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2024-2025学年江西省宜春市丰城九中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.设命题：，，则的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.函数的单调递增区间为( )
A. 与 B.
C. D.
4.已知函数是上的增函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.若函数为偶函数，则实数( )
A. B. C. D.
6.定义在上的奇函数满足，且在上单调递增设，，则( )
A. B. C. D.
7.甲、乙、丙、丁名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配名志愿者，但甲、乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.已知数列满足，，且，若表示不超过的最大整数，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项正确的是( )
A. 命题“，”的否定是，
B. 满足的集合的个数为
C. 已知，，则
D. 已知指数函数且的图象过点，则
10.已知正实数，，满足，则( )
A. B. C. D.
11.已知函数，的定义域均为，，是偶函数，且，若，则( )
A. B. 的图象关于点中心对称
C. D. 为奇函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数的定义域是，则的定义域是______．
13.已知，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为______．
14.已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的解析式；
求的单调区间和极值．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，，，为的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
设函数．
当时，求曲线在处的切线方程；
讨论函数的单调性．
18.本小题分
已知焦点在轴上的椭圆：，离心率为，且过点，不过椭圆顶点的动直线：与椭圆交于、两点求：
椭圆的标准方程；
求三角形面积的最大值，并求取得最值时直线、的斜率之积．
19.本小题分
对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心给定函数，请你根据上面的探究结果，解答以下问题：
求的对称中心．
求．
记数列的前项和为，数列的前项和为，若对恒成立，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.，
，解得，
；
，
当时，，当时，，
的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，取得极大值，当时，取得极小值．
16.证明：连接，设，连接，
因为在三棱柱中，四边形是平行四边形，
因为为的中点，
因为为的中点，
所以，
又因为面，面，
所以面D.
因为，，，面，面，
所以面，
又面，
所以，
又，
所以，，两两相互垂直，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立平面直角坐标系：
则，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，
所以，
因为，
所以，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17.当时，函数，导函数，，而，
因此切线为，即；
的定义域为，
，
当时，由，得，由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，由，得；由，得或，
故在上单调递增，在，上单调递减，
当时，，且当时取等号，在上单调递减；
当时，由，得，由，得或，
函数在上单调递增，在，上单调递减，
综上，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递减；
当时，函数在，上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在，上单调递减．
18.解：由题意知，
，
解得，，；
故椭圆的标准方程为；
设，，
联立方程得，，
化简得，，
故，，
故；
故；
点到直线的距离，
故
，
故当，即时，
有最大值；
，
，
．
即直线、的斜率之积为．
19.，
因此，
令，可得，
易知，
因此的对称中心为；
由中的对称中心为，可得，
因为，
因此，
两式相加可得
，
可得，
由可得数列为等差数列，且，
因此；
可得；
因此
；
若对恒成立，可得，
即，
令，可得恒成立，因此；
令，由对勾函数性质可知函数在上单调递增，
因此，可得，
即的取值范围为．
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