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2024-2025学年河南省新乡市新鼎高中、新誉佳高中高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算( )
A. B. C. D.
2.用分类加法计数原理计算：书架上有本不同的数学书和本不同的物理书，从中任取本书，共有多少种取法？( )
A. B. C. D.
3.从名教师中选出名参加会议，则不同的选取方法种数为( )
A. B. C. D.
4.已知，，则等于( )
A. B. C. D.
5.二项式的展开式中，各项二项式系数的和是( )
A. B. C. D.
6.某个班级有名学生，其中男生名，女生名，男生中有名团员，女生中有名团员．在该班中随机选取一名学生，如果选到的是团员，那么选到的是男生的概率为( )
A. B. C. D.
7.某高校有智能餐厅、人工餐厅，甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为则甲第二天去餐厅用餐的概率为( )
A. B. C. D.
8.名同学排成一排，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻的不同排法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列式子正确的是( )
A. B. C. D.
10.若为等差数列，，，则下列说法正确的是( )
A. B. 是数列中的项
C. 数列单调递减 D. 数列前项和最大
11.已知，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.要从件不同的礼物中选出件分送位同学，不同方法的种数是______．
13.学生可从本年级开设的门选修课中任意选择门，并从种课外活动小组中选择种，不同的选法种数是______．
14.某高校安排甲、乙、丙、丁、戊名大学生去郑州、新乡、焦作、安阳四个城市进行暑期社会实践，每位大学生只分配到一个城市，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
书架的第层放有本不同的计算机书，第层放有本不同的文艺书，第层放有本不同的体育书．
从书架上任取本书，有多少种不同取法？
从书架的第层、第层、第层各取本书，有多少种不同取法？
16.本小题分
在的展开式中，求：
第项的二项式系数；
含的项的系数．
17.本小题分
从含有件次品的件产品中，任意抽取件进行检验
抽出的产品都是合格品的抽法有多少种？
抽出的产品中恰好有件是次品的抽法有多少种？
抽出的产品中至多有件是次品的抽法有多少种？
18.本小题分
“青团”是江南人家在清明节吃的一道传统点心，据考证“青团”之称大约始于唐代，已有多年的历史现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的“青团”，已知甲箱中有个蛋黄馅的“青团”，个肉馅的“青团”和个青菜馅的“青团”乙箱中有个蛋黄馅的“青团”，个肉馅的“青团”和个青菜馅的“青团”问：
从甲箱中取出一个“青团”是蛋黄馅的的概率是多少？
若依次从甲箱中取出两个“青团”，求第一个是蛋黄馅的条件下，第二个是肉馅的概率；
若先从甲箱中随机取出一个“青团”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个“青团”，从乙箱取出的“青团”是蛋黄馅的概率．
19.本小题分
已知函数，．
若，求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ求的单调区间；
Ⅲ若和有相同的最小值，求的值．
参考答案
1.
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4.
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10.
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12.
13.
14.
15.解：从书架上任取本书，有三类方案：
第类，从第层取本计算机书，有种方法；
第类，从第层取本文艺书，有种方法；
第类，从第层取本体育书，有种方法．
根据分类加法计数原理，不同取法的种数为．
从书架的第层、第层、第层各取本书，可以分三步完成：
第步，从第层取本计算机书，有种方法；
第步，从第层取本文艺书，有种方法；
第步，从第层取本体育书，有种方法．
根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为．
16.解：由二项式定理可知，在展开式中，
第项为．
所以第项的二项式系数为．
由二项式定理可知，在展开式中，
第项为．
当时，展开式中含的项的系数为．
17.根据题意，件产品中有件次品，件合格品，
任意抽取件进行检验，则都是合格品的抽法有种，
根据题意，抽出的产品中恰好有件是次品，即件次品，件合格品，
其抽法有种；
根据题意，抽到件次品的抽法有，
任抽件产品的抽法一共有，
故抽出的产品中至多有件是次品的抽法有种．
18.解：设事件“取出青团是蛋黄馅”，．
设事件“甲箱中取出的第一个青团是蛋黄馅”，事件“取出第二个青团是肉馅”，
．
设事件“从乙箱取出的“青团”是蛋黄馅”．
设事件，，分别是甲箱中取出蛋黄馅的“青团”，肉馅的“青团”和青菜馅的“青团”，
．
19.解：Ⅰ若，，，
故，，
故在点处的切线方程为；
Ⅱ，
当时，，是增函数；
当时，由得，时，，时，，
故的单调递增区间为，递减区间为；
Ⅲ由Ⅱ知，时，
，当时，，在上是减函数，没有最小值，
时，令得，，，
故是的极小值，也是最小值，此时，
由题意得，即，
即，令，，显然，
又，，时，时，，
故是的极小值，也是最小值，而，，
故在上单调递增，故是唯一的零点，
即即为所求．
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