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2024-2025学年江西省萍乡市芦溪中学高一（下）期中数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.下列说法中正确的个数是( )
棱柱的所有面都是四边形；
一个棱柱至少有个顶点、条棱、个面；
过圆锥侧面上任意一点有无数条母线；
水平放置的三角形用斜二测画法画出的直观图一定是三角形．
A. B. C. D.
3.在中，，记，，则( )
A. B. C. D.
4.已知角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.
5.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度来识别身份的一种技术，余弦距离是检测相似度的常用方法假设平面内有两个点，，为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为已知点，，则，两点的余弦距离为( )
A. B. C. D.
6.已知的内角，，所对的边分别是，，，已知，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知在矩形中，，，点为矩形所在平面内一点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知、是同一平面内的两个不共线向量，则下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
10.已知为复数，为纯虚数，则下列说法一定正确的是( )
A. 若，则为纯虚数
B. 若与互为共轭复数，则
C. 若，且为纯虚数，则
D. 若，则的虚部为
11.若函数，，则( )
A. 与均是偶函数
B. 与的最小正周期均为
C. 与的图象均在直线的上方
D. 在上的零点个数为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，满足，，则 ______．
13.如图，矩形是水平放置的平面四边形的直观图，其中，，则原四边形的面积与周长的数值之比为______．
14.已知正六棱柱的各个顶点都在球的球面上，球心到正六棱柱的上、下底面的距离均为，若，则球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设，已知复数，且为纯虚数．
求的值和；
若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知平面向量，满足，，且．
Ⅰ求与的夹角；
Ⅱ若向量，，且，求及
17.本小题分
已知正四棱台的上、下底面的边长分别为和，高为，求该正四棱台的体积；
已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，求该圆锥的底面直径；
已知棱长为的正方体的所有顶点都在球的球面上，若圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球的表面积和圆柱的体积．
18.本小题分
如图，在中，是上一点，是上一点，且．
已知，在的垂直平分线上，且，．
求；
若为外接圆的圆心，为外接圆的圆心，求．
若是的角平分线，，求的最大值．
19.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且，．
求；
若为锐角三角形，且外接圆圆心为，
(ⅰ)求的取值范围；
(ⅱ)求和面积之差的最大值．
参考答案
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15.解：复数，且为纯虚数，
，即．
，可得，
则；
复数，在复平面内对应的点位于第三象限，
，解得．
实数的取值范围为
16.解：因为，，，
即，
解得：，又，
则；
因为，，
所以
，
解得：，
即，
所以
，
所以．
17.解：正四棱台上、下底面的边长分别为、，棱台高为，
所以正四棱台的体积为．
设圆锥的底面半径为，母线长为，
由题意知，
所以，
则圆锥的表面积，
，即，
所以．
设球的半径的，
因为棱长为的正方体的所有顶点都在球的球面上，
所以，即，
依题意圆柱的底面半径也是，高是，
圆柱的体积，
球的表面积．
18.解：因为，在的垂直平分线上，
所以，
又，所以，且，
因为，，所以，，
在中，，
由余弦定理知，，
所以．
因为，在的垂直平分线上，所以点和点都在直线上，且
由知，，，
由正弦定理知，，即，
而，所以是等边三角形，所以，
在圆中，，
所以，
所以，
所以．
因为是的角平分线，
所以，
设，，
因为，
所以，
整理得，即，
在中，由余弦定理知，，
所以，
所以，
而，所以，即，当且仅当时，等号成立，
所以，
故DE的最大值为．
19.解：已知，，分别为三个内角，，的对边，且，
则，整理可得，
根据余弦定理可得，
又，所以；
由，
因为为外接圆圆心，即外心，
所以，
由余弦定理得，，
所以，
由正弦定理得，，
则，
由，解得，
所以，则，
所以；
设外接圆半径为，则，
且，即，
因为，
所以，
，
所以，
由知，，令，
则，
所以当时，取得最大值．
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