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6.3.1 离散型随机变量的均值
学习目标
1.理解离散型随机变量的均值的含义，了解随机变量的均值与样本均值的区别与联系，体现逻辑推理能力（重点）
2.能计算简单离散型随机变量的均值，并能解决一些实际问题，体现数学计算能力（难点）
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回顾一下本章第2节中的例1：
已知在10件产品中有2件不合格品. 从这10件产品中任取3件, 用X表示取得产品中的不合格品的件数. 我们可求得X的分布列如表:
k 0 1 2
p
现在我们关心, 取 3 件该产品时, 平均会取到几件不合格品
那么, 怎样的一个数能够 "代表" 这个随机变量取值的平均水平呢
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分析上面的问题：
我们来看看一个常见的求平均值的问题.设有12个西瓜，其中有4个质量是5kg，3个质量是6kg，5个质量是7kg，求这12个西瓜的平均质量？
有平均数的意义，西瓜的平均质量应为12个西瓜的总重量除以西瓜的总个数，即
①式也可以写出如下的形式：
其中 ， ， 分别为质量是5kg,6kg,7kg的西瓜质量个数在西瓜总个数中所占的比例.②式告诉我们，如果我们知道各个质量所占的比例，则平均质量等于各个质量乘相应的比例，再求和.
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那么，前面“取不合格品的问题”中，根据X的分布列，有
③式表示，在一次抽取中，3件产品中平均有0.6件是不合格品．这样，平均数0.6就代表“取次品的问题”中随机变量X的平均取值.
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离散型随机变量X的均值的概念
设离散型随机变量X的分布列如下表：
X x1 x2 … xi … xn
p p1 p2 … pi … pn
则称为
EX=x1p1+x2p2+…+xipi+xnpn
为随机变量X的均值或者数学期望(简称期望)．
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拓展：对离散型随机变量数学期望理解：
1.均值EX刻画的是X取值的“中心位置”，反映了离散型随机变量X取值的平均水平，是随机变量X的一个重要特征．
2.两个不同的分布可以有相同的均值.
3.均值EX是随机变量取各个值的加权平均，由X的分布列完全确定.
4.均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质.
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思考一下：随机变量的均值与样本均值的联系与区别是什么？
区别:随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动.
联系:随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小.常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值.
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思考交流：举例说明不同的分布会有相同的均值.
设离散随机变量ξ的分布列如下表：
ξ 0 1 2
p
设离散随机变量η的分布列如下表：
ξ 1
p
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例1：设随机变量X服从参数为p的两点分布，求EX．
依题意知
EX=0·P(X=0)+1·P(X=1)
=0·(1-p)+1·p=p
因此，当X服从参数为p的两点分布时，其均值EX=p．
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例2：设X表示抛掷一枚均匀骰子掷出的点数，求EX．
依题意知X的分布列为
P(X=i)= (i=1,2,3,4,5,6)
如下表：
i 0 1 2 3 4 5 6
P(X=i)
根据均值的定义，可知
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思考交流：拋掷一枚均匀的骰子，掷出的点数只可能是1,2,3,4,5,6，怎样解释这个均值 呢
均值 ，指的是掷出的点数1，2，…，6的中心位置，反应了点数值的平均水平，是概率意义下的平均值，不是指某次投掷出现的结果．
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例3：一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个球，则取出的红球个数的均值是多少？
设X表示取出红球的个数，则X的取值为0，1，2．
故X的分布列如下表：
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例3：一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个球，则取出的红球个数的均值是多少？
X 0 1 2
P
根据均值的定义，可知
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思考一下：根据上面的例题，总结一下求离散型随机变量X的均值的步骤？
1.理解X的实际意义，写出X全部可能取值；
2.求出X取每个值时的概率；
3.写出X的分布列；
4.利用定义公式 求出均值．
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例4:根据气象预报，某地区近期暴发小洪水的概率为0.25，暴发大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，为保护设备，有以下3种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800元．
方案2：建一保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水．
方案3：不采取措施，希望不发生洪水，此时遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．
你会选择哪一种方案呢？
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用X1，X2，X3和分别表示以上3种方案的损失
采用方案1，无论有无洪水，都损失3800元，即X1=3800，故EX1=3800(元)
采用方案2，遇到大洪水时，损失2000+60000=62000元；没有大洪水时，损失2000元.因此
EX2=62000×0.01+2000×(1-0.01)=2600（元）
采用方案3，遇到大洪水时，损失60000元；遇到小洪水时，损失10000元；无洪水时，损失为0元，因此
EX3=60000×0.01+10000×0.25+0×(1-0.01-0.25)=3100（元）
由此可见，就平均而言，方案2的损失最小．
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C
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B
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D
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D
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B
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0
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课堂总结
1.离散型随机变量X的均值概念
2.求离散型随机变量X的均值的步骤
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