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2024-2025学年福建省三明二中高二（下）期末
数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.我国新能源汽车的卓越性能赢得全球人民的信赖，某品牌新能源汽车凭借科研创新、广告宣传和可靠的售后保障，在全球赢得了很好的营销局面，如表为该品牌新能源汽车的科研经费投入和全球市场规模统计．
科研经费单位：百亿元
市场规模单位：百万辆
如此得到关于的经验回归方程：，估计当该品牌新能源汽车的科研经费投入百亿元时，全球市场规模将达到百万辆．
A. B. C. D.
2.已知为双曲线的一个焦点，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
3.等差数列的前项和为，若公差，，为与的等比中项，则：( )
A. B. C. D.
4.在全国人口普查过程中，甲、乙、丙、丁四位普查员要去、、三个小区进行数据采集，若甲普查员不能去小区，且每个小区至少去一名普查员，每人只能去一个小区则不同的安排方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.圆：与圆：的位置关系为( )
A. 外离 B. 相切 C. 相交 D. 内含
6.已知，则，，的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
7.若函数图象在点处的切线方程为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知，两个随机事件，且，，，则下列说法不正确的是( )
A. B.
C. 事件、相互独立 D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲、乙两名同学近五次数学测试成绩数据分别为：
甲：
乙：
则( )
A. 甲组数据的极差大于乙组数据的极差
B. 甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数
C. 甲组数据的众数等于乙组数据的中位数
D. 甲乙两组数据混合后的方差大于乙组数据的方差
10.已知函数的定义域为，满足，当时，对，下列选项正确的是( )
A. ，则的最小值为
B. ，则的值不存在
C. 极小值，则
D. 时，函数所有极小值之和大于
11.已知数列，，其中第项为，接下来的项为，接下来的项为，依此类推，设为的前项和，则( )
A.
B.
C. 有且仅有一个正整数，使得
D. 存在无数个正整数，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等比数列满足，，则 ______．
13.某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有支气枪，其中有支气枪未经试射校正，有支气枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中环的概率为，用未校正过的气枪射击，射中环的概率为某少年射手任取一支气枪进行次射击，射中环的概率是______；若此少年射手任取一支气枪进行次射击每次射击后将气枪放回，每次射击结果相互不影响，则次射击中恰有次射中环的概率为______．
14.设函数，若，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
求的值；
求的值．
16.本小题分
已知等比数列的前项和为，且．
求的通项公式；
求数列的前项和．
17.本小题分
已知．
若在上单调递增，求的取值范围；
若的图像在处的切线为，求与的值，并证明时，．
18.本小题分
已知平面内一动点到点的距离与它到直线的距离之比为，过点的直线与动点的轨迹相交于，两点．
求动点的轨迹的方程．
是否存在直线，使得的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
某玩具公司推出一款智能机器狗玩具，开启电源后机器狗从起点处每次向前或向后跳动个单位，当机器狗位置距离起点处不足，且，可以进行手动设置个单位时，每次向前跳动的概率为，向后跳动的概率为，当机器狗跳动后的位置距离起点处为个单位时，则连续向起点处跳动次，回到起点，然后从起点处重新开始跳动．
若设置，求机器狗跳动次后恰好回到起点的概率；
若设置，记机器狗跳动次后距离起点处个单位，求的分布列与数学期望；
若机器狗跳动了次，求每次跳动后距离起点处都不足个单位的概率．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
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13.
14.
15.法一：由通项公式，得，
令得，，则．
法二：由二项式定理，得
，则．
法一：因为，
所以令，得，
令，得
则．
法二：由二项式定理，得
因为
所以，，，，，
所以．
法一：写出通项公式，得到，得到答案；
法二：写出的展开式，得到；
法一：赋值法得到，，求出答案；
法二：写出的展开式，得到，，，，，求出答案．
本题考查二项式定理的应用，是中档题．
16.因为，所以，
两式相减得，即，
所以，即等比数列的公比为，
当时，，解得，
所以；
由等比数列求和公式得，
所以数列的前项和
．
17.解：若在上单调递增，
则对恒成立，
设，
在上恒成立，
所以在上单调递，
所以只需，所以的取值范围是．
，，
在处切线为，
根据题意，该切线为，所以，解得，，
所以，因为，所以，
下面证明：．
设，则，
显然在上单调递增，
因为，，
所以使，所以，，
当时，，时，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，
当且仅当时等号成立，
因为，所以，即，
所以在上成立．
18.由于点到点的距离为，
点到的距离为，
因此，
化简得，即，
因此动点的轨迹的方程为．
根据题意可知直线的斜率不为，
因此设直线为，，，
联立直线和椭圆方程可得，得，直线过点，那么必有，
那么，
因此三角形的面积，
．
令，那么，因此．
令函数，那么导函数在上单调递减，
因此，所以三角形面积的最大值为．
由于，因此不存在直线，使得三角形面积为．
19.记机器狗跳动次后恰好回到起点为事件，
则机器狗的次跳动中，有次向前，次向后，
前次都是向前跳动，后次都是向后跳动或前次都是向后跳动，后次都是向前跳动，
概率为，
第次跳动后距离起点处距离都不超过个单位，向前跳动次，向后跳动次，
且前跳动不全是向前或不全是向后，
概率为，
机器狗跳动次后恰好回到起点的概率为．
由题意知的所有可能取值为，，，
当机器狗的次跳动中，次向前次向后，或次向后次向前时，，
，
当机器狗的次跳动中，次向前次向后，或次向后次向前时，，
，
当机器狗的次跳动中，次均向前或次均向后时，，
，
的分布列为：


．
记每次跳动后距离起点处都不足个单位为事件，
则某次跳动后距离起点处个单位为事件，
则事件包含以下情况：
机器狗前次跳动均向前，第次跳动均向后或机器狗前次跳动均向后，
第，次跳动均向前，相应概率为．
机器狗前次跳动中有次向前，次向后，第，次跳动均向前或机器狗前次跳动中有次向后，次向前，
第，次跳动均向前，相应地概率，
，
，
每次跳动后距离起点处都不足个单位的概率为．
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