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2024-2025 学年江西省宜春市丰城九中高一（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {2,3,4}， = {3,4,5}，则 ∩ =( )
A. {3} B. {3,4} C. {2,3,4} D. {2,3,4,5}
2.已知复数 = 2 4+ ( 2) 是纯虚数，则实数 =( )
A. 0 B. ±2 C. 2 D. 2
3.函数 ( ) = 2 1的定义域是( )
A. ( 1 12 , + ∞) B. [ 2 , + ∞) C. [1, + ∞) D. (1, + ∞)
ln( 1) + 1, > 1
4.已知函数 ( ) = ( + 1), ≤ 1 ，则 (1)的值为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5.已知扇形的半径为 4 ，弧长为 2 ，则此扇形的圆心角(正角)的弧度数是( )
A. 14 B.
1
2 C.
3
4 D. 2
6.已知命题 ： > > 0，命题 ：2 > 2 ，则命题 是命题 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知平面向量 ， 是不共线的两个向量， = + 2 ， = 4 4 ， = + 2 ，则( )
A. ， ， 三点共线 B. ， ， 三点共线
C. ， ， 三点共线 D. ， ， 三点共线
8.已知 ， ， ∈ (0, 2 ), + + = , =
3
4，则 的最小值为( )
A. 3 B. 5 C. 9 D. 25
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9. ， 是两条异面直线， ， 在直线 上， ， 在直线 上， 、 、 、 四点互不相同，则下列结论一定
不成立的是( )
A. A、 、 、 四点共面 B. / /
C. 与 相交 D. =
10.已知平面向量 = (1, )， = ( 2, )，则( )
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A. ∈ ， ， 不垂直
B. ∈ ，使得 ， 共线
C.当 = 4时，| +
| = 3
D. 1当 = 0 时， 在 方向上的投影向量为 2
11 .已知函数 ( ) = sin( 6 )( > 0)与 ( ) = cos(4 + )(| | <

2 )的图象的对称中心完全相同，则( )
A. 函数 ( + 6 )为奇函数 B. = 3
C. 7 直线 = 3是 ( )图象的一条对称轴 D. ( 24 , 0)是 ( )图象的一个对称中心
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.函数 ( ) = + 1 4 有______个零点．
13 1 2.甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是3和5，则该题被攻克的概率为______．
14.如图，在长方体 1 1 1 1中，已知 = 4， = 3， 1 = 2， 是线段 上的点，且 = 1，
则二面角 1的正切值为
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = (2 , )， = ( , 2 )，且函数 ( ) = ．
(1) 若 ( ) = 2， ∈ [0, 2 ]，求 的值；
(2)求函数 = ( )在 ∈ [0, ]上的严格增区间．
16.(本小题 15 分)
已知△ 1 2 ，其内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 = 2 + ．
(1)求 ；
(2) = 3 3 3若 ， △ = 2 ， 为 边上的中点，求 的长．
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17.(本小题 15 分)
设函数 ( ) = 2cos( + )( > 0, < < 0)，该函数图像上相邻两个最高点间的距离为 4 ，且 ( )
为奇函数．
(1)求 ( )的解析式；
(2)在锐角△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若(2 ) = ，求 = [ ( )]2 + [ ( )]2
的取值范围．
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，∠ = 3， = 2 = 2， ⊥ ， ⊥平面
，点 在棱 上．
(1)求 ；
(2)若 //平面 ，求三棱锥 的体积；
(3) 若二面角 的大小为4，求 ．
19.(本小题 17 分)
设平面内两个非零向量 ， 的夹角为 ( ≠ 2 )，定义一种新运算“ ”： = | || | ．
(1)已知向量| | = 2，| | = 3， = 2，求 ；
| | ( 21 2 2 1 + 2)( 2+ 2)
(2)设向量 = ( 1, 1)， = ( 2, 2)，且 ≠ 0 =
1 1 2 2
，证明： 1 2+ 1
；
2
(3)已知向量 = ( , )， = ( , )， ≠ 0，若 = 2，求 cos(2 2 )的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13.35
14. 22
15.(1) = (2 , )， = ( , 2 )，
则 ( ) = = 2 + 2 2 = 2 + 2 + 1 = 2sin(2 + 4 ) + 1，

由 ( ) = 2，得 2sin(2 + 4 ) + 1 = 2，则 sin(2 +

4 ) =
2
2 ，
∵ ∈ [0, ] ∴ 2 + ∈ [ , 5 3 2 ， 4 4 4 ]，则 2 + 4 = 4，
可得 = 4；
(2) 由 2 + 2 ≤ 2 +

