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第13章 三角形中的边角关系、 命题与证明
13.2 命题与证明
第1课时 定义、命题
1.理解命题，定理及证明的概念，会区分命题的题设
和结论；（重点）
2. 会判断真假命题，知道证明的意义及必要性，了
解反例的作用. （重点、难点）
给我一个支点，
我能撬动地球.
新的数学方法和概念往往比解决数学问题本身更重要.
当 p＝31时，
的结果是素数.
阿基米德
华罗庚
梅森
问题：观察下列语句，都有什么特点？
观察下列语句：
1. 无限不循环小数叫作无理数；
2. 两条边相等的三角形叫作等腰三角形；
3. 三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.
像这样能明确界定某个对象含义的语句叫作定义．
请你举出你所熟知的一些定义例子.
定义
1
例如：
3.“在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫作一元一次方程” 是“一元一次方程”的定义.
2. “两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离” 是“两点之间的距离”的定义；
1.“具有中华人民共和国国籍的人，叫作中华人民共和国公民” 是“中华人民共和国公民”的定义；
(1) 北京是中华人民共和国的首都；
(2) 如果∠1 与∠2 是对顶角，那么∠1 =∠2；
(3) 1 +1 < 2；
(4) 如果一个整数的各个位上的数字之和是 3 的倍数，那么这个数能被 3 整除.
命题
2
讨论：我们一起来看一些可以判断正确与否的陈述.
都是在对一件事进行判断.
思考：上述这些语句有什么特征
(对)
(对)
(错)
(对)
像这样，可以判断正确或不正确的陈述语句叫作命题.
经判断是正确的，这样的命题称之为真命题.
经判断是错误的，这样的命题称之为假命题.
注意：只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题.
不是命题的形式，如：
① 疑问句；如：你的作业做完了吗
② 感叹句；如：欢迎前来参观！
③ 祈使句；如：以点 O 为圆心、3 cm长为半径画弧.
知识要点
思考：上面这些命题，哪些是真命题 哪些是假命题 你对命题的结构理解了吗
命题的形式：如果……那么……
例1 观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？与同伴交流.
(1) 如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形的周长相等；
(2) 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；
(3) 如果一个数的平方等于 9，那么这个数是 3.
真命题
假命题
假命题
典例精析
有时为了叙述简便，也可以省略关联词“如果”和“那么”.
例如，“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”可以写成“对顶角相等”.
知识要点
命题
条件( p )
结论( q )
已知事项
由已知事项推出的事项
命题形式：
“如果 p，那么 q”，或“若 p，则 q”.
例2 指出下列命题的条件与结论.
(1)如果∠A =∠B，那么∠A 的补角与∠B 的补角相等 ；
(2) 两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行.
解 ： (1)“∠A =∠B”是条件，“∠A 的补角与∠B 的补角相等”是结论.
(2).“两条直线都平行于同一条直线”是条件，“两条直线平行”是结论.
1.把下列命题改写成“如果……那么……”的形式.并指出它的条件和结论.
1. 对顶角相等； 2. 内错角相等；
3. 两直线被第三条直线所截，同位角相等；
4. 垂直于同一直线的两直线平行.
解：(1) 如果有两个角是对顶角，那么这两个角相等.
条件：有两个角是对顶角，结论：这两个角相等.
(2) 如果有两个角是内错角，那么这两个角相等.
条件：有两个角是内错角，结论：这两个角相等.
练一练
(3) 如果有两直线被第三条直线所截形成三线八角，
那么其同位角相等；
条件：有两直线被第三条直线所截形成三线八角，
结论：其同位角相等.
(4) 如果有两直线垂直于同一直线，那么这两直线平行.
条件：有两直线垂直于同一直线，
结论：这这两直线平行.
（2）如果一个三角形是直角三角形，
那么这个三角形中有一个角是直角.
（1）如果一个三角形中有一个角是直角，
那么这个三角形是直角三角形；
指出下列命题的条件和结论，观察这两个命题有什么样的关系？并判断是真命题还是假命题.
条件
结论
条件
结论
命题(1)的条件和结论分别是命题(2)的结论和条件.
命题 (1) 真命题
成立
成立
命题 (2) 真命题
成立
成立
逆命题
3
将命题“如果 p，那么 q”中的结论和条件互换，便得到一个新命题“如果 q，那么 p”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作原命题的逆命题.
要点归纳
2. 写出下列命题的逆命题：
（1）若两数相等，则它们的绝对值也相等；
（2）如果 m 是整数，那么它也是有理数；
（3）两边相等的三角形是等腰三角形.
