资源简介

2024-2025学年黑龙江省龙东联盟高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知的内角，，所对的边分别为，，，若，则的外接圆的半径为( )
A. B. C. D.
4.已知为所在平面内的一点，，则( )
A. B. C. D.
5.在三棱锥中，两两垂直，则该三棱锥外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
6.已知四棱锥中，，则该四棱锥的高为( )
A. B. C. D.
7.某同学用个全等的小三角形拼成如图所示的边长为的等边三角形，已知，则( )
A. B. C. D.
8.已知中，，若点，，，，依次将线段平均分成份，设，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，，则
C. 若，，，则 D. 若，，则
10.在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，则的取值范围为
D. 若，且三角形有两解，则的取值范围为
11.如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点，点是直三棱柱表面上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 若是线段上一点，则三棱锥的体积为定值
B. 若平面平面，则点的轨迹长度为
C. 若是的中点，则与平面所成角的正弦值为
D. 若点是线段上一点，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是虚数单位，则 ______．
13.已知向量满足，则______．
14.已知三棱锥的各个顶点都在表面积为的球的球面上，且球心为的中点，，若，分别为直线，上的动点，则线段长度的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，正三棱柱中，，，为的中点．
求证：平面；
求异面直线与所成角的余弦值．
16.本小题分
已知是平面内两个不共线向量，，且，，三点共线．
求实数的值；
已知，若，且，，，四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标．
17.本小题分
如图，已知长方形是圆柱的轴截面经过旋转轴的截面，点在底面圆周上异于，两点，，点是上靠近点的三等分点．
求证：平面平面；
求点到直线的距离．
18.本小题分
对于一个向量组且，令，如果存在，使得，则称是该向量组的“向量”．
设，若是向量组的“向量”，求实数的取值范围；
若，向量组是否存在“向量”若存在，求出正整数的值；若不存在，请说明理由；
已知均是向量组的“向量”，若，，其中是的内角，设的内角，，的对边分别为，，，若的平分线交于，，求的取值范围．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，点在底面的投影恰为的重心．
求证：；
若直线与平面所成角的正弦值为，点为棱上的动点不包括端点．
求四棱锥的体积；
求平面与平面夹角的余弦值的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.证明：连接，交于点，则为的中点，连接，
中，为中位线，所以B.
因为平面，平面，所以平面．
解：由可知，
所以或其补角是异面直线与的所成角，
中，，
根据，可得，同理可得，
在中，由余弦定理得，
所以异面直线与所成角的余弦值等于．
16.，
因为，，三点共线，所以存在使得，
即，
因为是平面内两个不共线向量，
所以，
解得；
当时，
所以，
设，则，
因为，，，四点按逆时针顺序构成平行四边形，
所以，即，
解得
所以．
17.证明：由题知平面，又平面，所以．
因为是底面圆周上一点，所以．
又，，平面，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
解：因为，所以．
以点为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，过点垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，故，，
设点到直线的距离为，则；
故点到直线的距离为．
18.由题意可得：，
，
则，
解得：；
存在“向量”，且“向量”为，理由如下：
由题意可得，
若存在“向量”，只需使．
因为，
，，，
，，
所以，
故只需使，
整理得，
故，即，
即，
所以，
解得，，当时，，
故当或或时，符合要求，
当为其他整数时，均不合要求，
故存在“向量”，且“向量”为；
由题意，得，，，
由，可得，
即，
同理，，
三式相加并化简，得：，
即，所以，
所以，
，得，
因为，所以，
在中，由正弦定理可得，
所以，
同理在中，，则，
又，
所以
，
因为，所以，
则
所以．
19.解：证明：如图，连接．
因为底面，平面，所以．
因为四边形是边长为的菱形，，
所以为等边三角形．
因为是的重心，所以．
又，，平面，
所以平面．
因为平面，
所以．
连接交于点．
因为为的重心，所以．
因为底面，
所以为直线与平面所成角，
故，
解得，
所以四棱锥的体积．
以，所在直线为，轴，过作平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
．
设，则．
设平面的一个法向量为，
则，则，
取，则，
设平面的法向量为，
则，则，
取，则，
设平面与平面的夹角为，
则，
令，
则，
由于，
故，
当且仅当，即时取等号，
故平面与平面夹角的余弦值的最大值为．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