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2024-2025学年甘肃省平凉市庄浪一中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，且，那么等于( )
A. B. C. D.
2.已知函数在上可导，则( )
A. B. C. D.
3.如图，是直三棱柱，，点、分别是、的中点，若，则与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
4.如图，空间四边形中，，，，点在上，且满足，点为的中点，则( )
A. B.
C. D.
5.曲线在点处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
6.设函数，若是函数的极大值点，则函数的极小值为( )
A. B. C. D.
7.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设函数，则下列说法正确的是( )
A. 定义域是 B. 时，图象位于轴下方
C. 有且仅有两个极值点 D. 存在单调递增区间
10.如图，在四面体中，点，，，分别是棱，，，的中点，截面是正方形，则下列结论正确的是( )
A. B. 截面
C. D. 异面直线与所成的角为
11.下列说法正确的是( )
A. 曲线在处的切线与直线和围成的三角形的面积为
B. 函数与函数的图象在点处的切线相同，则实数
C. 曲线在点处的切线方程为，则点的坐标是
D. 直线上的点到曲线距离的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若是函数的一个极值点，则实数_________．
13.如图，在正四棱锥中，底边，侧棱，为侧棱上一点，若平面，则二面角的余弦值是______．
14.如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，点在线段上运动，给出下列四个结论：
平面截正方体所得的截面图形是五边形；
直线到平面的距离是；
存在点，使得；
面积的最小值是．
其中所有正确结论的序号是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若曲线在点处的切线斜率为，求的值；
求在区间上的最大值与最小值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．
证明平面；
证明平面；
求二面角的大小．
17.本小题分
已知函数
讨论的单调性
当时，证明
18.本小题分
如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求二面角的正弦值；
Ⅲ求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ当时，求函数的单调区间；
Ⅲ当时，恒成立，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：函数的定义域为，
求导得，
因为曲线在点处的切线斜率为，
所以，
即，
解得．
令，即，
解得，或，
因为，
当变化时，，的变化情况如表所示：
单调递减 单调递增
所以在区间上的最大值是，最小值是．
16.解：方法一：
证明：连接，交于，连接．
底面是正方形，点是的中点
在中，是中位线，
而平面且平面，
所以，平面
证明：
底面且底面，
，可知是等腰直角三角形，而是斜边的中线，
同样由底面，得．
底面是正方形，有，平面．
而平面，
由和推得平面．
而平面，
又且，所以平面．
解：由知，，故是二面角的平面角．
由知，，．
设正方形的边长为，
则，．
在中，．
在中，，．
所以，二面角的大小为．
方法二：如图所示建立空间直角坐标系，为坐标原点，设．
证明：连接，交于，连接．
依题意得．
底面是正方形，是此正方形的中心，故点的坐标为且．
，这表明．
而平面且平面，平面．
证明；依题意得，．
又，故．
．
由已知，且，所以平面．
解：设点的坐标为，，则．
从而，，所以．
由条件知，，即，解得
点的坐标为，且，
即，故是二面角的平面角．
，且，，
．
．
所以，二面角的大小为．
17.解：，
，，
当时，恒成立，此时函数在上单调递增，
当时，令，解得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
综上所述当时，函数在上单调递增，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
证明：由可知，当时，函数在上单调递增，
在上单调递减，
，
从而要证，只要证，
令，则，问题转化为证明，
令，则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
，即成立，
当时，成立．
18.解：根据题意，以为原点，，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
，，，，，
Ⅰ方法一：在三棱柱中，平面，
则该三棱柱是个直三棱柱各侧棱均垂直底面，各侧面均与底面垂直
，为
为棱的中点，
，
又平面平面，
平面，
，
方法二：证明：依题意，，，
，
，即；
Ⅱ依题意，是平面的一个法向量，
，，
设为平面的法向量，
则，即，
不妨设，则，
，，
，，
二面角的正弦值为；
Ⅲ依题意，，
由Ⅱ知，为平面的一个法向量，
，，
直线与平面所成角的正弦值为．
19.解：Ⅰ且，
，
当时，，，
，，
故曲线在点处的切线方程为，即；
Ⅱ易得定义域为，
当时，，
令，得或，
当或时，，单调递减；当或时，，单调递增；
故的单增区间为，；单减区间为，；
Ⅲ“，即”是“当时，恒成立”的必要条件．
当，时，，
令，
由Ⅱ知，在单调递减，在单调递增，
故，
即，
所以的取值范围是
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