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6.3.2 离散型随机变量的方差
学习目标
1.理解离散型随机变量方差的含义，了解随机变量的方差与样本方差的区别与联系，体现逻辑推理能力（重点）
2.能计算简单离散型随机变量的方差，体现数学计算能力（重点）
3.体会均值与方差是从不同角度刻画随机变量的重要指标，并利用均值与方差解决一些实际问题，体现数学计算能力（难点）
新课学习
思考下面的问题：
有A、B两种不同类型的灯泡，通过抽样，获得了他们的“寿命”分别为X、Y
(单位：h)，已知X、Y的分布列如下表：
X 950 1000 1050
P
Y 700 1000 1300
P
如何知道两个灯泡更好一些？
新课导入
思考一下：设有两类灯泡的“寿命”为X、Y，且X、Y均是离散型随机变量，你能结合上节课所学的随机变量均值的知识来简单比较两类灯泡之类的好坏吗？
离散型随机变量的均值，反映了随机变量取值的平均水平，在该问题中，均值越大，则灯泡的平均“寿命”越长，均值越小，则灯泡的平均“寿命”越短．
新课学习
思考一下：能否由EX= EY判定两类灯泡寿命数据无差别呢？也就是说，是不是可以由均值相等，说明两类灯泡质量相同？
我们可以发现，A类灯泡的寿命介于950 h~1050 h，B类灯泡的寿命介于700h~1300 h，直观上看，A类灯泡的寿命时长要分布更为集中一些，即X与其均值的偏离程度要小一些．
虽然均值相同，但是两个变量X、Y的取值却存在较大的差异．也就是说，并不能直接由均值相等就判定两个变量取值无差异．
新课学习
因此，我们为了判断灯泡质量的好坏，还需要进一步考查灯泡寿命X与其均值EX的偏离程度．若偏离程度小，则灯泡的寿命比较稳定；若偏离程度大，则灯泡寿命的稳定性比较差．
思考一下：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度呢？
离散型随机变量的方差
新课学习
离散型随机变量的方差的概念
如果离散型随机变量X的分布列如下表所示：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则(xi-EX)2描述了xi(i=1,2,...,n)相对于均值EX的偏离程度，而DX=E(X-EX)2
为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度.
称为DX为随机变量X的方差，其算术平方根 为随机变量X的标准差，记为 .
新课学习
思考一下：根据以前学习的知识，总结一下随机变量方差和标准差的意义是什么？
随机变量的方差和标准差都可以反映随机变量取值与其均值的偏离程度．
方差（标准差）越小，随机变量偏离于均值的平均程度越小，取值越集中；
方差（标准差）越大，随机变量偏离于均值的平均程度越大，取值越分散．
新课学习
思考一下：通过计算方差，标准差比较上面例子中哪种类型的灯泡质量更好.
X 950 1000 1050
P
Y 700 1000 1300
P
因为DX新课学习
思考一下：随机变量的均值、方差与分布列有何关系？
随机变量的分布列全面刻画了随机变量取值的统计规律，随机变量的均值和方差从不同的角度刻画了随机变量的特征，反映了随机变量的重要信息．
分布列确定了，均值和方差也就确定了；但是反过来，仅仅知道均值或方差等数字特征，并不能完全确定随机变量的分布列．
因此，均值、方差与分布列是部分和整体的关系．
新课学习
思考一下：我们会见到aX+b这样的变量，它与变量X存在线性关系，那么它的方差又与X的方差有何关系？这种关系与两者期望的关系有什么不同？
1.D(X+b)=DX
2.D(aX)=a2DX
3.D(aX+b)=a2DX
新课学习
例1：抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差和标准差．
掷出点数X的分布列如下：
X 1 2 3 4 5 6
P
新课学习
思考一下：根据上面的例子，总结一下求离散型随机变量X的方差的基本步骤？
1.理解X的意义，写出X可能取的全部值；
2.求X取各个值的概率，写出分布列；
3.根据分布列，由均值的定义求出EX；
4.根据方差的定义求出DX.
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例2：甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，设ξ，η分别表示甲、乙两人所加工出的次品件数，且ξ和η的分布列分别如表1和表2：
ξ 0 1 2
P
η 0 1 2
P
表1
表2
试比较这两名工人谁的技术水平更高.
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因为
即Eξ=Eη，说明甲、乙两名工人所加工出的平均次品件数相同，可以认为他们的技术水平相当.
又因为
所以Dξ>Dη,说明工人乙的技术比较稳定.
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B
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股票A收益分布列
收益X -2 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
股票B收益分布列
收益Y 0 1 2
概率 0.3 0.4 0.3
D
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B
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D
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B
课堂巩固
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6
课堂巩固
课堂总结
1.离散型随机变量的方差的概念
2.求离散型随机变量方差的步骤
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