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2024-2025学年陕西省部分学校联考高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列，则该数列的第项为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则中元素的个数为( )
A. B. C. D.
3.据报道，从年月日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为( )
A. B. C. D.
4.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，( )
A. B. C. D.
5.已知等差数列的公差不为，其前项和为，且，，当取得最小值时，( )
A. B. C. D.
6.若数列满足，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数和在区间上的图象如图所示，那么下列说法正确的是( )
A. 在到之间的平均变化率大于在到之间的平均变化率
B. 在到之间的平均变化率小于在到之间的平均变化率
C. 对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率
D. 存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率
8.杭州的三潭印月是西湖十景之一，被誉为“西湖第一胜境”所谓三潭，实际上是个石塔和围水域，石塔建于宋代元四年公元年，每个高米，分别矗立在水光潋滟的湖面上，一个等边三角形，记为，设的边长为，取每边的中点，设其边长为，依此类推，由这些三角形的边长构成一个数列，若的前和为，则的边长( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导运算正确的是( )
A. B. C. D.
10.记等比数列的前项积为，且，若，则的可能取值为( )
A. B. C. D.
11.定义数列的“差分数列”：若数列的“差分数列”是公差为的等差数列，且，，则( )
A.
B.
C.
D. 数列的前项和
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设是可导函数，且，则 ______．
13.的内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为______．
14.若等差数列的前项的和为，前项的和为，则它的前项的和为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等比数列的前项和．
Ⅰ求实数的值；
Ⅱ若，求．
16.本小题分
设为等差数列的前项和，，．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ求；
Ⅲ若，，成等比数列，求的值．
17.本小题分
我省某高中落实国家“双减”政策，合理安排学生作息时间为了调查学生从家到达学校所需时间，学校对高一学生上学交通方式进行问卷调查经调查，乘坐机动车上学的学生有人，骑自行车上学的学生有人，步行上学的学生有人．
为保证调查结果相对准确，现用分层随机抽样的方法进行调查，已知在骑自行车上学的学生中抽取了人，求从乘坐机动车上学的学生中应抽取多少人？
抽取出的名骑自行车的学生从家到达学校所需时间分别为，，，，单位：，求这个数的平均数和方差．
18.本小题分
已知函数．
求曲线的一条与直线平行的切线的方程；
求过点且与曲线相切的切线方程．
19.本小题分
设数列的前项和为，已知数列满足，．
Ⅰ证明：数列为等差数列；
Ⅱ求；
Ⅲ若对任意恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.Ⅰ设等比数列的公比为，
因为，，，
所以，则，即，所以；
Ⅱ由Ⅰ，，解得．
Ⅰ根据等比数列的定义，求出、、，可求出公比和；
Ⅱ由Ⅰ可得，可解出．
本题主要考查等比数列前项和，属于中档题．
16.解：Ⅰ由题意得，
解得；
故的通项公式为；
Ⅱ由Ⅰ知，；
因为，，成等比数列，
所以，
所以，
即，
又因为，则解得．
17.解：从乘坐机动车上学的学生中应抽取人；
抽取出的名骑自行车的学生从家到达学校所需时间分别为，，，，单位：，
则这个数的平均数为，
方差为
．
18.所求切线与直线平行，则切线的斜率，
由，得，
由，解得，
又，切点坐标为，
所求切线方程为，即；
设切点为，则，
切线方程为：，
把点代入，得，解得，
可得切线方程为，即．
所求切线方程为：．
19.Ⅰ证明：设数列的前项和为，
已知数列满足，，
可得，又，
所以数列是首项，公差均为的等差数列．
Ⅱ由等差数列的通项公式可得，，则，
，
于是，
两式相减得，
所以．
Ⅲ不等式，
令，依题意，对任意恒成立，
而，
当时，，当时，，当时，，
因此的最小值为，则，
所以实数的取值范围是．
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