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2024-2025学年河北省秦皇岛三中高一（下）期中考试
数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 2 + ( + 1) ( ∈ )为实数，( 2) + 3 ( ∈ )是纯虚数，则复数 + 为( )
A. 2 B. 2 + C. 1 + 2 D. 1 + 2
2.已知 = (3,2)， = ( 6, )，若 与 共线，则 =( )
A. 4 B. 4 C. 9 D. 9
3.已知在△ 中，角 2， 的对边分别为 ， ，若 = 2, = 2 ，则 的值为( )
A. 2 2 B. 2 C. 1 D. 2
4.已知空间向量 ， ，且 = + 2 ， = 5 + 6 ， = 7 2 ，则一定共线的三点是( )
A. A、 、 B. B、 、 C. A、 、 D. A、 、
5.已知向量 = ( , 3)， = (2, 4)，若( + ) ⊥ ，则 =( )
A. 1 B. 3 C. 1 或 3 D. 1 或 3
6.在正方体 1 1 1 1中，由 1， 1， ， 四个点为顶点的正四面体 1 1 的表面积为 2，则
该正方体的表面积为( )
A. 2 2
B. 3 2
C. 2 2
D. 6 2
7.在△ 中， = 2 ，点 在 上，若 3 =
+ 1 3 ，则 =( )
A. 2 B. 4 5 63 5 C. 6 D. 7
8.已知两个单位向量 1, 2的夹角为 ，则下列结论中正确的有( )
① 1在 2上的投影为 ；② 1 2 = 1
2 2
；③ 1 = 2；④( 1 + 2) ⊥ ( 1 2)．
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 为虚数单位，复数 = 1+5 满足 1+ ，则( )
A. 的实部为 3 B. 的虚部为 2

C. = 13 D. 在复平面内对应的点在第四象限
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10.某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台 1 2，在轴截面 中， = =
= 4 ， = 2 ，则下列说法正确的有( )
A.该圆台的高为 3
B.该圆台轴截面面积为 24 2
C.该圆台轴截面面积为 12 3 2
D.一只蚂蚁从点 沿着该圆台的侧面爬行到 的中点，所经过的最短路程为 10
11.若向量 = (2,1), = (1, 1)，则下列说法正确的是( )
A. | + | = | 2 | B. 与 平行
C. + 2 在 7上的投影向量为5 D. sin ,
= 3 1010
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12. 的内角 、 、 所对边长分别为 、 、 ，且 2 2 + 2 = 2，则
= ______．
13.向量 , 在边长为 1 的正方形网格中的位置如图所示，则| | = _____．
14.若( 2 )(2 + ) = ( , ∈ , 为虚数单位)，则 2 + 2 =______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = (1,2)， = ( 2,3)．
(1)求 2 + 3 ；
(2)求( + ) ( )；
(3)求 cos , ．
16.(本小题 15 分)
计算
(1)5 [(3 + 4 ) ( 1 + 3 )]；
(2) (1 )(1+2 )1+ ；
(3)(2 )2．
17.(本小题 15 分)
我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图所示，
在长方体 1 1 1 1中，已知 = = 2， 1 = 3．
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(1)求证：四棱锥 1 是一个“阳马”，并求该“阳马”的体积；
(2)求该“阳马” 1 的外接球的表面积．
18.(本小题 17 分)
如图，为测量山高 ，选择 和另一座山的山顶 为测量观测点，从点 测得点 的仰角∠ = 45°，点
的仰角∠ = 60°，以及∠ = 75°，从点 测得∠ = 45°，已知山高 = 300 ．
(1)求两点 间的长度；
(2)求山 的高度．
19.(本小题 17 分)
在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 = 3 + 3 ．
2 2
(1) + 求 的值；
(2) = 2 若 3，△
15 3
的面积为 4 ，求 边上的高．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
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9.
10.
11.
12. 4
13. 2
14.73
15.(1)因为 = (1,2)， = ( 2,3)，
所以 2 + 3 = ( 4,13)；
(2)因为 = (1,2)， = ( 2,3)，
2 2 2所以 = | | = 5, = | |2 = 13，
2
所以( + ) ( ) = 2 = 5 13 = 8；
(3)因为 = (1,2)， = ( 2,3)，
cos , =
2+6 4 65
所以 = = ．
| | | | 5× 13 65
16.解：(1)5 [(3 + 4 ) ( 1 + 3 )]
= 5 (3 + 4 ) + ( 1 + 3 )
= 5 3 4 1 + 3
= 4 + 4 ；
(2) (1 )(1+2 ) = (1 )
2(1+2 )
1+ (1+ )(1 )
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= 2 (1+2 )2 = (1 + 2 ) = 2 ；
(3)(2 )2 = 4 4 + 2 = 3 4 ．
17.解：(1)证明：因为长方体 1 1 1 1中， 1 ⊥平面 ，且 是矩形，
所以四棱锥 1 中，底面 是矩形，且侧棱 1 ⊥底面 ，
所以四棱锥 1 是一个“阳马”，
1 1
体积 = 3 × 1 = 3 × 2 × 2 × 3 = 4；
(2)长方体的外接球即为四棱锥的外接球，
因为 = = 2， 1 = 3．
∴长方体的对角线长为 22 + 22 + 32 = 17，
17
则长方体的外接球的半径 = 2 ，
∴ 17该“阳马”外接球的表面积为 = 4 2 = 4 × ( 2 )
2 = 17 ．
18.解：(1)在△ 中，∵ ∠ = 60°，∠ = 90°， = 300，
∴ = 300 60 = 200 3；
(2)在△ 中，∵ ∠ = 75°，∠ = 45°，可得∠ = 60°，
∵ 45°sin∠ = sin∠ ，∴ = 60 = 200 2，
在直角△ 中，可得 = sin∠ = 200 2 × 45° = 200．
19.解：(1)根据题意可知， = 3 + 3 ，
2+ 2 = 3 ×
2 2
+ 3 × +
2 2
故 2 2 ，
化简得 2 ( 3 ) = 0，则得 = 3 ，
2+ 2 (3 )2+ 2 10
故 = 3 2 = 3；
(2) 1 3 15 3由 △ = 2 = 4 = 4 可得 = 15，
由(1)已得 = 3 ，解得 = 3 5, = 5，
由余弦定理， 2 = 2 + 2 2
= (3 5)2 + ( 5)2 2 × 3 5 × 5cos 2 3 = 65，解得 = 65，
设 边上的高边上的高为 ，
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1 65 15 3 3 195
则由 △ = 2 = 2 = 4 ，解得 = 26 ，
3 195
故 AC 边上的高为 26 ．
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