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2024-2025学年湖北省孝感市高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则的虚部是( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，则在方向的投影向量为( )
A. B. C. D.
3.已知且，则( )
A. B. C. D.
4.在中，设，，，，，则( )
A. B. C. D.
5.下列命题：
若都是非零向量，则；
的充要条件是且；
，为实数，若，则与共线；
若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件．
其中，真命题的个数是( )
A. B. C. D.
6.在中，，，，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，，为图象与轴的交点，为图象上的最高点，且，则( )
A.
B. 在上有个零点
C. 在上单调递减
D. 函数的图象关于直线对称
8.在中，内角，，所对的边分别为，，，若是边上的一点，，且，，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若，互为共轭复数，则为实数
B. 对于复数，，若，则
C. 若是关于的二次方程的根，则也是该方程的根
D. 复数满足，则的最大值为
10.已知向量，，则下列命题正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 是与共线的单位向量，则
D. 取得最大值时，
11.在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，且，则为直角三角形
B. 若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形
C. 若，则为钝角三角形
D. 若，则为锐角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，点在直线上，且，则点的坐标是______．
13.先将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若，且，则的取值范围是____．
14.如图，在平面四边形中，点、分别是线段、的中点，，，为平面内一点，且，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
瑞士数学家欧拉于年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中有非常重要的地位，被推举为“数学中的天桥”．
若复数，求；
在复平面内，复数，对应的向量分别是，其中是原点，设与所成的角为，求．
16.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，．
求；
若，求．
17.本小题分
在中，，为边上一点，与相交于点．
若，求实数的值；
若，，，求的余弦值．
18.本小题分
已知函数的图像的两条相邻对称轴之间的距离为．
求函数在区间上的单调递减区间；
若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围．
19.本小题分
著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马于年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使的点即为费马点已知，，分别为三个内角，，的对边，，，点是的“费马点”．
求角；
若，求的周长；
在的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.由题意得
，
所以；
根据，对应向量，可得，
因为对应的向量为，
所以与所成的角为，满足．
16.因为，
化简得，
由正弦定理得：，
由余弦定理可得，
因为，所以；
由，得，，，
因为，所以
，
在中，由正弦定理得，
所以．
17.因为，故，
又因为与共线，设，则，
由题意知，故，
所以，实数的值为；
因为，
所以，
所以
，
，
，
所以．
18.由题意得
，
由图象的两条相邻对称轴之间的距离为，可得的周期，可得，．
所以，由，解得，
可得的减区间为，取、，与的减区间取交集，
可得在区间上的单调递减区间为与；
当时，，
可知在上是增函数，在上是减函数，最小值为，最大值为．
设，则方程可化为，
显然不是方程的根，所以将方程化为，，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以在上单调增，在上单调减，最大值为．
因为方程区间上有两个不相等的根，
所以或，即实数的取值范围是或
19.因为，所以可化为，
由正弦定理可得：，因为，所以，
所以，即，
因为，所以，，
所以，所以；
因为，所以的内角均小于，
所以点在的内部，且，
设，
因为，整理得：，
由，
得，即，
在中，由余弦定理得：，
即，则，解得，
所以的周长为；
在，，中，由余弦定理得：，
将三个等式左右分别相加得：，
由知，，
在中，由余弦定理得：，即，
将，代入整理得，，所以，
从而，
由题意，当时，不等式恒成立，即在上恒成立，
因为，当且仅当时等号成立，所以，
所以实数的取值范围为．
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