绝对值相等的两个数相等.
如果 m 是有理数，那么它也是整数.
等腰三角形的两边相等.
练一练
典例精析
解:命题 (1) 的条件是“ a 是整数”，结论是 “a是有理数”.
命题 (2) 的条件是“a是有理数”，结论是“a是整数”.
例3 下面两个命题是互逆命题吗？
(1) 如果 a 是整数， 那么 a 是有理数；
由于命题 (1) 的条件和结论分别是命题 (2) 的结论和条件，于是，命题 (1) 与命题 (2) 是互逆命题.
(2) 如果 a 是有理数，那么 a 是整数.
这两个命题是真命题还是假命题？
(1) 如果 a 是整数，那么 a 是有理数；
(2) 如果 a 是有理数，那么 a 是整数.
条件
结论
命题 (1) 真命题
成立
成立
条件
结论
命题 (2) 假命题
不一定成立
成立
若 a 为 0.1，0.1 是有理数，但不是整数.
由此可知，当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题.
反例
4
如：0 的绝对值是 0，不是正数.
1. 有理数的绝对值是正数.
假命题
判一判：下列命题是真命题还是假命题？
2. 如果 | a | = | b |，那么 a = b.
如： a = -1，b = 1， | a | = | b |，但 a≠b.
假命题
像这种符合命题条件论的例子，我们称之为反例.
讨论：我们如何判断一个命题的真假？
要判断一个命题是真命题需要推理论证；要判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可.
例如：相等的两个角是对顶角.
1
2
反例：符合命题条件，但不符合命题结论的例子.
例4 写出下列命题的逆命题，并判断所得的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举一个反例.
(1)内错角相等，两直线平行；
(2)如果 a = 0，那么 ab = 0.
解 ： (1)逆命题：两直线平行，内错角相等，是真命题.
(2)逆命题：如果 ab = 0，那么 a = 0，是假命题.
反例：当 a = 1，b = 0 时，ab = 0.
分析：要证明 AB，CD 平行，可以找同位角相等的条件，图中∠1 与∠3 就是同位角.
我们只要找出能说明它俩相等的条件就行了.
从图中，我们可以发现∠2 与∠3 是对顶角，所以∠3 = ∠2. 又已知∠1 = ∠2，这样我们就找到了∠1 =∠3 的确切条件了.
例5 如图，∠1 =∠2，试说明直线 AB，CD 平行.
证明：因为∠2 与∠3 是对顶角，
所以∠2 = ∠3.
又因为∠1 = ∠2，
所以∠1 = ∠3，
且∠1 与∠3 是同位角.
所以 AB 与 CD 平行.
证明：
∵∠2 与∠3 是对顶角，
∴∠3 =∠2.
又∵∠1 =∠2，
∴∠1 =∠3.
∴ AB∥CD.
例5 如图，∠1 =∠2，试说明直线 AB，CD 平行.
1.下列语句中，不是命题的是(　　)
A. 两点之间线段最短 B. 对顶角相等
C. 不是对顶角不相等
D. 过直线 AB 外一点 P 作直线 AB 的垂线
D
2.下列命题中，是真命题的是(　　)
A. 若 a · b＞0，则 a＞0，b＞0
B. 若 a · b＜0，则 a＜0，b＜0
C. 若 a · b＝0，则 a＝0 且 b＝0
D. 若 a · b＝0，则 a＝0 或 b＝0
D
3. 下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？
(1) 无理数都是无限小数；
(2) 互补的角是邻补角；
(3) 画一条直线；
(4) 四边形是正方形；
是
真命题
否
是
假命题
是
假命题
(5) 你出去玩吗？
(6) 实数和数轴上的点是一一对应的；
(7) 如果a＞b,那么ac＞bc（c≠0）；
(8) 过点 P 画线段 MN 的垂线；
(9) x＞2.
否
是
真命题
是
假命题
否
否
4. 举反例说明下列命题是假命题．
(1) 若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
(2) 若 ab＝0，则 a＋b＝0.
解：(1) 两条直线平行形成的内错角，这两个角不
是对顶角，但是它们相等.
(2) 当 a＝5，b＝0 时，ab＝0，但 a＋b ≠ 0.
定义与命题
定义
概念：判断一个事件的句子
结构：“如果 p，那么 q”，或“若 p，则 q”
相关概念：原命题、逆命题、互逆命题
命题

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