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2.4.2 零次幂和负整数指数幂
2.4 整数指数幂
第二章 分 式
1. 理解零次幂和负整数指数幂的意义，并能进行负整数指数幂的运算；（重点，难点）
2. 会用科学记数法表示绝对值较小的数.（重点）
学习目标
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
即
问题 同底数幂的除法法则是什么？
若 m≤n，同底数幂的除法怎么计算呢？该法则还适用吗？
= am－n
零次幂和负整数指数幂
1
我们已经知道，当 n 为正整数时，an = a·a·····a.
(1) 若 n 为 0 时，an 的意义是什么
(2) 若 n 为负整数时，an 的意义是什么
n 个a
思考
(1) 根据分式的基本性质得，
受此启发，若把
(m > n ，m，n都是正整数)
推广到 m＝n 的情形，则有
将x用任意一个非零实数 a 代人，从①式得 a0 =1(a≠0).
即任何非零实数的零次幂都等于 1.
于是规定 x0 = 1 (x≠0). ①
例如，20 = 1，100 = 1，= 1.
(2) 若把
(m > n ，m，n都是正整数)
推广到 m＝0 的情形，则有
又利用 ① 式得
于是规定
(x≠0 ，n 是正整数). ②
将 x 用任意一个非零实数 a 代人，从②式得
a
(a≠0 ，n 是正整数).
由于
因此
a
(a≠0，n 是正整数).
特别地，
当引入零次幂和负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体整数.
a
(a≠0).
例1 已知 (3x - 2)0 有意义，则 x 应满足的条件
是_______．
解析：根据零次幂的意义可知，若 (3x－2)0 有意义，则 3x - 2≠0，即 .
方法总结：零次幂有意义的条件是底数不等于 0，所以解决有关零次幂的意义问题时，可列出关于底数不等于 0 的式子求解．
典例精析
例2 若 (x - 1)x＋1 = 1，求 x 的值．
解：①当 x＋1 = 0，即 x = -1 时，(x - 1)x＋1 = (-2)0 = 1；
②当 x - 1 = 1，即 x = 2 时，(x - 1)x＋1 = 13 = 1；
③当 x - 1 = -1，即 x = 0 时，(x - 1)x＋1 = (-1)1 = -1.
故 x 的值为 -1 或 2.
方法总结：乘方的结果为 1，可分为三种情况：不为零的数的零次幂等于 1；1 的任何次幂都等于 1；－1 的偶次幂等于 1. 即在底数不等于 0 的情况下要考虑指数等于 0，另外还需考虑底数等于 1 或－1 的情况.
例3 计算：
解：
例4 把下列各式写成分式的形式：
(1) x－2；
(2) 2xy－3；
解：(1) x－2 ＝ .
(2) 2xy－3 ＝ 2x·＝ .
1. 若 a = ，b = (-1)-1，c = ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
A．a＞b＝c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
B
解析：a = = = ，b = (-1)-1 = -1，
c = = 1，所以 a＞c＞b，故选B.
练一练
方法总结：关键是理解负整数指数幂的意义，依次计算出结果．当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
2.把下列各数写成分数的形式：
解：
科学记数法：绝对值大于 10 的数可记成 a×10n 的形式，其中 1≤＜10，n 是正整数.
忆一忆：
例如，864000 可以写成 .
怎样用科学记数法表示 0.0000864？
8.64×105
想一想：
用科学记数法表示绝对值小于 1 的数
2
探一探：
因为
所以，0.0000864 = 8.64×0.00001 = 8.64 ×10-5.
类似地，我们可以利用 10 的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成 a×10-n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10.
算一算：
10－2 = ___________； 10－4= ___________；
10－8 = ___________.
议一议：指数与运算结果的 0 的个数有什么关系？
一般地，10 的 -n 次幂，在 1 前面有_____个 0.
想一想：10－21 的小数点后的位数是几位？
1 前面有几个零？
0.01
0.0001
0.00000001
通过上面的探索，你发现了什么？
n
用科学记数法表示一些绝对值小于 1 的数的方法：
利用 10 的负整数次幂，可以把一个绝对值小于 1 的数表示成 a×10-n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10，n 等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面那个零）.
知识要点
例5 近年来，我国基础研究和原始创新不断加强，一些关键核心技术实现突破，比如，我国科研团队在小尺寸晶体管研究方面取得重大突破，制备出亚 1 nm (纳米) 栅极长度的晶体管，其物理栅长为 0.000 000 000 34 m，请用科学记数法表示这个长度(单位：m).
解：0.000 000 000 34＝3.4×0.000 000 000 1
＝3.4×10－10，
因此，用科学记数法表示 0.000 000 000 34 m
即为 3.4×10－10 m.
例6 用小数表示下列各数：
(1) 2×10－7； (2) 3.14×10－5；
(3) 7.08×10－3； (4) 2.17×10－1.
分析：小数点向左移动相应的位数即可．
解：(1) 2×10－7＝0.000 000 2.
(2) 3.14×10－5＝0.000 031 4.
(3) 7.08×10－3＝0.007 08.
(4) 2.17×10－1＝0.217.
1. 用科学记数法表示：
（1）0.000 03； （2）-0.000 006 4；
（3）0.000 0314.
2. 用科学记数法填空：
（1）1 s 是 1 μs 的 1 000 000 倍，则 1 μs＝_______s；
（2）1 mg＝_______kg； （3）1 μm＝_______m；　　　　　
（4）1 nm＝_______ μm；（5）1 cm2＝_______ m2；
（6）1 mL＝_______m3.
3×10-5
3.14×10-5
-6.4×10-6
1×10-6
1×10-6
1×10-6
1×10-3
1×10-4
1×10-6
练一练
3. 中国女药学家屠呦呦获 2015 年诺贝尔医学奖，她的突出贡献是创制新型抗疟药青蒿素和双氢青蒿素，这是中国医学界迄今为止获得的最高奖项．已知显微镜下某种疟原虫平均长度为 0.000 001 5 米，该长度用科学记数法表示为__________米．
1.5×10-6
1. 计算：
1
1
64
2. 把下列各式写成分式的形式：
3. 用小数表示 5.6×10-4.
解：原式 = 5.6×0.0001 = 0.00056.
解：(1) 原式 =
(2) 原式 =
4. 比较大小：
（1）3.01×10－4_______9.5×10－3；
（2）3.01×10－4_______3.10×10－4.
＜
＜
5. 用科学记数法把小数 0.000 009 405 表示成
9.405×10n 的形式，那么 n = .
-6
6. 计算：－22＋(－ )－2＋(2022－π)0.
解：－22＋(－ )－2＋(2022－π)0
＝－4＋4＋1
＝1.
整数指数幂
非正整数
指数幂的意义
1. 零次幂：当 a ≠ 0 时，a0 = 1
2. 负整数指数幂：当 n 是正整数时，a-n＝
科学记数法表示绝对值较小的数
0.00…01
n 个 0

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