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2024-2025学年湖南省邵阳市海谊中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知为第一象限角若，则( )
A. B. C. D.
3.已知，为不同的直线，，为不同的平面，下列命题为假命题的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.为庆祝中国共产党成立周年，某市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，践行社会主义路线，某高中有高一、高二、高三分别人、人、人，欲采用分层抽样法组建一个人的高一、高二、高三的红歌传唱队，则应抽取高三( )
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
5.在正方体中，异面直线与所成角的正弦值是( )
A. B. C. D.
6.在中，若，，，则的大小为( )
A. B. C. D. 或
7.若、均是单位向量，且，则( )
A. B. C. D.
8.在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球的表面积等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.传承红色文化，宣扬爱国精神，某中学国旗队在高一年级招收新成员人，经培训后进行考核，所得分数分制分别为，，，，，，，，则下列说法正确的是( )
A. 这组数据的平均数为 B. 这组数据的众数为
C. 这组数据的极差为 D. 这组数据的分位数为
10.如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的有( )
A.
B. 平面
C. 与平面所成角是
D. 与所成的角等于与所成的角
11.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则( )
A. 该圆台的高为
B. 该圆台轴截面面积为
C. 该圆台的侧面积为
D. 该圆台的体积为
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
12.已知内角，，的对边为，，，若，，，则 ______．
13.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面若，则直线与平面所成的角的大小为______．
14.在某次调查中，采用分层随机抽样的方法得到个类样本，个类样本若类样本的平均数为，总体的平均数为，则类样本的平均数为______．
15.已知向量，，若，则实数______．
四、解答题：本题共3小题，共34分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图．
分组 频数 频率
合计
写出表中、及图中的值不需过程；
若该校高三年级学生有人，试估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在区间上的人数；
估计该校高三年级学生参加社区服务次数的中位数结果精确到
17.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，求面积．
18.本小题分
如图，四棱锥的底面为正方形，底面，、分别是、的中点．
求证：平面；
求证：平面平面；
若，求二面角的大小．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：由分组内的频数是，频率是，
得，解得，
，
解得，，
是对应分组的频率与组距的商，
．
该校高三学生有人，在内的频率是，
估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为：．
估计这次学生参加社区服务人数的众数是，
，样本中位数是，
估计这次学生参加社区服务人数的中位数是．
17.解：记的内角，，的对边分别为，，，已知，
根据余弦定理可得，
所以，解得：；
由正弦定理可得
，
变形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面积为．
18.证明：如图，连接，则是的中点，
又因为是的中点，所以．
因为平面，平面，
所以平面．
证明：因为是正方形，所以，
因为平面，平面，所以，
又，，平面，
所以平面．
又平面，
故平面平面．
因为底面，平面，所以，
又因为，，，平面，
所以平面，平面，故CD，
所以为二面角的平面角，
因为，所以，
故．
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