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2024-2025学年湖南省娄底三中高一（下）期末数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，且，则( )
A. 或 B. C. D.
3.如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，那么平面四边形的面积为( )
A. B. C. D.
4.一组样本数据，，，，，，，，，的分位数是( )
A. B. C. D.
5.下列条件中能确定直线与平面平行的是( )
A. ，， B. ，
C. ，，， D. ，，，，，且
6.已知点，将向量绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
7.在正方形中，已知，是的中点，现以为折痕将折起到的位置，当三棱锥的体积最大时，此时三棱锥外接球的体积为，则( )
A. B. C. D.
8.在一组数，，，，中插入两个整数，，使得新的一组数极差为原来极差的两倍，且众数和中位数保持不变，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一分钟跳绳是某省中考体育选考项目之一小明在平时训练时通常会将自己的训练成绩记录下来，以此评估自己的训练成果小明记录了他在月份的次训练成绩和月份的次训练成绩通过计算，他发现月份的训练成绩的平均值为，方差为；月份的训练成绩的平均值为，方差为下列结论正确的是( )
A. 小明这两个月的次训练成绩的平均数为 B. 小明这两个月的次训练成绩的平均数为
C. 小明这两个月的次训练成绩的方差为 D. 小明这两个月的次训练成绩的方差为
10.如图，四棱锥中，底面为菱形，，分别为，的中点，则平面的一个充分条件可以为( )
A. B. 平面 C. D.
11.在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是( )
A. 若，，，则只有一解
B. 若，则为钝角三角形
C. 若的外心为，，，则
D. 若，则的形状是直角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一个公司共有名员工，要采用按比例分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为的样本已知某部门有名员工，那么从这一部门抽取的员工人数为______．
13.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则 ______．
14.圆锥的侧面展开图形是一个半径为的半圆则圆锥的外接球体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，，，为坐标原点．
求向量与的夹角；
求的面积．
16.本小题分
已知函数的图象经过，，三点，且的最小值为．
求的解析式；
求在上的值域．
17.本小题分
已知复数，则
当实数取什么值时，是实数；
当实数在什么范围时，在复平面内对应的点在第二象限．
18.本小题分
某高中举行了一次知识竞赛为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计将成绩进行整理后，依次分为五组，，，，请根据下面的频率分布直方图如图所示解决下列问题：
求的值；
从样本数据在，两个小组内的学生中，用分层抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机选出人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率；
某老师在此次竞赛成绩中抽取了名学生的分数：，，，，，其中，已知这个分数的平均数，方差，若剔除其中的和这两个分数，求剩余个分数的平均数与方差．
19.本小题分
如图，在直三棱柱中，是棱的中点，，，．
求三棱柱的外接球的体积；
求直线与平面所成的角的余弦值；
求二面角的大小．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.，，，
则，
因为，
所以，解得，
所以，
所以，
故向量与的夹角为；
因为，与的夹角为，
所以的面积为．
16.由题意得的最小正周期，
则，解得，
所以，
由，得，
所以，，
解得，，
又，所以，
故．
由，得，
所以，，
故函数在上的值域为．
17.由题意得且，解得；
由在复平面内对应的点在第二象限，得，，即，
故当时，在复平面内对应的点在第二象限．
18.解：由频率分布直方图可知，，
解得；
由频率分布直方图知：在，两个小组内的学生人数比为，
所以抽取名学生中，来自，的分别为人、人，
设事件表示“随机选出人，两人恰好来自不同小组”，
则；
因为这个分数的平均数，方差，
所以，，
剔除的两个为，的数后余下数据的平均数为，
此时方差为．
19.在直三棱柱中，取的中点，的中点，连接，且交于，
由，且，则是等腰直角三角形，
所以是的外心，同理是的外心，
所以是直三棱柱的外接球的球心，
又，
则外接球的半径为，
三所以棱柱的外接球的体积是．
在直三棱柱中，
因为平面，又平面，所以，
因为，且，，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，
由是棱的中点，
则，，
则，所以，
又，，平面，
所以平面，
所以是直线与平面所成的角，
由平面，则，
又，，
则，
所以直线与平面所成的角余弦值是．
取的一点，使，且连接，
由有，
又平面平面，所以是二面角的平面角，
在中，有，，，
由余弦定理有，
则，，
则，
所以，，
在中，有，，，
则，所以，
所以，
所以在中，
由余弦定理得，
在中，有，，，
则由余弦定理有，
又，所以，
故二面角的平面角是.
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