ]上均有两个不等的实根，

当 ∈ [ , 11 ]时，(2 +

6 ) ∈ [

6 12 2
, 2 ]， ( )的图象如图所示，
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故 1， 2 ∈ ( 2,0]，
此时关于 的方程 2 + (2 ) + 1 = 0 在( 2,0]上有两个不等的实根，
令 ( ) = 2 + (2 ) + 1，
= (2 )2 4 > 0
(0) ≥ 0 > 4 或 < 0
则 ( 2) > 0 ，即 1 ≥ 0 ，
2 < 2
2 + 1 > 0
2 < 0 2 < < 2
1
解得 2 < < 0．
1
故实数 的取值范围 ∈ ( 2 , 0)．
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