资源简介

(共35张PPT)
6.2离散型随机变量及其分布列
学习目标
1.通过具体实例，了解随机变量的概念，体现数学抽象能力（重点）
2.理解离散型随机变量的含义，体现数学抽象能力（重点）
3.掌握离散型随机变量分布列的表示方法与性质，体现逻辑推理能力（重难点）
4.了解伯努利试验，掌握两点分布，体现数学抽象能力（难点）
新课导入
在必修课程中,我们已经认识了大量的随机现象,知道运用试验的样本空间和随机事件的概率等来刻画随机现象的规律.
思考一下：在奥运射击运动中，运动员射击一次，可能出现命中0环，命中1环，……，命中10环等结果，若用X来表示他一次射击所命中的环数，如何表示呢？
下面,我们来学习如何进一步用数学语言来清楚地刻画每一个随机现象的数量规律.
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但是,还有一些试验的 样本空间不是用数值而是用属性刻画的.例如,抛掷一枚均匀的硬币观察其结果,其样本空间是{正面,反面},如果引入变量X,对应于试验的两个结果,将出现正面和反面时的X值分别规定为1和0,这样,样本点就和数值对应起来.随着试验结果的确定,X的取值也就确定了.
了解一个随机现象的规律,是指了解这个随机现象中所有可能出现的结果及每个结果出现的概率.例如,任意抛掷一枚均匀的骰子掷出的点数,可能出现的结果共有6个,其样本空间为{掷出点数i,i=1,2,…,6},可简记为{1,2,3,4,5,6}.
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随机变量的概念
在随机试验中，确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示.在这个对应关系下，数值随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量.随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示.
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例1:已知在 10 件产品中有 2 件不合格品. 试验 : 从这 10 件产品中任取 3 件, 观察不合格品的件数.
(1)写出该随机现象可能出现的结果;
依题意知这 10 件产品中有 2 件不合格品, 8 件合格品.
因此, 从10件产品中任取3件, 所有可能出现的结果是："没有不合格品" "恰有1件不合格品""恰有2件不合格品".
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例1:已知在 10 件产品中有 2 件不合格品. 试验 : 从这 10 件产品中任取 3 件, 观察不合格品的件数.
(2)试用随机变量来描述上述结果.
令随机变量X表示取出的3件产品中的不合格品的件数，则X所有可能的取值为0，1，2，对应着任取3件产品所有可能的结果. 即
{X=0}表示“没有不合格品”；
{X=1}表示“恰有1件不合格品”；
{X=2}表示“恰有2件不合格品”.
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对于随机试验我们引入了随机变量的概念，这样，了解随机试验的规律就转化为了解随机变量的所有可能取值，以及随机变量取各个值的概率.了解了上述两点，我们就可以说了解了这个随机试验的规律.
思考一下：如果用X表示抛掷一枚均匀的骰子掷出的点数，那么它的取值有什么？概率是什么？
用X表示抛掷一枚均匀的骰子掷出的点数，则X是一个随机变量，它的可能取值为1,2,…,6，
由于掷出各点数的概率相等，因而事件{X=i}(i=1,2,…,6)发生的概率为 ，
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思考一下：如果用X表示抛掷一枚均匀的骰子掷出的点数，那么它的取值有什么？概率是什么？
记作
P(X=i)= (i=1,2,…,6).
将上式列成表.
i 1 2 3 4 5 6
P(X=i)
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离散型随机变量的概念
取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量.
离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：
离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；
离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续型随机变量的结果不可以一一列出.
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离散型随机变量X的分布列的概念
若离散型随机变量X的取值为x1,x2,x3,…,xn,…,随机变量X取xi的概率为Pi(i=1,2,…,n,),记作
P(X＝xi)＝pi(i＝1,2,…,n,…). ①
①式也可以列成表,如表：
xi x1 x2 … xn …
P(X＝xi) p1 p2 … pn …
上表或①式称为离散型随机变量X的分布列，简称为X的分布列.
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离散型随机变量的分布列的性质
显然：
(1)pi>0(i=1,2,…,n,…);
(2)p1+p2+…+pn+…=1.
如果随机变量X的分布列为表或①式，称随机变量X服从这一分布列，记作
随机变量X的分布列完全描述了随机现象的规律：了解了随机变量X的分布列，就了解了这个随机变量的所有可能取值及取各个值的概率.
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例3：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的分布列.
用随机变量X表示每次罚球所得的分值.
根据题意，X的可能取值为1，0，且取这两个值的分别为0.7，0.3，因此所求的分布列如表.
X 1 0
P 0.7 0.3
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伯努利试验的概念
若在某个试验中，每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”，每次“成功”的概率均为p,每次“失败”的概率均为1-p,则称这样的试验为伯努利试验.
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如果随机变量X的分布列如表：
X 1 0
P p q
其中0两点分布的概念
举个例子：
例3中的篮球运动员每次罚球所得的分服从p=0.7的两点分布
两点分布不仅是最简单的，也是最重要的概率模型，在实际生活中有着广泛的应用.
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例4:连续抛掷一枚均匀的骰子两次,用X表示掷出的点数之和,试求X的分布列.
用我们用(i,j)表示抛掷的结果，其中i表示第一次掷出的点数，j表示第二次掷出的点数.共有36种结果，如表.
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
第一次掷出的点数
第二次掷出的点数
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例4:连续抛掷一枚均匀的骰子两次,用X表示掷出的点数之和,试求X的分布列.
这36种结果发生的概率是相同的，都是
由上表得，X的可能取值为2，3，...，12；其中使X＝2的有：(1,1)，因此P(X＝2)=
使X＝3的有：(1,2),(2,1),因此P(X＝3)=
同理可求得X取其他值的概率，因此可得X的分布列如表.
xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(X＝xi)
验证:
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例5：一袋中装有6个完全相同的黑球，编号分别为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X表示取出球的最大编号，求X的分布列.
依题意知随机变量X的取值为3,4,5,6.
从6个球中取出3个球，共有 种取法，且每一种取法都是等可能的.
当X=3时，取出球的最大编号为3，另两个球从1,2号球中取得，取法：
由古典概型计算概率的公式得
当X=4时，取出球的最大编号为4，另两个球从1,2,3号球中取得，因此
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例5：一袋中装有6个完全相同的黑球，编号分别为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X表示取出球的最大编号，求X的分布列.
当X=5时，取出球的最大编号为5，另两个球从1,2,3,4号球中取得，因此
当X=6时，取出球的最大编号为6，另两个球从1,2,3,4,5号球中取得，因此
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例5：一袋中装有6个完全相同的黑球，编号分别为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X表示取出球的最大编号，求X的分布列.
综上，可得X的分布列如表：
X 3 4 5 6
P
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例6：设随机变量X的分布列为P(X=i)= (i=1,2,3),求实数a的值.
因为
所以
解得
故实数a的值为
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C
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D
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B
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A
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D
课堂巩固
课堂巩固
0.7
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课堂总结
1.离散型随机变量的概念
2.离散型随机变量X的分布列的概念
3.离散型随机变量X的分布列的性质
4.伯努利试验的概念
5.两点分布的概念
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