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2024-2025 学年四川省泸州市龙马潭区泸化中学高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量 = ( , 2), = ( , + 12 )，若 ⊥
，则 =( )
A. 1 B. 1 C. 0 D. 32
2.下列各组向量中，能作为基底的是( )
A. 1 = (1,3)， 2 = ( 2, 6) B. 1 = ( 2, 1)， 2 = (2, 2)
C. 1 = (1,2)， 2 = (2, 1) D. 1 = ( 3, 4)， 2 = (3,4)
3.在△ 中，若 2 + 2 2 = 3 ，则 =( )
A. B. 6 3 C.
2
3 D.
5
6
4 .已知角 的终边过点 ( 3,4)，则 tan( + 4 ) =( )
A. 1 17 B. 7 C. 7 D. 7
5.要得到函数 = 3 (2 + 3 4 )的图象，只需将 = 3 2 的图象( )
A. 3 3 向右平移 8个单位 B.向左平移 8个单位
C. 3 3 向左平移 4个单位 D.向右平移 4个单位
6.如图为地动仪的模型图，地动仪共有东、南、西、北、东南、西南、东北、西北八个
方位，每个方位上均有一个含龙珠的龙头，且每个龙头下方均有一只蟾蜍与其对应，任
何一方如有地震发生，该方向龙口所含龙珠即落入蟾蜍口中，由此便可测出地震的方向.
在相距 200 的 ， 两地各放置一个地动仪， 在 的南偏西 30°方向，若 地地动仪正
东方位的龙珠落下， 地地动仪东南方位的龙珠落下，则震中的位置距离 地( )
A. 50 6 B. 100 6 C. 100( 3 + 1) D. 120( 3 + 1)
7.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 = 4 ，且 = 1 5，则 =( )
A. 215 B.
2 6
5 C.
5 6
12 D.
15
2
8.设 , 均为单位向量，且| 4 | ≤ 13, = 2 , = 2 + ，则 的最大值是( )
A. 12 B.
1
2 C.
3
2 D.
3
2
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 .如图所示，点 ， 是函数 ( ) = 2 ( + )( > 0, 2 < < 2 )的图象与
轴的交点，点 在 ， 之间的图象上运动，若 ( 1,0)，且当△ 的面积最
大时 ⊥ ，则( )
A. (0) = 3
B. ( ) = 2 ( 4 + 4 )
C. ∈ ， ( 14) = ( )
D. ( )的单调增区间为[ 3 + 8 , 1 + 8 ]( ∈ )
10.若向量 = (2,0)， = (1, 3)，则( )
A. | | = 2 B. = 2
C. 在 1上的投影向量为2 D.

与 的夹角为6
11. 是△ 的重心， = 2， = 4，∠ = 120°， 是△ 所在平面内的一点，则下列结论正确的
是( )
A. + + = 0 B. 在 1上的投影向量等于 2

C. | | = 2 3 D. ( + 33 )的最小值为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 .在△ 中，角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， .若 = 4 , = 3 , = 2 2，则 = ______．
13.已知向量 = (2,0)， = (1,1)，则 在 方向上的投影向量的坐标______．
14.在下列各式中，
①如果 1， ， ， ， 16 成等比数列，那么 =± 4；
②△ 中，若( + + )( + ) = 3 ，且 = 2 ，则△ 是等边三角形；
2 1③若两个正实数 、 满足 +
2
= 1，并且 + 2 > 3 + 4 恒成立，则实数 的取值范围是( 1,4)；
④若等比数列{ }的前 项和 = × 3 1
1 1
6，则 的值为6；
2 3
⑤若 ， ∈ +， 2 + 2 = 1，则 1 +
2有最大值为4 2．
其中正确的有______. (填上你认为正确的所有序号)
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
已知向量 ， 满足| | = 2，| | = 4， ， 的夹角 = 60°．
(1)求( + ) ( + 2 )的值；
(2)求|2 |．
16.(本小题 15 分)
已知向量 = (sin( + ), sin23 )，
= ( , 1)，设函数 ( ) = + 14， ∈ ．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)求 ( )的单调递减区间和对称轴方程；
17.(本小题 15 分)
在△ 中，内角 ， ， 对应的边分别是 ， ， ，且 + = 2 ．
(1)求角 的大小；
(2)若△ 3 3的面积是 4 , = 2，求△ 的周长；
(3)若△ 为锐角三角形，求 + 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
在锐角△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足 2 2 = ．
(1)求证： = 2 ；
(2)若 = 1，求 边的范围；
(3) 1 1求 + 2 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < 函数 2 )的部分图像如图所示，
(1)求函数 ( )的解析式和单调递增区间；
(2)将函数 ( )的图像上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的 2 倍，得到函数 ( )的图像，若 ∈
[ 11 6 ,
2
3 ]时， ( )
4
的图像与直线 = 3恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为 1， 2， 3且 1 < 2 <
3，求 cos( 1 + 3)的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 3
13.(1,1)
14.②③⑤
15.解：(1)根据题意，可得 · = | |·| | 60° = 4，
所以( + ) ( + 2 ) = | |2 + 3 · + 2| |2 = 22 + 3 × 4 + 2 × 42 = 48；
(2)因为(2 )2 = 4| 2| 4 · + | |2 = 4 × 22 4 × 4 + 42 = 16，
所以|2 | = (2 )2 = 4．
16.解：(1)因为向量 = (sin( + ), sin2 )， 3 = ( , 1)，
所以 ( ) = + 1 4 = ( + 3 ) sin
2 + 14 = (
1
2 +
3
2 ) sin
2 + 14
= 34 2
1
4 2
= 12 sin(2 +

