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2024-2025学年新疆哈密十五中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，三点共线，则( )
A. B. C. D.
3.已知，是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线，且，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，则
4.在中，若，，，则等于( )
A. B. C. 或 D. 或
5.将周长为的矩形绕边所在直线旋转一周得到圆柱当该圆柱体积最大时，边的长为( )
A. B. C. D.
6.如图，在正方体中，直线与所成角为( )
A. B. C. D.
7.已知向量，则( )
A. B. C. D.
8.等腰四面体是一种特殊的三棱锥，它的三组对棱分别相等已知一个长方体的体积为，则用长方体其中的四个顶点构成的等腰四面体的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数满足，其中为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D.
10.如图，已知正方体的棱长为，则下列四个结论正确的是( )
A.
B. 平面
C. 正方体的外接球的表面积为
D. 三棱锥的体积为
11.的内角，，的对边分别为，则( )
A. B.
C. D. 中边中线长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，且，则 ______，在方向上的投影向量的坐标为______．
13.已知等边边长为，平面，且，则点到平面的距离为______．
14.已知三棱锥中，，，，三棱锥的体积为，则当取最小值时，三棱锥外接球的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
若，求的坐标；
若，求与的夹角的余弦值．
16.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求角；
若的面积为，周长为，求的值．
17.本小题分
已知正方体图，
求证：平面平面D.
求二面角的大小的余弦值．
18.本小题分
在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点．
求的长度；
求的余弦值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面．
证明：平面；
求证：平面平面；
若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值．
参考答案
1.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.已知，
又，
设，
由题意有，
解得或，
故的坐标为或；
由化简整理得，
则，
解得，
即．
16.解：根据正弦定理可得，，
因为，所以，
所以，
又，所以；
因为，的面积为，
所以，，
由余弦定理可得，，
，
解得，
所以的值为．
17.解：证明：在正方体中，，，
则四边形是平行四边形，
所以，又因为平面，平面，
所以平面，
同理平面，而，，平面，
所以平面平面D.
取中点，连接，，则，，
所以是二面角的平面角，
令正方体的棱长为，
则，，
由平面平面，得二面角的大小等于，
所以二面角的大小的余弦值为．
18.连接，则是的中位线，
故，且，
在中，，又，，
故是等边三角形，
所以，
因为∽，所以，
所以；
在中，由余弦定理得：
，
解得，则，
因为，所以，
在中，由勾股定理得，
因为∽，所以，解得，
在中，由余弦定理得，
因为，所以的余弦值为．
19.证明：且，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面；
平面，平面，
，
连接，且，
四边形为平行四边形，
，，
平行四边形为正方形，
，
又，，
又，面，面，
面，
面，
平面平面；
解：平面，平面，，
又，，平面，平面，
平面，
平面，，
为二面角的平面角，从而，
在中，，
作于，连接，
由知，平面平面且平面，平面平面，
面，即为直线在平面上的投影，
为直线与平面所成角，
在直角中，，，，
，
面，面，，
在直角中，，，
，
则直线与平面所成角的正切值为．
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