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第3课时 三角形中几条重要线段
第13章 三角形中的边角
关系、 命题与证明
13.1 三角形中的边角关系
1.了解三角形的角平分线、中线与高的概念，会用工具准确画出三角形的角平分线、中线与高；（重点）
2. 学会用数学知识解决实际问题的能力，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力.（难点）
这里有一块三角形的蛋糕，如果要平分给两个人的话，该怎么分呢？
三角形的高的定义
A
B
C
D
如右图，线段 AD 是 BC 边上的高.
和垂足的字母.
注意
!
标明垂直的记号
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
三角形的高
1
从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线，也叫作三角形的高.
思考：你还能画出一条高来吗？
一个三角形有三个顶点，应该有三条高.
(1) 你能画出三角形的三条高吗？
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？
O
(3) 锐角三角形的三条高是在三角
形的内部还是外部？
锐角三角形的三条高交于同一点.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
锐角三角形的三条高
如图所示.
直角边 BC 边上的高是 ；
直角边 AB 边上的高是 ；
(2) AC 边上的高是 ；
直角三角形的三条高
A
B
C
(1) 画出直角三角形的三条高，
AB
BC
它们有怎样的位置关系？
D
直角三角形的三条高交于直角顶点.
BD
钝角三角形的三条高
(1) 你能画出钝角三角形的三条高吗？
A
B
C
D
E
F
(2) AC 边上的高呢？
AB 边上呢？
BC 边上呢？
BF
CE
AD
A
B
C
D
F
(3)钝角三角形的三条高
交于一点吗？
(4)它们所在的直线交于
一点吗？
O
E
钝角三角形的三条高
不相交于一点.
钝角三角形的三条高所在直线交于一点.
点击播放视频
视频：画钝角三角形的高
例1 作△ABC 的边 AB 上的高，下列作法中，正确的是(　　)
方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．
D
例2 如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC 于点 D，且 AD＝4，若点 P 在边 AC 上移动，则 BP 的最小值为____．
方法总结：可利用面积相等作桥梁(但不求面积)
求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”．
三角形的角平分线
2
概念：三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.
如图，在△ABC 中，∠1 =∠2，
线段 AD 就是∠ABC 的一条角平分线.
A
B
C
D
1
想一想：三角形的角平分线与角的平分线有什么不同
不同点是：前者是线段，后者是射线.
2
B
D
C
A
B
A
C
用量角器画最简便，用圆规也能.
在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.
折痕 AD 即为三角形的∠A 的平分线.
A
B
C
A
D
问题2：请画出这个三角形的另外两条角平分线，你发现了什么？
三角形的三条角平分线交于一点．
A
B
C
D
E
F
问题1：一个三角形有几条角平分线？
3
例3 如图，DC 平分∠ACB，DE∥BC，∠AED = 80°，求∠ECD 的度数.
解：∵DC平分∠ACB，
又DE∥BC，
∴∠AED =∠ACB = 80°.
∴∠ECD = 40°.
∴∠ECD =∠BCD = ∠ACB.
典例精析
A
B
C
E
D
例4 如图，已知 AD 是△ABC 的角平分线，CE 是△ABC 的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB 的度数．
解：因为 AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC＝60°，
所以∠DAC＝∠BAD＝30°.
因为 CE 是△ABC 的高，∠BCE＝40°，
所以∠B＝50°.
所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD
＝180°－30°－50°＝100°.
点击播放视频
视频：平均分蛋糕
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线.
如图，线段 AE 是 BC 边上的中线.
三角形的“中线”
B
C
A
BE = EC
E
三角形的中线
3
(1) 在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线.
你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的
位置关系？
三条中线
交于一点
议一议
(2) 钝角三角形和直角三角形的中线又是怎样的？
折一折，画一画，并与同伴交流.
总结 三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心.
思考1:如图，在△ABC 中，AP 是△ABC 的中线，AD 是△ABC 的高．试判断△ABP 和△ACP 的面积有什么关系，为什么？
B
C
P
D
A
答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.
思考2:通过思考 1 你能发现什么规律？
答：三角形的中线能将三角形的面积平分.
例5 在△ABC 中，AC＝5cm，AD 是△ABC 的中线，若△ABD 的周长比△ADC 的周长大 2 cm，则 BA＝____cm.
提示：将△ABD 与△ADC 的周长之差转化为边长的差.
7
典例精析
三角形的 重要线段 概念 图形 表示方法
三角形的 角平分线 三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段 因为AD是△ABC的角平分线，所以∠BAD=∠CAD= ∠BAC.
三角形 的中线 三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段 因为 AD是△ABC的边BC上的中线，
所以BD=CD= BC.
三角形 的高线 从三角形的一个顶点到它对边所在的直线的垂线段 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC，
∠ADB=∠ADC=90°.
A
B
C
D
A
B
C
D

A
B
C
D
1．下列说法正确的是（　　）
A．三角形三条高都在三角形内
B．三角形三条中线相交于一点
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可
能在三角形外
D．三角形的角平分线是射线
B
2．在△ABC 中，AD 为中线，BE 为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD =∠CAD；②∠ABE =∠CBE；③ BD = DC；④ AE = EC．其中正确的是 (　　 )
A.①②
B.③④
C.①④
D.②③
D
A
B
C
D
E
解：因为 CD 是△ABC 的中线，
所以 BD = AD.
因为 BC - AC = 5cm，
所以△DBC 与△ADC 的周长差是 5 cm.
又因为△DBC 的周长为 25 cm，
所以△ADC 的周长为 25 - 5 = 20 (cm).
3. 如图，在△ABC 中，CD 是中线，已知 BC - AC = 5 cm， △DBC 的周长为 25 cm，求△ADC 的周长.
A
D
B
C
4. 如图，AE 是△ABC 的角平分线.已知∠B = 45°， ∠C = 60°，求∠BAE 和∠AEB 的度数.
A
B
C
E
解：因为 AE 是△ABC 的角平分线，
因为 ∠BAC +∠B +∠C = 180°，
所以∠BAC = 180°－∠B－∠C = 180°－45°－60° = 75°.所以∠CAE = ∠BAE = 37.5°.
所以 ∠AEB = 180°－∠BAE －∠B = 97.5°.
所以 ∠CAE = ∠BAE = ∠BAC.
5.如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的角平分线，已知∠BAC = 82°，∠C = 40°，求∠DAE 的大小.
解： 因为 AD 是△ABC 的高，
所以 ∠ADC＝90°.
因为 ∠ADC +∠C +∠DAC = 180°，
所以 ∠DAC=180°－∠ADC － ∠C
=180°－90°－40°=50°.
因为 AE 是△ABC 的角平分线，∠BAC = 82°，
所以∠CAE = 41°.
所以∠DAE =∠DAC－∠CAE = 50°－41° = 9°.
B
A
C
D
E
三角形重要线段
高
钝角三角形两短边上的高的画法
中线
会把原三角形面积平分
一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差
角平分线
定义

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