6 )．
即 ( ) = 12 sin(2 +

6 )；
(2) 函数的单调递减区间满足：2 + 2 ≤ 2 +
≤ 3 + 2 ∈ + ≤ ≤ 2 6 2 ， ，解得：6 3 + ，
( ) 2 的单调递减区间为[ 6 + , 3 + ]， ∈ ．
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函数的对称轴方程满足：2 + = 6 2 +

， ∈ ，解得 = 6 + 2， ∈ ．

对称轴方程 = 6 + 2， ∈ ．
2 2 2 2 2 2
17.解：(1)根据余弦定理，可得 + = + 2 +
+
2 = ，
结合 + = 2 ，可得 = 2 ，
= 1 所以 2，结合 为三角形的内角，可知 = 3．
(2)由△ 3 3的面积 = 4 ，
1
可得2 =
3 3 3
4 ，即 4 =
3 3
4 ，解得 = 3．
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 ，即 4 = 2 + 2 2 × 3 × 12，可得
2 + 2 = 7，
所以( + )2 = 2 + 2 + 2 = 7 + 6 = 13，
可得 + = 13(舍负)，即△ 的周长 + + = 2 + 13；
(3)根据 = 3，△ 是锐角三角形，
2
可得 ∈ (0, 2 )， = 3 ∈ (0,
) ∈ ( , 2 ，解得 6 2 ).
+ = + sin( 23 ) = +
3 + 12 2 =
3
2 +
3
2 = 3sin( +

6 )，
2 3
由 ∈ ( 6 , 2 )，可得3 < + 6 < 3， 2 < sin( + 6 ) ≤ 1，
3
所以2 < 3sin( +

6 ) ≤ 3，可得 +
3
的取值范围是( 2 , 3]．
18.解：(1)证明：因为 2 = 2 + 2 2 = 2 + ，
所以 = 2 ，
由正弦定理可得 = 2 ，
又因为 = sin( + ) = + ，
代入可得 = ，
所以 sin( ) = ，
因为 0 < ， < ，
所以 > 0，
所以 0 < < ，
所以 = 或 + = ，
所以 = 2 或 = (舍去)，
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所以 = 2 ．
(2)因为△ 为锐角三角形， = 2 ，
所以 = 3 ，
0 < < 2
0 < 2 < 因为 2 ，解得 ∈ ( 6 , 4 )，
0 < 3 < 2
又 = 1，
= 故 = 2 ∈ ( 2, 3)．
(3) 由(2)知 = 2 ∈ ( 3 , 2 )．
1 1
因为 + 2 = + 2 ，
= sin( ) 1 + 2 = + 2 ，
令 = ，
1 3
所以 = + 2 在 ∈ ( 2 , 1)上单调递增，
∈ ( 5 3所以 3 , 3)，
1 1 5 3
所以 + 2 的取值范围为( 3 , 3)．
19. 7 解：(1)根据函数的图象： = 2，且4 = 12 3 = 4，故 = ，解得 = 2；
由于 ( 3 ) = 2 (2 × 3 + ) = 0，由于| | < 2，
= 故 6；
故 ( ) = 2 (2 6 ).
令 + 2 ≤ 2 6 ≤ 2 ，( ∈ )，
5 整理得 12 + ≤ ≤ + 12，( ∈ )，
故函数的单调递增区间为[ 5 12 + , +

12 ]，( ∈ )．
(2) 将函数 ( )的图像上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的 2 倍，得到函数 ( ) = 2 ( 6 )
的图像；
11 2
由于 ∈ [ 6 , 3 ]，
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所以 6 ∈ [ 2 ,

2 ]，
由于 ( )的图像与直线 = 43恰有三个公共点，
如图所示：
= 令 6 ∈ [ 2 ,

2 ]，则 = 2 ，由函数 = 2 的图象性质得： 1 + 2 = 2 ， 2 + 3 = 0，
且 2 1 = 2 2 = 2 =
4
3 3，
得到 = 2 3 1 3，由于 1 ∈ ( 2 , 2 )，
所以 = 51 ，3
由于 1 =

1 6， 2 = 2 6， 3 = 3 6，
得到 3 1 = 2 ，
所以 cos( 1 + 3) = cos( 1 + 2 + 2 ) = 2 1 = 2 2 1 1，
由于 1 = cos(
2 3 5
1 + 6 ) = 1cos 1sin = ，6 6 6
所以 cos( 1 + 3) =
1+4 15．
18
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