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小结与复习
第二章 分式
1. 分式的定义：
2. 分式有意义的条件：
g ≠ 0
分式无意义的条件：
g = 0
分式值为 0 的条件：
f = 0 且 g ≠ 0
一、分式的概念及基本性质
设 f 和 g 都是多项式，其中 g 不为 0. 我们把 f 除以 g 的结果记作 ，称 是分式，其中 f 称为分子，g 称为分母.
即对于分式 ，有
分式的分子与分母都乘同一个不为0的多项式（或除以他们的一个不为0的公因式），所得分式与原分式相等.
3.分式的基本性质
分式的符号法则：
1. 分式的乘除法法则
分式的乘法
分式的除法
分式的乘方
2. 分式的加减
(1) 同分母分式相加减 ；
(2) 异分母分式加减时需先通分化为同分母分式再加减. 这个相同的分母叫公分母.
(确定最简公分母的方法：一般取各分母系数的最小公倍数与各分母各个因式的最高次幂的积为最简公分母)
二、分式的运算
三、整数指数幂
(a ≠ 0，m、n为正整数且m>n).
( a ≠ 0，n 为正整数).
2. 零次幂、负整数指数幂：
1. 同底数幂除法：
3. 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数：
0.00…01
n 个 0
1. 解分式方程的思路：
运用转化思想把分式方程去分母转化成一元一次方程求解.
(3) 验：把一元一次方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，那么这个解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，即原分式方程无解；
2. 解分式方程的一般步骤：
(1) 化：方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成一元一次方程；
(2) 解：解这个一元一次方程；
(4) 写解：写出原分式方程的解.
四、分式方程及其应用
3. 列分式方程解应用题的一般步骤：
1. 审清题意；
2. 找等量关系；
3. 设出未知数
4. 列出方程；
5. 解这个分式方程；
6. 检验解的合理性（包括两方面：①是否是分式方程的根； ②是否符合实际情况）；
7. 作答.
考点一 分式的有关概念
例1 如果分式 的值为 0，那么 x 的值为 .
【解析】根据分式值为 0 的条件：分子为 0 而分母不为 0，列出关于 x 的方程和不等式，求出 x 的值. 由题意可得 x2 - 1 = 0，且 x + 1 ≠ 0，解得 x = 1. 故答案为：1
1
分式有意义的条件是分母不为 0，分式无意义的条件是分母的值为 0；分式的值为 0 的条件是：分子为 0 且分母不为 0.
归纳总结
2. 如果分式 的值为零，那么 a 的值为 .
-2
1. 若分式 无意义，则 x 的值为 .
-3
针对训练
考点二 分式的有关计算
例2 已知 x = 2，y = 10，求 的值.
【分析】一般应先化简分式，再代入字母值求值.
将 x = 2，y = 10 代入得
解：原式 =
原式 =
对于一个分式，如果给出其中字母的取值，我们可以先将分式进行化简，再把字母取值代入，即可求出分式的值.但对于某些分式的求值问题，没有直接给出字母的取值，而只是给出字母满足的条件，这样的问题较复杂，需要根据具体情况选择适当的方法.
归纳总结
3. 已知 x2 - 5x + 1 = 0，求 的值.
解：因为x2 - 5x + 1 = 0，所以 即
所以
针对训练
考点三 分式方程的解法
例3 解下列分式方程：
解：(1) 方程两边同乘最简公分母 (x + 1)(x - 1)，得
x + 1 + x - 1 = 0，解得 x = 0，
经检验，x = 0 是原分式方程的解.
(2) 方程两边同乘最简公分母 (x + 1)，得
x - 4 = 2x + 2 - 3，解得 x = -3，
经检验，x = -3 是原分式方程的解．
解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为一元一次方程求解．解分式方程一定要注意验根．
归纳总结
解：方程两边同乘最简公分母 (x + 2)(x﹣2)，
得(x﹣2)2 - (x + 2)(x﹣2) = 16，解得 x =﹣2，
检验：x =﹣2时，(x + 2)(x﹣2)=0.
所以x =﹣2不是原分式方程的解，
故原分式方程无解．
针对训练
经检验，x = 4 是原分式
方程的解.且符合题意
例4 某商店第一次用 600 元购进 2B 铅笔若干支，第二次又用 600 元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的 倍，购进数量比第一次少了 30 支. 求第一次每支铅笔的进价是多少元.
解：设第一次每支铅笔进价为 x 元，根据题意列方程，得
解得 x = 4.
答：第一次每支铅笔的进价为 4 元.
考点四 分式方程的实际应用
在实际问题中，列分式方程解题的方法与列一元一次方程解应用题的方法相同，不同之处在于列方式方程解应用题时，既要检验所得解是不是所列分式方程的解，又要检验是否符合实际意义.
方法总结
5. 某市在道路改造过程中，需要甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设 20 米，且甲工程队铺设 350 米所用的天数与乙工程队铺设 250 米所用的天数相同．问甲、乙两个工程队每天各能铺设多少米？
解：设乙工程队每天能铺设 x 米，则甲工程队每天能
铺设 (x + 20) 米. 依题意，得 ，解得 x = 50.
经检验，x = 50 是原方程的解，且符合题意．x+20=70.
答：甲、乙两个工程队每天各能铺设 70 米，50 米.
考点五 本章数学思想和解题方法
主元法
例5 已知 ，求 的值.
【分析】由已知可以变形为用 b 来表示 a 的形式，
得 ，代入约分即可求值.
解：因为 ，所以 .
所以
已知字母之间的关系式，求分式的值时，可以先用含有一个字母的代数式来表示另一个字母，然后把这个关系式代入到分式中即可求出分式的值.这种方法即是主元法.
此方法是在众多未知元之中选取某一元为主元，其余视为辅元，那么这些辅元可以用含有主元的代数式表示，从而起到减元和化繁为简的目的.
归纳总结
解：由 ，得 ，
把 代入可得原式 =
6. 已知 ，求 的值.
本题还可以由已知条件设 x = 2m，y = 3m，或整体代入求值.
原式 =
整体代入法
例6 解方程组
【分析】将 看作一个整体，再由 ①+ ② +③ 可得 的值，再分别用该值减去 ①、 ② 、③ 可求出 x、y、z 的值.
解：由 ①+ ② +③，得 ④
由 ④ - ①，④ - ②，④ - ③ 得
所以
归纳拓展：分式方程组的解法也有一定的灵活性，关键是根据每个方程的特点，选择适当的解答方法，特别提倡“一看，二慢，三通过”的好习惯.
7. 若 ab = 1，求 的值.
解：因为 ab = 1，
所以原式 =
分式
分式的定义及运算
分式的定义及有意义的条件等
分式方程
分式方程的应用
步骤
一审二找三设四列五解六检七答，尤其不要忘了检验解的合理性
类型
行程问题、工程问题、销售问题等
分式的运算及化简求值
分式方程的定义
分式方程的解法及求值检验问题
见教材章末复习题

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