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2024-2025学年内蒙古乌兰察布市集宁二中高一（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则实数( )
A. B. C. D.
3.不等式的解集为( )
A. B.
C. 或 D.
4.将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到的图象，则( )
A. B. C. D.
5.已知，表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知圆台的上底面半径为，下底面半径为，侧面积为，则该圆台的体积( )
A. B. C. D.
7.一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为，；红球有两个，编号为，从盒中不放回的依次取出两个球，表示事件“第一次取出的是红球”；表示事件“取出的两球同色”，表示事件“取出的两球不同色”，则下列说法正确的是( )
A. 与互斥 B. 与互斥 C. D.
8.古希腊数学家泰特托斯，公元前公元前年详细地讨论了无理数的理论，他通过如图来构造无理数，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.从甲袋中摸出一个红球的概率为，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球下列结论正确的是( )
A. 个球都是红球的概率为 B. 个球不都是红球的概率为
C. 至少有个红球的概率为 D. 个球中恰有个红球的概率为
10.已知甲、乙两组数据分别为，，，，，和，，，，，若甲、乙两组数据的平均数相同，则( )
A. 甲组数据的中位数为 B. 乙组数据的第百分位数为
C. 甲、乙两组数据的极差相同 D. 甲组数据的方差小于乙组数据的方差
11.在中，角，，所对的边分别是，，，其中，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 若，则为直角三角形 D. 若，则面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一个正方形的所有项点在一个球面上，若这个正方体的表面积为，则这个球的表面积为______，
13.在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生人，其平均数和方差分别为和，抽取了女生人，其平均数和方差分别为和，则估计出总样本的方差为______．
14.如图，在正方体中，二面角的正切值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，且．
求的值；
设，求的值域和单调区间．
16.本小题分
为调查学生体能状况，现从某校高一年级参加体能测试的学生中随机抽取名学生的体能测试成绩，这组数据均在区间，其频率分布直方图如图所示．
求的值；
用组中值估计该校高一学生的平均体能测试成绩；
现用分层抽样的方法从区间，，抽取人，再从抽取的人中随机抽取人，求这人体能测试成绩在的概率．
17.本小题分
如图，在正方体中，、分别为B、的中点．
证明：平面；
求与平面所成角的大小．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为棱，的中点．
求证：平面；
求点到平面的距离．
19.本小题分
已知的面积为，三边分别为，，，且．
求；
若，，求三角形外接圆半径．
若，求周长的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.，且，
由已知得，结合，
所以；
由知：，所以，
所以
，
显然的值域为，因为在上递增，在上递减，，
所以令，解得的递增区间为，，
再令，解得的递减区间为，．
16.由题意可得，解得；
平均数为，
故该校高一学生的平均体能测试成绩为；
，，的频率分别为，，，故之比为：：，
所以从，，抽取个人，
所以需要从，，分别抽取的人数为，，，
设的个人为，的个人为，，，的一个人为，
因此样本空间为，共有个，
则人体能测试成绩在的样本点有共有个，
故人体能测试成绩在的概率为．
17.证明：
在正方体中，分别取，的中点，，连接，，，
因为、分别为B、的中点，所以，
且，且，
又因为且，
所以且，
即四边形是平行四边形，故，
因为平面，平面，
所以平面．
连接，交于点，连接，
因为平面，平面，故A，
又因为四边形是正方形，则，
而，且，平面，
故BC平面，
所以即与平面所成角，
设正方体的棱长为，则，
在中，，则，
即与平面所成角的大小为．
18.证明：如图，连接，
因点为的中点，且，，，，
所以，易知四边形是正方形，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面．
在中，，
在中，，
又，
因为，所以，
则的面积为，的面积为，
设点到平面的距离为，
因为，
所以，
则，
即点到平面的距离为．
19.，
，
，且，
，
；
，，，
根据余弦定理得，，
，，
；
若，则，当且仅当时取等号，
解得，
故，即周长的最大值为．
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