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2.4 整数指数幂
2.4.3 整数指数幂的基本性质
第二章 分 式
1. 理解整数指数幂的运算法则；（重点）
2. 会用整数指数幂的运算法则进行计算.（重点、难点）
学习目标
问题 正整数指数幂的运算法则有哪些？
am · an = am+n ( m，n 都是正整数)；
(am)n = amn ( m，n 都是正整数)；
(ab)n = anbn ( n 是正整数).
(a ≠ 0，m，n 都是正整数，且 m＞n)； (b ≠ 0，n 是正整数).
探究：在七年级下册我们知道，
am · an = am+n (m，n 都是正整数) ①
引入负整数指数幂后，当 a≠0 时，上述性质是否仍然成立
整数指数幂的运算
1
计算：(1) a3·a－5； (2) a－3·a－5； (3) a0·a－5.
解：(1) a3·a－5 ＝
(2) a－3·a－5＝
(3) a0·a－5＝
观察上式你有什么发现？
猜想：
am · an = am+n (a ≠ 0，m，n 都是整数).
a3+(－5)
a－3+(－5)
a0+(－5)
设 a≠0，m，n 都是正整数，且 m > n.
由于
a
于是
＝·＝·a
因此
am·a－n＝am－n＝am + (－n). ②
由于
m 个a
n 个a
(m－n)个a
＝a－(m－n)
＝a(－m)+n.
＝·＝a·
且
所以
a－m·an＝a(－m) + n . ③
类似可得，当 m≤n 时，等式②③仍成立.
又由 可得
a
a－m·a－n＝ ·＝ ＝＝a－(m + n)
＝a(－m) + (－n).
由上可知，引人负整数指数幂后，
am · an = am+n (a≠0，mn≠0且m，n 都是整数).
仍然成立.
④
做一做
(1) 已知 a≠0，m，n 都是整数，填空：
① a0·an = 1×an = a( ) = a0 + ( )；
② am·a0 = am×1 =a( ) = am + ( )；
(2)由(1)可猜测：当 a≠0，mn = 0 时，am·an = a( ).
n
m
0
n
m+n
可以证明，引人零次幂后，
am · an = am+n (a ≠ 0，mn = 0且 m，n 都是整数).
仍然成立.
⑤
知识要点
由 ④⑤ 可得整数指数幂的基本性质1：
am · an = am+n (a ≠ 0，m，n 都是整数).
我们已经知道，(am)n = amn，(ab)n = anbn，其中 m，n 都是正整数. 引人负整数指数幂后，当 a≠0，b≠0时，上述性质是否仍然成立？下面来进行研究.
做一做
(1) 已知 a≠0，b≠0，填空：
① (a2)－3 = = = a( ) = a2×( )，
② (a－2)3 = = = a( ) = a( )×3，
③ (a－2)－3 = (a2)3 = a( ) = a(－2)×( )，
④ (ab)－2 = = a( )·b( ).
(2) 根据 (1) 的结果，你能猜测出什么结论
－6
－3
－6
－2
6
－3
－2
－2
由上可猜测：引人负整数指数幂后，当 a≠0，b≠0时，若 m，n 为整数且 mn≠0，则 (am)n = amn 和
(ab)n = an·bn 仍然成立. 数学上已经证明此猜测成立，并且此结论也适合 m，n 为整数且 mn = 0 的情形.
由此可得整数指数幂的基本性质2：
(am)n = amn (a ≠ 0，m，n 都是整数).
以及整数指数幂的基本性质3：
(ab)n = an·bn ( a≠0，b≠0， n 是整数).
知识要点
例1 设 a≠0，b≠0，计算下列各式：
(1) a7·a－3；　 (2) (a－3)－2； (3) (a－1b)－2.
解：(1) a7·a－3
(2) (a－3)－2
= a7 + (－3)
= a(－3)×(－2)
= a4.
= a6.
(3) (a－1b)－2
= a2b－2
= .
注意：最后结果一般不保留负指数，而写成分式形式.
典例精析
1. 计算：
解：
练一练
设 a≠0，b≠0，n 是整数，利用整数指数幂的基本性质2 和基本性质3 得
(a·b－1)n = an·(b－1)n = an·b－n
＝an·＝ .
因此
＝
( a≠0，b≠0， n 是整数).
知识要点
例2 计算下列各式：
例3 计算：
(1)(x3y－2)2； (2) x2y－2 · (x－2y)3；
分析：先算幂的乘方，再算幂的乘除，最后将负整数指数幂化成正整数指数幂．
解：(1) 原式＝x6y－4
(2) 原式＝x2y－2·x－6y3＝x－4y
提示：计算结果一般需化为正整数指数幂的形式.
(3)(3x2y－2)2÷(x－2y)3； (4)(3×10－5)3÷(3×10－6)2.
(4) 原式＝(27×10－15)÷(9×10－12)＝3×10－3
＝0.003.
解：(3) 原式＝9x4y－4÷(x－6y3)＝9x4y－4·x6y－3＝9x10y－7
例4 已知 a－m＝3，bn＝2，则 (a－mb－2n)－2＝____．
解析：(a－mb－2n)－2＝(a－m)－2·b4n ＝(a－m)－2(bn)4
＝3－2×24
＝
方法总结：逆用幂的运算法则，把要求的代数式用已知的式子来表示是解题的关键．
例5 某房间空气中平局均每立方米含 3×106 个病菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行实验，发现 1 毫升这种杀菌剂可以杀死 2×105 个病菌，问要将长 10 m，宽 8 m，高 3 m 的长方体房间内的病菌全部都杀死，至少需要多少毫升这种杀菌剂？
解：(10×8×3)×(3×106)÷(2×105)
= (720×106)÷(2×105) = 360×10 = 3.6×103(毫升).
答：至少需要 3.6×103 毫升这种杀菌剂.
整数指数幂运算的实际应用
1
(2)
1. 设 a ≠ 0，b ≠ 0，计算下列各式：
(4) a-5(a2b-1)3 =_______.
(1)
(3)
2. 计算下列各式：
解：(1)原式＝
(2)原式＝27x12y6.
(3)原式＝
am · an = am+n (a≠0，m，n 都是整数)；
(am)n = amn (a≠0，m，n 都是整数)；
(ab)n = anbn (a≠0，b≠0，n 是整数).
整数指数幂的运算公式：
1. 在应用各公式时，底数必须是相同的，指数可以是任意整数；
2. 注意负整数指数幂和零指数幂中，底数不为 0 的条件.
注意：

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