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2.1 分式的概念及基本性质
第二章 分 式
第1课时 分式的概念
1. 了解分式的概念；
2. 理解分式有意义的条件及分式值为零的条件；
（重点）
3. 能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件．（难点）
学习目标
问题1：已知 6 = 3×2，那从这个式子能得到什么除法运算结果？
问题2(类比数的整除)：已知 x2－1＝(x＋1)(x－1)，那 x2－1 除以 x＋1 的结果应该是多少呢？
(x2－1)÷(x＋1)＝x－1.
6÷3＝2.
问题3：已知 8 = 3×2＋2，显然 8 不能被 3 整除，那我们怎么表示 8 除以 3 的结果呢？
分式的概念
1
8 除以 3 的结果记作 .
问题4(类比数不能整除的表示)：
已知 x2＋1＝(x＋1)(x－1)＋2，那 x2＋1 能被 x＋1 整除吗？不能整除的话，该怎么表示这个结果呢？
x2＋1 除以 x＋1 的结果记作 .
分式的定义
设 f 和 g 都是多项式，其中 g 不为 0. 我们把 f 除以 g 的结果记作 ，称 是分式，其中 f 称为分子，g 称为分母.
知识要点
思考：（1）分式与分数有何联系？
②分数是分式中的字母取某些值的结果，更具一般性.
整数
整数
整式
整式
(分母含有字母）
分数
分式
类比思想
特殊到一般的思想
①
7
100
a + 1
100
(是一个数）
判一判：下面的式子哪些是分式？
分式:
归纳：1. 判断时，注意含有 π 的式子中 π 是常数.
2. 式子中含有多项时，若其中至少一项分母含有字母，其他项为整式，则该式也为分式，如： .
问题3： 已知分式 .
(1) 当 x = 3 时，分式的值是多少
(2) 当 x = -2 时，分式的值能算出来吗
不能，当 x = -2 时，分式分母为 0，没有意义.
当 x_____时，分式有意义.
(3) 当 x 为何值时，分式有意义？
一般到特殊的思想
类比思想
≠-2
当 x = 3 时，分式值为
分式有意义的条件
2
对于分式 ：
当_______时分式有意义；
当_______时无意义.
g ≠ 0
g = 0
分式有意义的条件
知识要点
例1 已知分式 有意义，则 x 应满足的
条件是 (　　)
A．x≠1 B．x≠2
C．x≠1 且 x≠2 D．以上结果都不对
方法总结：分式有意义的条件是分母不为零. 如果分母是几个因式乘积的形式，那么每个因式都不为零.
C
（4）当 时，分式 有意义；
（2）当 x 时，分式 有意义；
（1）当 x 时，分式 有意义；
x≠y
（3）当 b 时，分式 有意义；
（5）当 x 时，分式 有意义.
做一做：
为任意实数
≠0
≠1
想一想：分式 的值为零应满足什么条件？
当 f = 0 而 g ≠ 0 时，分式 的值为零.
注意：分式值为零是分式有意义的一种特殊情况.
分式值为零的条件及求分式的值
3
解：当分子等于零而分母不等于零时，分式的值为零.
的值为零.
所以 当 x = 1 时分式
所以 x≠-1.
而 x + 1≠0，
所以 x = ±1.
则 x2 - 1 = 0，
例2 当 x 为何值时，分式 的值为零
解：(1) 由题意可得，若分母 2x - 3 的值为 0，
则分式的值不存在，解方程 2x - 3 = 0，得 ，
例3 已知分式 ：
（1）当 x 取哪个数时， 的值不存在？
（2）当 x 取哪个数时， 的值等于 0 ？
因此当 x 取 时， 的值不存在.
（2）当 x 取哪个数时， 的值等于 0 ？
(2) 由题意可得，若分子 x－2 的值为 0，
则分式的值为 0，解方程 x－2＝0，得 x＝2.
又因为此时分母 2x－3 的值为 2×2－3＝1≠0，
于是当 x 取 2 时， 的值为 ＝0.
议一议
(1) 当 x 取哪个数时，分式 的值不存在？
(2) 分式 的值可能等于 0 吗？为什么？
解：(1) 由题意可得，若分母 x + 1 的值为 0，
则分式的值不存在，解方程 x + 1 = 0，得 x = -1.
因此当 x 取 -1 时， 的值不存在.
(2) 不可能，因为由题意可得，若分子 x2 + 1 的值为 0，则分式的值为 0.
但是 x2 + 1＞0，所以分式 的值不可能等于 0.
例4 求下列条件下分式 的值.
（1）x = 3； （2）x = -0.4.
解 （1）把 x 用 3 代入，则 的值为
（2）把 x 用 -0.4 代入，则 的值为
1. 下列代数式中，属于分式的是（ ）
A. B. C. D.
C
2. 当 a = -1 时，分式 （ ）
A. 没有意义 B. 等于零
C. 等于 1 D. 等于 -1
A
3. 当 x 为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）
A.
B.
C.
D.
A
4. 已知当 x = 5 时，分式 的值等于零，则 k =
.
-10
5. 在分式 中，当 x 为何值时，分式有意义？为何值时，分式的值为零？
答：当 x≠3 时，该分式有意义；当 x = -3 时，该分式的值为零.
6. 分式 的值能为 0 吗？说明理由．
答：不能. 因为若 ，则必须 x = -3；而 x = -3 时，分母 x2 - x - 12 = 0，分式无意义.
分式
定义
值为零的条件
有意义的条件
分式 有意义的条件是 g≠0
分式 的值为零的条件是 f = 0且 g ≠ 0
概念：一个整式 f 除以一个非零整式 g (g 中含字母) 所得的商

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