4 ≤ 2 + 2 ， ∈ ，
3
解得 8 + ≤ ≤ 8 + ， ∈ ，
又 ∈ [0, ]，∴函数 = ( )在 ∈ [0, ]上的严格增区间为[0, 8 ]，[
5
8 , ].
16.(1)由题意可得 2 + = 2 ，
所以 2 + 2 + = 2 ，
可得 2 + = 0，且 ∈ (0, )，则 ≠ 0，
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可得 = 12，且 ∈ (0, )，
2
所以 = 3；
(2)如图：
因为 = 3， = 2 3，
由 = 1 = 3 3△ ，所以
1
2 2 2 × 3 × ×
3 3 3，解得 = 2，
2 = 2
在△ 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 = 4 + 9 2 × 2 × 3 × ( 12 ) = 19，则 = 19，
又 为 边上的中点，所以 = 19，2
2 2 2
在△ 中，由余弦定理得，则 = + 19+9 42 = 2× 19×3 =
4 19
，
19
在△ 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 = 9 + 194 2 × 3 ×
19
2 ×
4 19 7，
19 = 4
所以 = 7．2
17.(1) 4 2 = 4 = 1由函数图像上相邻两个最高点间的距离为 ，可得 ，解得 2，
1
所以 ( ) = 2cos( 2 + )，
又因为 ( )为奇函数，所以 (0) = 2 = 0，即 = + 2，又 < < 0，所以 = 2，
所以 ( ) = 2sin 12 ；
(2)因为(2 ) = ，
由正弦定理得(2 ) = ，
所以 2 = ，
所以 2 = sin( + ) = ≠ 0，
1
所以 = 2， = 3，则 + =
2
3，
由(1)知 ( ) = 2sin 12 ，
所以 2( ) + 2( ) = 2 2 2 + 2
2
2 = ( + ) + 2 = [ + cos(
2
3 )] + 2
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= + 12
3 3
2 + 2 = ( 2 +
1
2 ) + 2 = sin( +

6 ) + 2，
0 < < 2
又因为 2 ，解得6 < <

，
0 < 3 <
2
2

所以3 < +
2 3
6 < 3，sin( + 6 ) ∈ ( 2 , 1],
3
所以 2( ) + 2( )的取值范围为[1,2 2 )．
(1) 2 1由题意知 = 4 ，可得 = 2，由 ( )为奇函数，可求得 ；
(2) ( ) = 2sin 12 ，由(2 ) =

，可得 = ，从而有 2( ) + 2( ) = 2 2 3 2 + 2
2
2，根
据三角恒等变换化简，利用三角函数的性质可求取值范围．
本题主要考查了正弦函数性质的应用，正弦定理，和差角公式的应用，属于中档题．
18.(1)证明：因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以平面 ⊥平面 ，
又因为 ⊥ ， 平面 ，平面 ∩平面 = ，所以 ⊥平面 ，
又因为 平面 ，所以 ⊥ ，所以三角形 为直角三角形，
所以 2 = 2 + 2 = 5，即 = 5．
(2)连接 与 交于点 ，连接 ，
因为 //平面 ， 平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以 // ，可知 为 的中点，而 ⊥平面 ， 平面 ，因此 ⊥ ，
在三角形 中， = = 1，∠ = ∠ = 3，∠ =

2，
所以 = 3， = = 2，∠ = 2 3，
所以 =
1
2
1 1
= 2 = 2 ×
1
3 × ×
1
2 × × × sin∠
= 1 × 1 1 3 3．2 3 × 2 × 2 × 2 × 1 × 2 = 6
(3)根据题意知 ⊥平面 ，过点 作 的平行线交 于点 ，
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所以 ⊥平面 ，再作 ⊥ ( 为垂足)，
由于 平面 ，因此 ⊥ ，而 ∩ = ， ， 平面 ，
因此 ⊥平面 ，而 平面 ，因此 ⊥ ，

所以∠ 为二面角 的平面角，∠ = 4，
根据第二问可知 = = 2，因此三角形 是等腰直角三角形，
同理三角形 也是等腰直角三角形，从而 = 2 2，

在三角形 中，∠ = 2，∠ = 3，所以∠ = 6，
设 = = = ， = 2 ，那么 = 2 且 = 2 ，
2
所以 = 3 = ，所以 = 2．
19.设向量 , 的夹角为 ．
(1)因为| | = 2，| | = 3， = 2，
= = 2 1所以 = ，
| | | | 2×3 3
2 2
则 = 1 ( 1 2 2 2 33 ) = 3 ， = 1 = 2 2，
3
所以 = 2 × 3 × 2 2 = 12 2；
(2) =
= 1 + 证明：由题知 2 1 2 ，
| || | ( 21+
2)( 2+ 21 2 2)
2 2 2 2
所 = 1 ( 1 2+ 1 2)
2
= ( 1+ 1)( 2+ 2) ( 1 2+ 1 2)
2
( 2 21+ 1)(
2 2
2+ 2) (
2
1+
2)( 21 2+
2
2)
=
2
1
2
2+
2 2
2 1 2 1 1 2 2 = ( 1 2 2 1)
2
= | 1 2 2 1| ，
( 2+ 21 1)(
2+ 2) ( 2+ 22 2 1 1)(
2 2
2+ 2) ( 21+
2
1)(
2
2+
2
2)
所以 = | 1 2 2 1| 1 2+ 1
，
2
| 1 2 2 1| (
2+ 21 1)(
2 2
= 2
+ 2)
所以 1 2+ 1
；
2
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(3)由题知| | = cos2 + sin2 = 1，| | = cos2 + sin2 = 1，
所以 = | | |sin( )|cos cos +sin sin = cos( )，
又因为 = 2，所以tan2( ) = 4，
2
cos(2 2 ) = cos2( ) sin2( ) = cos ( ) sin
2( ) 1 tan2( ) 1 4 3
所以 sin2( + )+cos2( + ) = tan2( + )+1 = 4+1 = 5．
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