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2024-2025 学年吉林省长春市慧泽高中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设向量 = ( , 2)， = (1, 2)，若 // ，则实数 的值是( )
A. 2 B. 2 C. 1 D. 1
2 5.复数1 2 的共轭复数是( )
A. 1 + 2 B. 1 2 C. 1 + 2 D. 1 2
3.若| | = 4，| | = 8 且( + ) ⊥ ，则 与 的夹角是( )
A. 5 6 B.
2
3 C. 3 D. 6
4.已知圆台的上底面面积为 9 ，下底面周长为 16 ，母线长为 6，则圆台的侧面积为( )
A. 99 B. 42 C. 54 D. 66
5.某班成立了 、 两个数学兴趣小组， 组 10 人， 组 30 人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该
测试中， 组平均成绩为 130 分，方差 115， 组平均成绩为 110 分，方差为 215，则在这次测试中，全班
学生的平均成绩和方差为( )
A. 115 分，105 B. 115 分，265 C. 120 分，105 D. 120 分，265
6.设 ， 是两个平面， ， 是两条直线，则下列命题为真命题的是( )
A.若 ⊥ ， // ， // ，则 ⊥
B.若 ， ， // ，则 //
C.若 ∩ = ， // ， // ，则 //
D.若 ⊥ ， ⊥ ， // ，则 ⊥
7.如图，在山脚 处测得山顶 的仰角为 45°，朝山顶沿坡度为 15°的斜坡向上走 4 到点 处，此时测得山
顶 的仰角为 75°，则山高为( ) ．
A. 3 62 B.
2 3+1
3
C. 2 6 D. 3( 2+ 6)4
8.如图，已知正四面体 的棱长为 1， 、 分别是 与 的中点，则异面直线 和 所成角的余弦
值为( )
A. 23 B.
3
3
C. 13 D.
5
6
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A.数据 1，3，5，7，9，11，13 的第 60 百分位数为 7
B.若样本 1， 2， ， 的平均数和方差分别为 2 和 3，则 3 1 + 2，3 2 + 2， 3 + 2 的平均数和方差
分别为 8 和 27
C.一组样本数据为 7，12，13，17，18，20，32，若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据
的平均数不可能相等
D.数据 1，2，4，6，7 26的方差为 5
10.有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取 1 个球，甲表
示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两
次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则( )
A. 1乙发生的概率为2 B.
2
丙发生的概率为5 C.甲与丁相互独立 D.丙与丁互为对立事件
11.已知 是棱长为 6 的正方体表面上一个动点， 为棱 1的中点，则下列说法中正确的是( )
A.过点 ， ， 的截面是一个直角梯形
B.若 在 1上，则 1 ⊥ 1
C.若 在 1 1上，则存在某个 点，使得 1 ⊥ 1
D.若三棱锥 1 1 的体积为 18，则 点轨迹的长度为 27 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知复数 满足| | = 1，则| 4 + 3 |的最小值是______．
13.已知 ， ， ， 是球 表面上的点， ⊥平面 ， ⊥ ， = 1, = 2.
32 若球 的体积为 3 ，则 = ______．
14.如图，在等腰△ 中，底边 = 1， ， 是腰 上的两个动点，且 + =

1 4
+ ，则当 + 取得最小值时， ( + )的值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某高校承办了 2024 年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作，现随机抽取了 100 名候选者的面试成绩并
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分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所
示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为 0.7，第一组和第五组的频率相同．
(1)求 、 的值，并估计这 100 名候选者面试成绩的平均数及中位数(保留一位小数)；
(2)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取 5 人，然后再从这 5 人中选出 2 人，求选出的两个来自
不同组的概率．
16.(本小题 15 分)
已知 ， ， 分别为△ 3三个内角 ， ， 的对边，且 + 3 = 0．
(1)求 ；
(2)若 = 4， = 6，设 为△ 的角平分线，求 的长；
(3)若 = 2 3，且△ 面积为 3，求△ 的周长．
17.(本小题 15 分)
在一次奥运会男子乒乓球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛，决赛采取 7 局 4 胜制.已知每局比赛甲获
2 1
胜的概率为3，乙获胜的概率为3，且每局比赛结果互不影响．
(1)求只需进行四局比赛的概率；
(2)已知前两局比赛甲均告负，求甲最终能逆转获得冠军的概率．
18.(本小题 17 分)
如图，直三棱柱 1 1 1中， ⊥ ， 1 = = = 2， 为线段 1的中点．
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(1)求证： //平面 1；
(2)求直线 1与平面 1 1 所成角的正切值．
19.(本小题 17 分)
如图，在矩形 中， = 1, = 3，点 为线段 上的动点(不含端点)，将△ 沿 折起，点
翻折至 ′位置，且使二面角 ′ 的大小为 60°．
(1)若 为棱 ′ 的中点，且满足 //平面 ′ ，求 的值；
(2) 若∠ = 6，求三棱锥 ′ 的体积；
(3)求二面角 ′ 的正切值的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.4
13. 13
14.53
15.(1)因为第三、四、五组的频率之和为 0.7，因此(0.045 + 0.020 + ) × 10 = 0.7，
解得 = 0.005，又因(2 + + 0.045 + 0.020) × 10 = 1，解得 = 0.025．

