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2024-2025学年河南省安阳市滑县部分学校高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知，为两个不同的平面，则的必要不充分条件是( )
A. ，平行于同一条直线 B. ，平行于同一平面
C. 内有无数条直线与平行 D. 内有两条相交直线与平行
3.在中，，，若，则( )
A. B. C. D.
4.如图是一个古典概型的样本空间和随机事件，，其中样本空间包含的样本点个数，，，，则( )
A. B. C. D.
5.在中，，则的形状为( )
A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形
6.已知甲、乙两袋中均装有若干个大小相同的红球和白球，从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋中各摸出一个球，则个球中恰有个红球的概率为( )
A. B. C. D.
7.如图，正方体的棱长为，，分别在，上，且，，过，，三点的平面截该正方体，则所截得的截面的最长边的边长为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知的内角，，所对的边分别为，，，记边上的高为，若为锐角，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则( )
A. 复数的虚部为 B.
C. 复数的共轭复数为 D.
10.某中学高三学生有人，其中男生有人，女生有人，现采用分层随机抽样方法抽取了容量为的样本，经计算得到男生身高样本均值为，方差为；女生身高样本均值为，方差为，则( )
A. 男生身高的样本容量为 B. 每个男生被抽入到样本的可能性均为
C. 所有样本的均值为 D. 所有样本的方差为
11.如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是( )
A. 圆锥的侧面积为
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 若，为线段上的动点，则的最小值为
D. 圆锥外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从装有个红球和个黑球的盒子中不放回地一次随机抽取个球球除颜色外，其余完全相同，则至少抽到个黑球的概率为______．
13.已知等边的边长为，平面，且，则点到平面的距离为______．
14.高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水如图所示，，，为山的两侧共线的三点，且与山脚处于同一水平线上，在山顶处测得，，三点的俯角分别为，，，计划沿直线开通穿山隧道，现已测得，，三条线段的长度分别为，，，则隧道的长度为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，，．
当时，求的值；
若是纯虚数，求的值；
若在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围．
16.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，已知．
若的面积为，求的值；
设，，且，求的值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，．
证明：平面平面；
若是棱的中点，且平面，求异面直线与所成角的余弦值．
18.本小题分
某校在年高三二轮复习备考中，年级备课组命制了一套与数学新定义有关的专题训练卷满分分，并对整个高三年级的学生进行了测试现从全部高三年级学生的成绩中随机抽取了名学生的成绩，并将成绩按照，，，，分成了组制成了如图所示的频率分布直方图假定每名学生的成绩均不低于分．
求频率分布直方图中的的值：
估计所抽取的名学生成绩的平均数、中位数；同一组中的数据用该组所在区间的中点值作代表
若按人数比例用分层随机抽样的方法从样本中成绩不低于分的学生中抽取人，再从这人中随机抽取人参加这次考试的考后分析会，试求成绩在内的至少有人被抽到的概率．
19.本小题分
阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面”已知在直四棱柱中，底面为菱形，角的运算均采用弧度制
若，求四棱柱在任意三个顶点处的离散曲率的和；
若与平面所成角的正弦值为，求四棱柱在顶点处的离散曲率；
截取四面体，若该四面体在点处的离散曲率为与平面交于点，求．
参考答案
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14.
15.当时，可得，，则；
因为为纯虚数，所以，即；
，
该复数在复平面内对应的点的坐标为，在第二象限，
则，解得，
故实数的取值范围是．
16.由题意可得，
由于，解得，
可得；
因为，，且，
可得，可得，
由于，可得，
可得，
，
可得．
17.证明：因为平面，平面，
所以，
因为，所以，
又，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
取中点，连接，，
因为平面，平面，所以，
因为，
所以，，
因为为中点，为中点，
所以，
所以或其补角为与所成的角，
又平面，平面，
所以平面，
又因为平面，，，平面，
所以平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以，
又平面，所以平面，
因为平面，所以，
则，
，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
18.由频率分布直方图可得，解得；
所抽取的名学生成绩的平均数为：
；
由图可得前两组的频率为，前三组为，
所以中位数在之间，设为，
则，解得；
易得后三组学生人数分别为，，，所以抽取人数分别，，，
记成绩在这组的名学生分别为，，，成绩在这组的名学生分别为，，成绩在这组的名学生为，
则从中任抽取人的所有可能结果为、、、、、、、
、、、、、、、、
、、、、，共种，
其中至少有人被抽到包含种结果，故所求概率为．
19.若，则菱形为正方形，
所以，又平面，，
所以直四棱柱为正方体，
所以在任意顶点处的离散曲率均为，
所以四棱柱在任意三个顶点处的离散曲率的和为；
因为底面为菱形，所以．
又所以平面，所以，又，
所以平面，
设，则即为与平面所成的角，
在中，，
所以，所以，则．
因为平面，所以，，
所以直四棱柱在顶点处的离散曲率为；
如图，在四面体中，，，，
所以，，
所以四面体在点处的离散曲率为，
所以，
所以为等边三角形，所以．
又在中，，所以，
所以直四棱柱为正方体．
因为平面，平面，所以D.
又，，，平面，
所以平面．
又平面，所以D.
因为平面，平面，所以．
又，平面，，所以平面．
又平面，所以．
又，，平面，所以平面，
所以是三棱锥的高．
设正方体的棱长为，则，
因为，所以，
所以，所以，
所以．
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