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2024-2025学年黑龙江省牡丹江第二高级中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则向量在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，对于下列四个命题：，；若，为异面直线，，，，；，，；，其中正确命题的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.下列说法正确的是( )
A. 数据，，，，的第百分位数是
B. 若一组样本数据，，，，，的平均数为，则
C. 用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大
D. 若，，，的标准差为，则，，，，的标准差是
6.如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
7.在中，点，在边上，为边上中线，为平分线，若，，的面积等于，则( )
A. B. C. D.
8.如图所示，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，是棱上的动点，为棱的中点，则下列结论错误的是( )
A. 当为中点时，，，，四点共面
B. 当为中点时，直线与所成角为
C. 三棱锥的体积为定值
D. 的最小值为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知的内角，，的对边分别为，，，且，则( )
A. B. 的外接圆半径为
C. 若，则的面积为 D. 边上中线的最大值为
10.设，易两个随机事件，且，则下列结论正确的是( )
A. 若，是互斥事件，则
B. 若，则
C. 若，是相互独立事件，则
D. 若，则，是相互独立事件
11.已知为坐标原点，点，，，，则( )
A. B. 的最大值为
C. 的范围是 D. 的范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数，且为纯虚数，其中是虚数单位，则 ______
13.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数分别记为，，则事件“”的概率为______．
14.在三棱锥中，，点在底面的投影为的外心，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，，分别为内角，，的对边，且
求；
若，，求的面积．
16.本小题分
今年是国家安全法颁布十周年，月日迎来了第十个全民国家安全教育日某大学团委组织开展了年全民国家安全教育知识竞答活动，旨在践行总体国家安全观，增强全民国家安全意识和素养该活动共有名学生参加，现将所有答案卷面成绩统计分成五段，分别为，，，，并作出如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值；
根据频率分布直方图，求这名学生成绩的中位数和平均数同一组中的数据用该区间的中点值作代表；
已知学生成绩落在的平均数是，方差是；落在的平均数是，方差是求这两组数据的总方差．
附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，．
求证：平面；
求直线与平面所成角的余弦值．
18.本小题分
已知中，角，，的对边分别为，，，．
是边上的中线，，且，求的长度．
若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
19.本小题分
如图，四棱锥的底面是正方形，是正三角形，平面平面，是的中点．
求证：平面；
求二面角的余弦值；
在棱上是否存在点使平面平面成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
参考答案
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13.
14.
15.解：．
由正弦定理可得：．
由余弦定理可得：，
，
．
，，，
由余弦定理，可得：，可得：，解得：，负值舍去，
的面积．
16.根据频率分布直方图，有，
解得；
因为，，
所以中位数在内，
可得中位数为，
学生成绩的平均数为；
这两组数据的平均数为，
这两组数据的总方差为
．
17.证明：取的中点，连接，
因为为等边三角形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又，，，面，
所以平面．
解：连接，
由得平面，
所以即为直线与平面所成的角，
因为是等边三角形，且，是的中点，
所以，
在中，，
所以，
即直线与平面所成角的余弦值为．
18.解：因为，由正弦定理得：，
在中，，
可得，即，
由，
所以，
解得；
因为为的中点，，且，
则，
两边平方可得，
即，
可得，
由余弦定理可得；
为锐角三角形，且，
，
由正弦定理可得，
可得，
因为，可得，
可得，
所以，
所以
所以面积的取值范围为
19.证明：设，交于点，连接，则为中点．
在中，，分别为，中点，所以．
因为平面，平面，
所以平面．
解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接．
因为平面平面，平面平面，
所以平面．
因为平面，所以．
又，，，平面．
所以平面．
因为平面，所以，
则即为平面与底面所成二面角的平面角．
设，则，，故，
所以，
即二面角的余弦值为．
解：存在点，当时，平面平面．
证明如下：
如图，取中点，连接交于点，连接，
因为是正三角形，所以．
因为平面平面，平面平面，
所以平面．
因为，所以，所以平面．
因为平面，所以．
因为底面是正方形，所以．
又，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
所以棱上点存在点，当时，平面平面．
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