= 0.05 × 50 + 0.25 × 60 + 0.45 × 70 + 0.2 × 80 + 0.05 × 90 = 69.5；
因前 2 组的频率之和为 0.05 + 0.25 = 0.3 < 0.5，前 3 组的频率之和为 0.05 + 0.25 + 0.45 = 0.75 > 0.5，
因此中位数在第 3 组，设为 ，0.05 + 0.25 + ( 65) × 0.045 = 0.5，解得 ≈ 69.4；
(2)根据题目第四、第五两组志愿者分别有 20 人，5 人，因此按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为 4，
分别设为 ， ， ， ，
第五组志愿者人数为 1，设为 ，从这 5 人中选出 2 人，所有情况有 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
共 10 种，
4 2
其中选出的两个来自不同组的情况有 ， ， ， 共 4 种，因此 = 10 = 5．
16.(1)由 + 33 = 0
3
得， + 3 = 0，
因为 > 0 3，所以 = 3 ，
故得 = 3，
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0 < < = 2 又因 ，则 3．
(2)设 = ，则 △ =
1
2 × 6 × 4
2 = 1 × 6 + 1 × 4 3 2 3 2 3，
12 12
解得 = 5，即 = 5．
(3) 1 3因 △ = 2 = 4 = 3，解得 = 4，
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 可得 2 + 2 + = 12，
即( + )2 = 12 + = 16，故 + = 4，△ 的周长为 4 + 2 3．
17.(1)设事件 =“甲第 局都获胜”， = 1，2，3，4，5，6，7，

则 ( 2 ) = 3 , ( ) = 1
2 = 13 3 ( = 1,2,3,4,5,6,7)，
只需进行四局比赛包含两种情况：

①甲能胜四局： 1 2 3 4；②乙连胜四局： 1 2 3 4，
设事件 =“只需进行四局比赛”，则

( ) = ( 1 2 3 4) + ( 1 2 3 4) = ( 1) ( 2) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) = (
2 )43 4 1 2 3 4 3 +
( 1 )4 = 173 81；
(2)设事件 =“前两局比赛甲均告负，甲最终能逆转获得冠军”，
由于前两局比赛甲均告负，所以接下来的比赛甲最多可以负一局，包含两种情况：
①甲接下来连胜四局： 3 4 5 6；
②接下来五局比赛中甲 4 胜 1 负(负的一局为第 3～6 局中某一局)：

3 4 5 6 7, 3 4 5 6 7, 3 4 5 6 7, 3 4 5 6 7，

所以 ( ) = ( 3 4 5 6 + 3 4 5 6 7 + 3 4 5 6 7 + 3 4 5 6 7 + 3 4 5 6 7)

= ( 3 4 5 6) + ( 3 4 5 6 7) + ( 3 4 5 6 7) + ( 3 4 5
2 4
6 7) + ( 3 4 5 6 7) = ( 3 ) + 4 ×
( 2 4 1 1123 ) × 3 = 243．
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18.(1)证明：连接 1 ，交 1于点 ，连接 ，
因为三棱柱 1是直三棱柱，
所以四边形 1 1 是矩形，则 为 1 的中点，
因为 为线段 1的中点，所以 // ，
因为 平面 1， 平面 1，
所以 //平面 1．
(2)取 1中点 ，连接 ， 1 ，则 / / ，
因为三棱柱 1是直三棱柱，
所以四边形 1 1是矩形，则 ⊥ 1，
因为 ⊥ ， ∩ 1 = ， 平面 1 1 ， 1 平面 1 1 ，
所以 ⊥平面 1 1 ，则 ⊥平面 1 1 ，
所以直线 1与平面 1 1 所成角即为∠ 1 ，
因为 1 = = = 2，所以 = 1, 1 = 5，
在 △ 1中，
则 tan∠ = 1 51 1
= 5 = 5 ．
19.(1)在线段 上截取 = ，
由 // ，得四边形 为平行四边形，
所以 // ，
又 平面 ′ ， 平面 ′ ，所以 //平面 ′ ，
因为 //平面 ′ ，且 ∩ = ，所以平面 //平面 ′ ，
因为 平面 ，所以 //平面 ′ ，
又 为棱 ′ 的中点，所以 为 的中点，
1 1
所以 = 2 = 2 ，即 = 1．
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(2) △ ∠ = = 1 = 3 , = 2 3在 中， 6， ，所以 3 3 , =
2 3
3 ，
过 ′作 ′ ⊥平面 于点 ，过 作 ⊥ 于点 ，连接 ′ ，
由三垂线定理的逆定理知， ′ ⊥ ，
所以∠ ′ 为二面角 ′ 的平面角，即∠ ′ = 60°，
翻折后 ′ = 33 , =
2 3
3 , ′ = 1，
3 1
由等面积法知， ′ = ′ ′ =
3 1
2 3 = 2，
3
所以 ′ = ′ ∠ ′ = 1 32 × 2 =
3
4 ，
1 2 3 3
而 △ = 2 × 3 × 1 = 3 ，
= 1 3 3所以三棱锥 ′ 的体积 3 4 3 =
1
12．
(3)设 ′ = ，则 = 3 ， ∈ (0, 3)，

在 △ ′ 中，由等面积法知， ′ = ，
1+ 2
所以 = 1 2 ′ = , ′ =
3
，
2 1+ 2 2 1+ 2
在矩形 中， = + = + = 3 ′ ，
2 1+ 2
过点 作 ⊥ 于 ，
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易得△ ～△ ，

所以 = ，
3
2 1+ 2 2
所以 = = 32

1+ 2 1+ 2
，
3
= ′
2 1+ 2
= = 1 1设二面角 ′ 的大小为 ，则 2 3 1 +3 2
，
2 1+ 2
由于 ∈ (0, 3) 2，所以 ∈ ( 3 , + ∞)，
2
故二面角 ′ 的正切值的取值范围为( 3 , + ∞)．
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