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2.5 可化为一元一次方程的分式方程
第1课时 可化为一元一次方程的分式方程的解法
第二章 分 式
1. 理解分式方程的概念；
2. 掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法；
（重点）
3. 掌握检验分式方程的解的方法.（难点）
学习目标
为了更好地践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某村计划组织村民在荒坡上种 9 600 棵树，后来由于青年志愿者的支援，每天种树的棵数是原计划的 倍，结果提前 4 天完成任务. 设原计划每天种 x 棵树，试用含 x 的等式表示问题中的等量关系.
分析：上述问题存在以下等量关系：
原计划的天数－实际天数＝4.
这个方程是我们以前学过的方程吗？它与一元一次方程有什么区别？
由于原计划每天种 x 棵树，则实际每天种 x 棵树.
根据上述等量关系，可以得到含有未知数 x 的等式：
即
定义：
像这样，分母中含未知数的方程叫作分式方程.
分式方程的概念
1
知识要点
判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
整式方程
分式方程
方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π 不是未知数)．
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母
都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的问题是什么？
（1）如何把它转化为整式方程呢？
如何去分母
你能试着解这个分式方程吗？
分式方程的解法
2
由于最简公分母为 x，于是将方程两边同乘 x，得
方程左边的值为 ，右边的值也是4，从而左边的值＝右边的值，
9 600 - 7 200 = 4x，
解得 x = 600.
x = 600 是原分式方程的解吗？
检验：将 x 用 600 代入原分式方程中，
因此 x = 600 是原分式方程的解.
解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同时乘最简公分母. 这也是解分式方程的一般方法.
归纳总结
例1 解方程：
解 ：由于最简公分母为 x(x - 2)，于是将方程两边同乘 x(x - 2)，得
解得 x = -3.
检验：把 x 用 -3 代入原方程，方程左边的值为
因此， x = -3 是原分式方程的解.
典例精析
5x - 3(x - 2) = 0，
右边的值也是0，
从而左边的值＝右边的值，
解：由于最简公分母为 (x - 2)(x + 2)，于得将方程两边同乘 (x - 2)(x + 2)，得
x + 2 = 4，
解得 x = 2.
x = 2 是原分式方程的解吗？
例2 解方程： .
检验：将 x 用 2 代人原分式方程，方程左边的值为 ，
不存在这种数，因此 x = 2 不是原分式方程的解，从而原分式方程无解.
典例精析
想一想：
上面两个分式方程中，为什么
去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，
而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？
真相揭秘：分式两边同乘不为 0 的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同.
我们再来观察去分母的过程：
9 600 - 7 200 = 4x
两边同乘 x
当x=600时，x≠0
真相揭秘：分式两边同乘了等于 0 的式子，所得整式方程的解使分母为 0，这个整式方程的解就不是原分式方程的解.
x + 2 = 4
两边同乘(x-2)(x+2)
当x=2时，(x-2)(x+2)=0
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0，所以分式方程的解必须检验．
怎样检验？
这个整式方程的解是不是原分式方程的解呢？
分式方程解的检验——必不可少的步骤
检验方法：把所求出的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于 0，那么它是原分式方程的一个解；如果它使最简公分母的值为 0，那么它不是原分式方程的解.
例3 解方程：
解：由于最简公分母为 3x - 2，于是将方程两边同乘 3x - 2，得
x + (-2) = 5(3x - 2)，
解得 x = .
经检验，x = 是原分式方程的解.
简记为：“一化二解三检验”.
第一步，求出最简公分母，将方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为一元一次方程；
第二步，解所得到的一元一次方程；
第三步，检验一元一次方程的解是否为原分式方程的解.
解可化为一元一次方程的分式方程的步骤如下：
归纳总结
1.解方程：
2x = 3x - 9.
解得 x = 9.
典例精析
解：由于最简公分母为 x(x - 3)，于是将方程两边同乘 x(x - 3)，得
经检验，x = 9 是原分式方程的解.
2.解方程：
x(x + 2) - (x - 1)(x + 2) = 3.
解得 x = 1.
检验：当 x = 1 时，(x - 1)(x + 2) = 0，
因此 x = 1 不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
解：由于最简公分母为 (x - 1)(x + 2)，于是将方程两边同乘 (x - 1)(x + 2)，得
用框图总结为：
可化为一元一次方程的分式方程
一元一次方程
方程两边同乘最简公分母
求解
x = a
检验
x = a 是分式
方程的解
x = a 不是分式
方程的解
当x = a时
最简公分母是
否为零？
否
是
2. 要把方程 化为整式方程，方程两边可以同乘（ ）
D
A. 3y - 6 B. 3y C. 3 (3y - 6 ) D. 3y ( y - 2 )
1. 下列关于 x 的方程中，是分式方程的是(　　)
A. B.
C. D.
D
3. 解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是 ( )
A. 2(x - 8) + 5x = 16(x - 7) B. 2(x - 8) + 5x = 8
C. 2(x - 8) - 5x = 16(x - 7) D. 2(x - 8) - 5x = 8
A
4. 若关于 x 的分式方程 无解，则 m 的值为 ( )
A. －1 或 5 B. 1
C. －1.5 或 2 D. －0.5 或－1.5
D
7. 解方程：
解：方程两边同乘 ，得
解得
经检验 是原分式方程的解
分式
方程
误区
(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘；
步骤
(去分母法)
一化(分式方程转化为整式方程)；
二解(整式方程)；
三检验(把解代入到最简公分母，看是否为零)
(2)去分母后，分子是多项式时，没有添括号 (因分数线有括号的作用)；
(3)忘记检验.
定义
分母中含未知数的方程叫作分式方程

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