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2024-2025学年甘肃省庆阳市华池一中高一（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.高一班计划从，，，，这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动，则样本空间中样本点的个数为( )
A. B. C. D.
2.已知复数，其中，若为纯虚数，则( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3.( )
A. B. C. D.
4.设，，向量，，，且，，则
( )
A. B. C. D.
5.投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的若甲、乙、丙各投壶次，则这人中至少有人投中的概率为( )
A. B. C. D.
6.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有下列四个命题：其中正确命题的序号是( )
若，则；
若，，则；
若，，，则；
若，，，则．
A. B. C. D.
7.猜灯谜是中国元宵节特色活动之一已知甲、乙、丙三人每人写一个灯谜，分别放入三个完全相同的小球，三人约定每人随机选一个球不放回，猜出自己所选球内的灯谜者获胜若他们每人必能猜对自己写的灯谜，并有的概率猜对其他人写的灯谜，则甲独自获胜的概率为( )
A. B. C. D.
8.如图，正方体的棱长为，是棱的中点，是侧面内一点，若平面，且长度的最大值为，最小值为，则( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，已知，，是角的平分线，则的长度可能为( )
A. B. C. D.
10.已知事件，，且，，，则下列结论正确的是( )
A. 如果，那么，
B. 如果与互斥，那么，
C. 如果与相互独立，那么
D. 如果、与两两互斥，那么
11.如图，正方体的棱长为，点是侧面上的一个动点含边界，下列结论正确的有( )
A. 若，，，四点共面，则点的运动轨迹长度为
B. 若，则点的运动轨迹长度为
C. 若，则点的运动轨迹长度为
D. 若直线与所成的角为，则点的运动轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设是虚数单位，在复平面内复数的共轭复数对应的点位于第______象限．
13.如图，正三棱柱中，点为正方形的中心，点为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为______．
14.已知，且，则的值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，其中是虚数单位，，，．
若为纯虚数，求的值；
若，求的取值范围．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求的值；
若，求的值．
17.本小题分
已知函数．
求的最小正周期；
若对任意的和恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
年级教师元旦晚会时，教师甲、乙、丙三人参加一项趣味问答活动该活动共有两个问题，如果参加者两个问题都回答正确，则可得到一只“红双喜乒乓球拍”奖品已知在第一个问题中甲回答正确的概率为，甲和乙两人都回答错误的概率为，乙和丙两人都回答正确的概率为，在第二个问题中甲、乙和丙回答正确的概率依次为，，，且所有的问答中回答正确与否相互之间没有任何影响．
在第一个问题中，分别求出乙和丙回答正确的概率；
分别求出甲、乙和丙获得一只“红双喜乒乓球拍”奖品的概率，并求三人最终一共获得只“红双喜乒乓球拍”奖品的概率．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，，，．
求证：平面平面；
若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.三
13.
14.
15.解：为纯虚数，，．
，，，
，当时，；当时，，．
16.解：因为，
所以
．
因为，
所以，
所以，即，
所以，
又，
再由余弦定理知，，即，
所以，
解得或．
17.解：，
，
，
，
，
．
的最小正周期．
由知．
当时，，，
即．
当为偶数时，．
由题意，只需．
因为当时，，所以．
当为奇数时，．
由题意，只需．
因为当时，，所以．
综上所述，实数的取值范围是．
18.根据题意，在第一个问题中，设乙回答正确的概率为，丙回答正确的概率，
则有且，
解可得：，；
根据题意，设“甲获得只球拍”，“乙获得只球拍”，“丙获得只球拍”，
“三人最终一共获得只球拍奖品”，
，
，
，
又由，
故
．
19.解：证明：，，，
，，，平面，
平面，
平面，平面平面；
取的中点连接、，
由知平面，
平面，，
如图，过点作，
，，，，，
，，，
，由勾股定理可知，
，、平面，平面，
，为的中点，
，又，，
平面，为直线与平面所成角，
由知，又，，
，，，
则，
，，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
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