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2024-2025学年河南省周口市太康第一高级中学高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，那么集合( )
A. B. C. D.
2.设复数，则的共轭复数( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.已知随机事件，，若，，，则( )
A. B. C. D.
5.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为为常数，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度已知某个指数衰减的学习率模型中，当时，学习率为；当时，学习率为，则学习率衰减到以下所需的训练迭代轮数至少为已知
A. B. C. D.
6.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和若，则( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，点在轴上方，且的横坐标为，则( )
A. B. C. D.
8.若，数列的前项和为，且，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设集合，，则下列图象能表示集合到集合的函数关系的有( )
A. B. C. D.
10.下列命题正确的是( )
A. 已知关于的回归方程为，则样本点的残差为
B. 数据，，，，，，，，，的分位数是
C. 已知随机变量，若最大，则的取值集合是
D. ，，，和，，，的方差分别为和，若且，则
11.已知，两点在曲线：上，为坐标原点，则( )
A. 关于原点对称
B. 若圆与有公共点，则
C. 存在轴上方的，两点，使得
D. 若点在第一象限，则存在唯一直线，使得点到轴和到直线的距离之积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设随机变量服从正态分布，且，若，则______．
13.已知向量，满足，向量在上的投影向量为，则 ______．
14.如图，有一列曲线，，，已知所围成的图形是面积为的等边三角形，是对进行如下操作得到：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉记为曲线所围成图形的面积则数列的通项公式______
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为已知输入的问题表达不清晰的概率为．
求智能客服的回答被采纳的概率；
在某次测试中输入了个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数求的分布．
16.本小题分
在中，，，分别是三内角，，的对边，且．
求角的值；
若，设角的大小为，的周长为，求的最大值．
17.本小题分
已知双曲线过点且一条渐近线方程为．
求双曲线的标准方程；
若过点的直线与双曲线相交于，两点，试问在轴上是否存在定点，使直线与直线关于轴对称，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知函数，．
证明：当时，；
若，求的取值范围；
证明：．
19.本小题分
中，，，，是的中点，是的中点，是的中点如图，将和分别沿、向平面的同侧翻折至和的位置，且使得．
证明：；
若，求三棱锥的体积；
求平面与平面的夹角的余弦值的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：根据题意，设“输入的问题表达清晰”，事件“智能客服的回答被采纳”，
则，则，
，，
故，
根据题意，可取的值为、、、，则，
则，
，
，
，
故的分布为：


16.由，得．
化简：，．
由正弦定理 得，，
，故的最大值为．
17.解：因为双曲线的一条渐近线方程为，
设双曲线方程为，
又双曲线过点，
解得，
则双曲线的方程为；
设，，
假设在轴上存在定点，使直线与直线关于轴对称，
易知直线的斜率一定存在，
设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
所以，
即，
整理得，
上式对恒成立，
所以，
则存在定点，使．
故存在定点，使直线与直线关于轴对称．
18.证明：，记，
因为，故单调递增，
又，所以单调递增，
所以，即．
解：，
因为，若时，，则存在区间，使得单调递增，
故必有，即，验证：当时，．
由可知，
所以
，
即在上单调递增，所以满足题意，
综上，，即的取值范围是．
证明：由可知，当，时，，取，
则，
所以．
，
所以，
综上．
19.证明：是的中点，翻折前，翻折后，
是的中点，翻折前，翻折后，
翻折后，又，
且方向相同，，
又是的中点，是的中点，
翻折前、后，，
且方向相同，，
翻折后，在中，
；
过点在平面内作，垂足为，取的中点，连接，
在中，，，是的中点，
可知翻折前，；翻折后，，，
又，平面，
又平面，，
又，平面，
就是三棱锥的高．
在中，，，，
由余弦定理可知．
，
，
在中，，，
，，是的中点，是的中点，
，
，
．
在平面中，过点作，交于点，
平面，，
以点为坐标原点，、、的方向分别为，，轴的正方向
建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、，
设，则，
，，，
设平面的一个法向量，
则，则，
令，则，，
，
设平面的一个法问量，
则，则，
令，则，，
，
设平面与平面的夹角为，
则
，
，，则，
当且仅当，即时，即时，等号成立．
平面与平面的夹角的余弦值的最大值为．
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