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第 13 章 三角形中的边角
关系、 命题与证明
13.2 命题与证明
第 2 课时 证明
1.理解和掌握定理的概念，了解证明（演绎推理）的概念;（重点）
2. 了解证明的基本步骤和书写格式，能运用已学过的几何知识证明一些简单的几何问题;（难点）
3.通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的探索精神，培养学习数学的兴趣．（难点）
两图中的中间圆大小一样吗？
线段AB和CD长度完全相等,虽然它们看起来相差很大!
A C
D
B
是静还是动？
平行线：不敢相信图中的横线是平行的，不过它们 就是平行线!
眼见不一定为实
请举例说明，你用到过的推理.
判断一个数学结论是否正确，仅观察、猜想、
实验还不够；
必须经过一步一步、有根有据的推理.
为什么要证明
1
a
b
考考你的眼力
线段 a 与线段 b 哪个比较长？
a
b
c
d
谁与线段 d 在
一条直线上？
a
b
a
b
c
d
检验你的结论
a = b
如图，假如用一根比地球的赤道长 1 米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？（地球看成球形）能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？
解：设赤道周长为 c，铁丝与地球赤道
之间的间隙为 ：
它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头.
练一练
费 马
当 n = 0，1， 2， 3， 4 时，
= 3，5，17，257，6 5537
都是质数
欧 拉
举出反例是检验错误
数学结论的有效方法.
大数学家也有失误
对于所有自然数 n， 的值都是质数.
当 n = 5 时，
= 4 294 967 297
= 641×6 700 417
这个故事告诉我们：
1. 学习欧拉的求实精神与严谨的科学态度.
2.没有严格的推理，仅由若干特例归纳、猜测的结论可能潜藏着错误，未必正确.
3.要证明一个结论是错误的，举反例就是一种常用方法.
要点归纳
做一做：下列命题中，哪些正确，哪些错误？
（1）每一个月都有 31 天；
（2）如果 a 是有理数，那么 a 是整数；
（3）同旁内角相等；
（4）同角的补角相等.
错误
错误
错误
正确
你能说说你是怎么判断的吗？
证明与推理
2
1.数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出
来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，
这样的真命题叫作基本事实.
两点确定一条直线.
两点之间，线段最短.
经过直线外的一点有且仅有一条直线与已知直线平行.
关于直线的基本事实：
关于线段的基本事实：
关于平行的基本事实：
基本事实的概念
2.有些命题是从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据.这样的真命题叫作定理.
同角或等角的补角相等.
2. 余角的性质：
同角或等角的余角相等.
4. 垂线的性质：
①在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
1. 补角的性质：
3. 对顶角的性质：
对顶角相等.
②垂线段最短.
学过的定理：
定理的概念
从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或演绎法). 演绎推理的过程，就是演绎证明，简称证明.
证实其他命
题的正确性
推理
推理的过程叫证明
经过证明的真命题叫定理
定义、基本事实、已证定理
已知条件
+
要点归纳
例1 如图，直线 c 与直线 a、b 相交，且∠1 = ∠2，求证：a∥b.
证明：∵∠1 =∠2 (已知)，
∠1 =∠3 (对顶角相等)，
∴∠2 =∠3 (等量代换).
∴ a∥b (同位角相等，两直线平行).
你还能找出几种证法？
3
2
1
a
b
c
典例精析
证明： ∵ OE 平分∠AOB，OF 平分∠BOC，
∴∠1 = ∠AOB，∠2 = ∠BOC.
又∵∠AOB +∠BOC = 180°，
∴∠1 +∠2 = (∠AOB +∠BOC) = 90°.
∴ OE⊥OF.
例2 已知：如图，∠AOB +∠BOC = 180°，OE 平分∠AOB， OF 平分∠BOC. 求证：OE⊥OF.
A
O
C
E
B
F
1
2
1.下列结论中你能肯定的是（ ）
A. 今天下雨，明天必然还下雨
B. 三个连续整数的积一定能被 6 整除
C. 小明在数学竞赛中一定能获奖
D. 两张相片看起来佷像，则肯定照的是同一个人
B
2.下列问题用到推理的是（ ）
A. 根据 a = 10，b = 10，得到 a = b
B. 观察得到了三角形有三个角
C. 老师告诉了我们关于金字塔的许多奥秘
D. 由经验可知过两点有且只有一条直线
A
3. 已知：如图，直线 AB 与直线 CD 相交于点 O，
∠AOC 与∠BOD 是对顶角.
求证：∠AOC =∠BOD.
证明：
已知
∴ ∠AOC＋∠AOD＝180°，
补角的定义
∴ ∠AOC =∠BOD ( ).
同角的补角相等
∵直线 AB 与直线 CD 相交于点 O ( )，
∠BOD＋∠AOD＝180° ( ).
4. 已知，如图 ∠1 =∠B，求证：∠2 =∠C.
A
B
C
D
E
1
2
证明：∵∠1 =∠B（ ），
∴ AE∥BC
（ ）.
∴∠2 =∠C
（ ）.
已知
同位角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
证明
定理：经过证明的真命题称为定理
证明：除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明

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