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2024-2025学年吉林省长春市希望中学高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面向量，若，则( )
A. B. C. D.
2.学校准备举办王者荣耀比赛，从名最强王者，名无双王者，名荣耀王者中，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，则抽取最强王者的人数是( )
A. B. C. D.
3.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
4.立体几何中的四个基本事实是学习立体几何的基础，下列四个命题中不是立体几何中的基本事实的是( )
A. 过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面
B. 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
C. 平行于同一条直线的两条直线平行
D. 垂直于同一条直线的两条直线平行
5.有一组样本数据，，，，其平均数为，方差为，若样本数据，，，的平均数为，方差为，则( )
A. B. C. D.
6.在正方体中，连接，，则直线，位置关系是( )
A. 异面且垂直 B. 异面但不垂直 C. 相交且垂直 D. 平行
7.已知圆锥底面半径为，其母线与下底面所成角为，则该圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
8.如图，在四面体中，是的中点设，，，用，，表示，则( )
A. B.
C. D.
9.如图，为水平放置的的直观图，其中，，则原平面图形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.给定一组数据，，，，，，，，，，则这组数据的( )
A. 极差为 B. 标准差为 C. 平均数为 D. 中位数为
11.已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，，，则三角形有两个解
C. 若，则为等腰三角形或直角三角形
D. 若的面积，则
12.已知向量，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
D. 的最大值为
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
13.已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则______．
14.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，，，则球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量，，．
求函数在上的单调区间．
当时，求函数的最小值及此时的值．
16.本小题分
年吉林市马拉松赛将于月日：正式开赛为积极参与马拉松比赛，吉林市某中学决定从名学生随机抽取名学生进行体能检测，这名学生进行了公里的马拉松比赛，比赛成绩分钟的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是，，，，．
求图中的值；
根据频率分布直方图，估计这名学生比赛成绩的平均数；
根据频率分布直方图，估计这名学生比赛成绩的第百分位数；
根据样本频率分布直方图，估计该校名学生中约有多少名学生能在分钟内完成公里马拉松比赛？
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，为的中点，为的中点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：
证明：直线平面；
求异面直线与所成角的大小；
求直线与平面所成角的余弦值．
18.本小题分
在长方体中，侧面为正方形，，为线段不包含端点上一动点，请利用空间向量法解决下列两个问题．
若，求的长度；
求点到平面距离的取值范围．
19.本小题分
定义向量的“相关函数”为；函数的“相关向量”为．
求函数的“相关向量”的模长；
在中，角，，的对边分别为，，，若函数的“相关向量”为，且已知．
求周长的最大值；
求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.，，
则，
，，
令得；
令得；
得．
的单调递增区间为和，单调递减区间为．
当时，，此时，
则，
的最小值为，
此时，即．
16.根据题意可得，解得；
平均分估计为．
成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
故第百分位数落在，且为；
样本中分钟之前频率为，
因此估计该校名学生中能在分钟内完成公里马拉松比赛的学生人数为．
17.证明：如图，分别以，，所在直线为，，轴建立坐标系，
则，
，，
设平面的法向量为，
则，取，解得，
，又平面，
直线平面．
解：设与所成的角为，
，，
，
，
与所成角为．
设直线与平面所成角为，
则，，
直线与平面所成角的余弦值为．
18.解：以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，设且，
则，，
由，得，得，
即的长度为；
设平面的一个法向量为，
由，取，得，
而，故，
则点到平面距离
，
，，得．
19.，
因此由“相关向量”定义可知：
函数的“相关向量”为，
则“相关向量”的模长为；
由函数的“相关向量”为，得，
由，得，
在中，由余弦定理得，
则，
解得，当且仅当时取等号，
所以，
即周长的最大值为；
由知：，
则，
而，则，
当且仅当时取等号，于是，
令
则，
所以的取值范围为．
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