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2024-2025学年辽宁省抚顺市四方高级中学高二（下）期末
数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，去除两个样本点和后，新得到的经验回归直线斜率不变，则新得到的经验回归方程为( )
A. B. C. D.
2.曲线：的离心率为( )
A. B. C. D.
3.记等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
4.某高中举行益智闯关团队赛，共个关卡现有包含甲、乙、丙在内的名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.已知圆，圆，则两个圆的位置关系为( )
A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切
6.已知函数在上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.若函数图象在点处的切线方程为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.宋代著名类书太平御览记载：“伏羲坐于方坛之上，听八风之气，乃画八卦”乾为天，坤为地，震为雷，坎为水，艮为山，巽为风，离为火，兑为泽，象征八种自然现象，以类万物之情如图所示为太极八卦图，八卦分据八方，中绘太极，古代常用此图作为除凶避灾的吉祥图案八卦中的每一卦均由纵向排列的三个爻组成，其中“”为阳爻，“”为阴爻，现从八卦中任取两卦，已知取出的两卦中有一卦恰有一个阳爻，则另一卦至少有两个阳爻的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知甲组样本数据：，，，，乙组样本数据：，，，，，其中，且甲、乙两组样本数据的平均数相同，则( )
A. 两组样本数据的样本中位数相同 B. 两组样本数据的样本极差相同
C. 两组样本数据的样本第百分位数相同 D. 两组样本数据的样本方差相同
10.若函数，下列说法正确的是( )
A. 的单调递减区间是
B. 是的极小值点
C. 没有最大值也没有最小值
D. 若函数在区间上有两个零点，则的取值范围为
11.已知数列，，其中第项为，接下来的项为，接下来的项为，依此类推，设为的前项和，则( )
A.
B.
C. 有且仅有一个正整数，使得
D. 存在无数个正整数，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是正项等比数列，若，则的最小值为______．
13.某农场种植的水果由甲、乙两块果园产出，甲果园产量占总产量的，乙果园产量占总产量的甲果园水果的优质率为，乙果园水果的优质率为从农场所有水果中随机选一个，估计选到优质水果的概率为______．
14.若，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，
求；
求；
求．
16.本小题分
已知数列的前项和为，且，．
求的通项公式：
若，，求．
17.本小题分
已知函数，其中．
当时，求出函数的极值并判断方程的解的个数；
当时，证明：对于任意的实数，，都有．
18.本小题分
在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为点在线段上，且满足当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线．
求曲线的标准方程．
过点的直线交曲线于，两点，过点与垂直的直线交曲线于，两点，其中，在轴上方，，分别为，的中点．
(ⅰ)证明：直线过定点；
(ⅱ)求面积的最大值．
19.本小题分
为加深青少年对党的历史、党的知识、党的理论和路线方针的认识，激发爱党爱国热情，坚定走新时代中国特色社会主义道路的信心，某校举办了党史知识挑战赛该挑战赛共分关，规则如下：两人一组，首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者关都挑战成功，挑战比赛结束已知甲乙两名同学一组参加挑战赛，若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响．
已知甲先上场，，，，
求挑战没有一关成功的概率；
设为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求；
如果关都挑战成功，那么比赛挑战成功试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率内是否相同，并说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.令，得，
令，得，
所以．
根据该二项式的展开式可知，，
令，得，
．
对两边同时求导，
可得，
令，可得．
16.由，，
可得，
相减可得，则；
由，可得，
则，
所以
．
17.当时，，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数有极小值，无极大值．
方程解的个数，转化为与交点的个数，
由于在上单调递减，在上单调递增，
所以，
令，解得且时，；时，，
所以当时，方程有个解；
当或时，方程有个解；
当时，方程有个解．
证明：要证，
不妨设，即证，
两边同时除以并化简，即证，
令，则，设，，
，令，则在上恒成立，
得在上单调递增，
故F，故F在上单调递增．
所以，从而命题得证．
18.设点是所求曲线上的一点，且，
因为轴于，
所以，
因为，
所以，
因为点是圆上任意一点，
所以，
整理得，
则曲线的标准方程为；
证明：当直线的斜率存在且不为时，
设直线方程为，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
所以，
可得，
因为直线与直线垂直，
所以直线的方程为，
设，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
所以，
可得，
则，
所以直线的方程为，
即，
令，
解得，
所以直线过定点；
当直线的斜率不存在时，直线方程为，
此时，
所以，
直线的方程为，
可得，，
则，
所以直线过定点，
综上所述，直线过定点；
由知，直线过定点，且，
可得，
所以
，
令，，
此时，
令，
易知函数在上单调递增函数，
所以当时，．
即时，面积取得最大值，最大值为．
19.解：记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为，
则；
依题可知，的可能取值为，，，
则由知，
，
，
的分布列为：


；
设甲先出场成功概率为，乙先出场成功概率为，
则
，
，
，
，
，
因此，甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同．
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