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2.5 可化为一元一次方程的分式方程
第2课时 分式方程的应用
第二章 分 式
学习目标
1. 理解题目中的数量关系正确列出分式方程；（难点）
2. 在不同的实际问题中能恰当设出未知数，列出分式方程并求解，从而解决实际问题.（重点）
1. 解分式方程的基本思路是什么？
2. 解分式方程有哪几个步骤？
3. 解分式方程过程中一般如何检验？
分式方程
整式方程
转化
去分母
一化二解三检验
将所求得的解代入最简公分母，看是否等于 0，不等于 0 的才是原分式方程的解.
4. 我们所学过的应用题有哪些类型？每种类型的基本公式是什么？
常见的有 4 种：
(1)行程问题：路程=速度×时间以及它的两个变式；
(2)数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法；
(3)工程问题：工作量=工时×工效以及它的两个变式；
(4)利润问题：批发成本=批发数量×批发价；
打折销售价=定价× ；销售利润=销售收入-批发成本；
每件销售利润=定价-批发价；利润率=利润÷进价.
折数
10
例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？
表格法分析如下：
工作时间（个月） 工作效率 工作总量（1）
甲队
乙队
等量关系：
甲队完成的工作总量 + 乙队完成的工作总量=“1”
设乙单独完成这项工程需要 x 个月.
列分式方程解决工程问题
1
解：设乙单独 完成这项工程需要 x 个月.记工作总量为 1，甲的工作效率是 ，根据题意得
即
方程两边同乘 2x，得
解得 x = 1.
检验：当 x = 1 时，2x≠0. 所以，原分式方程的解为
x = 1. 由上可知，若乙队单独施工 1 个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需 3 个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快.
想一想：本题的等量关系还可以怎么找？
甲队单独完成的工作总量 + 两队合作完成的工作总量=“1”
此时表格怎么列，方程又怎么列呢？
设乙单独完成这项工程需要 x 个月.则乙队的工作效率是 ，甲队的工作效率是 ，两队合作的工作效率
是
工作时间(个月) 工作效率 工作总量（1）
甲单独
两队合作
此时方程是：
1
表格为
“3 行 4 列”
工程问题
1. 题中有“单独”字眼通常可知工作效率；
2. 通常间接设元，如××单独完成需 x（单位时间），则可表示出其工作效率；
3. 弄清基本的数量关系.如本题中的“合作的工效 = 甲乙两队工作效率的和”.
归纳总结
4. 解题方法：可概括为“321”，即 3 指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效率，工作时间，工作量；2 指该类问题中的“两个主人公”如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”；1 指该问题中的一个等量关系.如工程问题中等量关系是：两个主人公工作总量之和 = 全部工作总量.
例1 用 A，B 两种型号的机器人搬运原料，已知 A 型机器人比 B 型机器人每小时多搬运 200 kg，且 A 型机器人搬运 10 000 kg 所用时间与 B 型机器人搬运 8 000 kg 所用时间相等，
求这两种机器人每小时分别
搬运多少原料.
典例精析
上述问题中存在以下两个等量关系：
设 B 型机器人每小时搬运 x kg，则由等量关系 (2) 可得，A 型机器人每小时搬运 (x + 200) kg.
(1) A 型机器人搬运 10 000 kg 所用时间 = B 型机器人搬运 8 000 kg 所用时间.
(2) A 型机器人每小时搬运量 = B 型机器人每小时搬运量＋200kg.
再根据等量关系 (1)，可列出如下方程：
经检验，x = 800 是原分式方程的解，且符合题意.
将方程两边同乘最简公分母 x(x＋200)，得
10 000x = 8 000(x + 200)，
解得 x = 800.
由此可知，B 型机器人每小时搬运原料 800 kg，A 型机器人每小时搬运原料 1000 kg.
2
列分式方程解决行程问题
例2 某校八年级学生乘车前往某乡村进行研学实践活动，现有两条线路可供选择：线路一全程 25 km，线路二全程 30 km. 若走线路二的平均车速是走线路一
的 1.5 倍，所花时间比走线路一少用 10 min，则走 线路一的平均车速为多少
乡村
学校
线路一
线路二
分析 本题涉及的等量关系是：
走线路一的时间 - 走线路二的时间 = h.
平均车速/(km/h) 路程/km 时间/h
线路一
线路二
设走线路一的平均车速为 x km/h，则可得下表：
x
1.5x
25
30
解：设走线路一的平均车速为 x km/h，则走线路二的平均车速为 1.5x km/h.
根据等量关系，可列出如下方程：
解得 x = 30.
答：走线路一的平均车速为 30 km/h.
经检验，x = 30 是原分式方程的解，且符合题意.
练一练：1. 一轮船往返于 A、B 两地之间，顺水比逆水快 1 小时到达.已知 A、B 两地相距 80 千米，水流速度是 2 千米/时，求轮船在静水中的速度.
检验：x = －18不合题意，舍去.
解：设轮船在静水中的速度为 x 千米/时,根据题意得
解得 x = ±18.
故 x = 18.
答：轮船在静水中的速度为 18 千米/时.
方程两边同乘 (x - 2)(x + 2) 得
80x + 160－80x + 160 = x2 －4.
列分式方程解应用题的一般步骤
1. 审清题意；
2. 找等量关系；
3. 设出未知数
4. 列出方程；
5. 解这个分式方程；
6. 检验解的合理性（包括两方面：①是否是分式方 程的根； ②是否符合实际情况）；
7. 作答.
A. B.
C. D.
1. 几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为 180 元/辆. 出发前，又增加两名同学，结果每个同学比原来少分摊 3 元车费，若设原来参加旅游的学生有 x 人，则所列方程为(　　)
A
2. 农机厂到距工厂 15 千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了 40 分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的 3 倍，求两车的速度.
解：设自行车的速度为 x 千米/时，那么汽车的速度是 3x 千米/时，依题意得：
解得
x＝15.
经检验，x＝15 是原方程的根.
由 x＝15 得 3x＝45.
答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时.
3. 某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：
同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元.
解：设排球的单价为 x 元，则篮球的单价为 (x＋60) 元，根据题意，列方程得
解得 x＝100. 经检验，x＝100 是原分式方程的解，当 x＝100 时，x＋60＝160.
答：排球的单价为 100 元，篮球的单价为 160 元．
4. 某水果店在批发市场购买某种水果销售，第一次用 1200 元购进若干千克，并以每千克 8 元出售，很快售完. 由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了 10%，用 1452 元所购买的数量比第一次多 20 千克，以每千克 9 元售出 100 千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价 50% 售完剩余水果.
(1)求第一次水果的进价是每千克多少元；
分析：根据第二次购买水果数多 20 千克，可得出方程，解出即可得出答案；
解：设第一次购买的进价为每千克 x 元，则第二次的进价为每千克 1.1x 元，
根据题意得 ，
解得 x＝6.
经检验，x＝6 是原分式方程的解．
答：第一次购买水果的进价为每千克 6 元．
(2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
分析：先计算两次购买水果的数量，赚钱情况：销售的水果量×(实际售价－当次进价)，两次合计，就可以求得是盈利还是亏损了．
解：第一次购买水果 1200÷6＝200 (千克).
第二次购买水果 200＋20＝220 (千克).
第一次赚钱为 200×(8－6)＝400 (元)，
第二次赚钱为 100×(9－6.6)＋(220-100)×(9×0.5－6.6)
＝－12 (元)．所以两次共赚钱 400－12＝388(元).
分式方程的应用
类型
行程问题、工程问题、数字问题、顺逆问题、利润问题等
方法
步骤
一审二找三设四列五解六验七答
321法

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