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(共30张PPT)
6.1.2 乘法公式与事件的独立性
学习目标
1.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系，体现数学抽象能力（重点）
2.在具体情境中，掌握判断两个事件是否相互独立的方法，体现数学抽象能力（重点）
3.结合古典概型，会利用乘法公式计算一些实际问题的概率，体现数学计算能力（难点）
新课导入
复习一下：事件独立性的概念？
对任意两个事件 A 与 B ，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件 A 与事件 B 相互独立，简称为独立．
那么条件概率与独立性有什么关系吗？让我们这节课学习一下.
新课学习
条件概率的乘法公式
由条件概率的定义P(B|A)= ,则有
P(AB)=P(B|A)P(A)(其中P(A)>0). ①
同理 P(AB)=P(A|B)P(B)(其中P(B)>0). ②
称公式①②为乘法公式，利用它们可以计算两个事件同时发生的概率.
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条件概率的乘法公式的拓展
设A1,A2, ,An为任意n个事件，满足P(A1,A2, ,An-1)>0，则
这个公式将n个事件同时发生的概率分解为单个事件的条件概率的乘积.
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例3： 已知口袋中有 3 个黑球和 7 个白球, 这 10 个球除颜色外完全相同.
(1) 先后两次从中不放回地各摸出一球, 求两次摸到的均为黑球的概率;
设事件Ai表示"第i次摸到的是黑球" (i=1,2,3)，则事件A1A2表示 "两次摸到的均为黑球".
由题意知，P(A1)= ,P(A2|A1)= . 于是, 根据乘法公式, 有
P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=
所以先后两次从中不放回地各摸出一球，两次摸到的均为黑球的概率为
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(2) 从中不放回地摸球, 每次各摸一球, 求第三次才摸到黑球的概率.
设事件A表示"第三次才摸到黑球"，则A=
由题意知
于是，根据乘法公式， 有
所以从中不放回地摸球，每次各摸一球，第三次才摸到黑球的概率为
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相互独立事件的概念
如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件就叫作相互独立事件.
举个例子：
在试验“连续抛掷一枚均匀的骰子两次，观察每次出现的点数”中，若事件A=“第一次掷出1点”，事件B=“第二次掷出1点”，则事件A与B即为相互独立事件.
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两个独立事件的计算公式
结合古典概型，得出两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即
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拓展：两个事件是否独立的判断方法
(1)直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件发生是否相互影响．
(2)定义法:若P(AB)=P(A)P(B)，则事件A，B相互独立.
(3)条件概率法:当P(A)>0时，可用P(B|A)=P(B)判断.
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下面从条件概率对于独立事件进行分析：
由条件概率的定义P(B|A)= ,得P(AB)=P(B|A)P(A).
若事件A与事件B相互独立，即事件A(或B) 是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，
则P(B|A)=P(B)，从而P(AB)=P(A)P(B)；
反之，若P(AB)=P(A)P(B)，且P(A)>0，则P(B)= ，
再由P(B|A)= 可知P(B|A)=P(B),
因此事件A(或B) 是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响， 即事件A与事件B相互独立.
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两个独立事件的判断
若事件A (或B) 是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响， 即事件A与事件B相互独立.即
事件A与事件B相互独立
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例4：口袋中有 4 个黑球和 3 个白球, 这 7 个球除颜色外完全相同, 连摸两次, 每次摸一球. 记事件A表示"第一次摸得黑球", 事件B表示"第二次摸得黑球". 在放回摸球和不放回摸球两种情况下,事件A与事件B是否独立
分析: 放回摸球和不放回摸球这两种情况均可从以下两个方面来判断事件A与事件B是否独立.
(1)P(B|A)=P(B)是否成立；
(2)P(AB)=P(A)P(B)是否成立.
新课学习
例4：口袋中有 4 个黑球和 3 个白球, 这 7 个球除颜色外完全相同, 连摸两次, 每次摸一球. 记事件A表示"第一次摸得黑球", 事件B表示"第二次摸得黑球". 在放回摸球和不放回摸球两种情况下,事件A与事件B是否独立
①放回摸球:
依题意有 P(A)= ,P(B)= ,P(B|A)=
因此，P(B|A)=P(B)， 即放回摸球时事件A与事件B独立.
②不放回摸球:
依题意有 P(A)= ，P(B)= ，P(AB)=
因此，P(AB)≠P(A)P(B)，即不放回摸球时事件A与事件B不独立.
课堂巩固
例5:如图，用a,b,c三类不同的元件连接成两个系统N1,N2.当元件a,b,c都正常工作时，系统N1正常工作；当元件a正常工作且元件b,c至少有一个正常工作时，系统N2正常工作.已知元件a,b,c正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90.
(1)求系统N1正常工作的概率P1;
(N1)
a
b
c
(N2)
a
b
c
设事件A=“元件a正常工作”，事件B=“元件b正常工作”，事件C=“元件c正常工作”.
依题意知P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.80×0.90×0.90
=0.648.
故系统N1正常工作的概率为0.648
课堂巩固
(2)求系统N2正常工作的概率P2.
(N1)
a
b
c
(N2)
a
b
c
依题意知
P2=P(A)P(B)P( )+P(A)P( )P(C)+P(A)P(B)P(C)
=0.80×0.90×0.10+0.80×0.10×0.90+0.80×0.90×0.90
=0.792 .
故系统N2正常工作的概率为0.792
课堂巩固
C
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C
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D
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C
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课堂巩固
D
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课堂巩固
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课堂总结
1.条件概率的乘法公式
2.相互独立事件的概念
3.相互独立事件的计算公式
THANK YOU

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