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第1课时　用空间向量研究距离问题
1.若O为坐标原点，＝（1，1，－2），＝（3，2，8），＝（0，1，0），则线段AB的中点P到点C的距离为（　　）
A.　　 B.2　　
C.　　 D.
2.（2024·滨州月考）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是（　　）
A. B.
C. D.
3.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是（　　）
A. B.
C. D.
4.（2024·苏州月考）如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是（　　）
A.5 B.8 C. D.
5.（多选）已知平面α的一个法向量为n＝（－2，－2，1），点A（x，3，0）在平面α内，若点P（－2，1，4）到平面α的距离d＝，则x的值可能为（　　）
A.－1 B.－11 C.1 D.11
6.（多选）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（　　）
A.＝（1，0，1）
B.平面OBB1的一个法向量为n＝（0，1，－1）
C.A1C⊥平面OBB1
D.点A到平面OBB1的距离为
7.若两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A（2，1，1），且两平面的一个法向量n＝（－1，0，1），则两平面间的距离是　　　　.
8.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1＝，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，则点B1到平面A1BC的距离为　　　　.
9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝1，则直线AB1到平面BC1D的距离为　　　　.
10.（2024·泉州质检）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，BD＝2.
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求点C到平面PBD的距离.
11.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，则点B1到平面AD1C的距离为（　　）
A. B. C. D.
12.（多选）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为4的正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，则下列说法正确的有（　　）
A.AC⊥PB B.点C到直线PA的距离为2
C.直线AB到平面PDC的距离为2 D.点D到平面PBC的距离为
13.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑（biē nào），如图，已知在鳖臑P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为　　　　.
14.在棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.
（1）求点B到直线AC1的距离；
（2）求直线FC到平面AEC1的距离.
15.（2024·济南月考）在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0（A，B，C，D∈R，且A，B，C不同时为零），点P（x0，y0，z0）到平面α的距离d＝，则在底面边长与高都为2的正四棱锥P-ABCD中，底面中心O到侧面PAB的距离d＝（　　）
A. B.
C.2 D.5
16.如图，在四棱锥P-ABCD的平面展开图中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，∠HDC＝∠FAB＝90°，求四棱锥P-ABCD外接球的球心到平面PBC的距离.
第1课时　用空间向量研究距离问题
1.D　∵＝（＋）＝（4，3，6）＝，＝（0，1，0），∴＝－＝，∴｜｜＝＝.
2.B　建立空间直角坐标系如图所示，则＝（0，2，0），＝（0，1，2），设∠ABE＝θ，则cos θ＝＝＝，sin θ＝＝.故A到直线BE的距离d＝｜｜sin θ＝2×＝.
3.D　分别以PA，PB，PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1）.可以求得平面ABC的一个法向量为n＝（1，1，1），则d＝＝.
4.C　以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则C（0，12，0），D1（0，0，5）.设AD＝x（x＞0），则B（x，12，0），B1（x，12，5）.设平面A1BCD1的法向量为n＝（a，b，c），由n⊥，n⊥，得n·＝（a，b，c）·（－x，0，0）＝－ax＝0，n·＝（a，b，c）·（0，－12，5）＝－12b＋5c＝0，所以a＝0，b＝c，所以可取n＝（0，5，12）.又＝（0，0，－5），所以点B1到平面A1BCD1的距离为＝.因为B1C1∥平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距离为.
5.AB　连接PA（图略），由题意知＝（x＋2，2，－4），∴d＝＝，即＝，解得x＝－1或x＝－11.故选A、B.
6.BCD　由题意得O（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A（0，－1，0），A1（0，0，1），B1（1，1，1），所以＝（1，1，1），故A不正确；＝（1，0，0），设平面OBB1的法向量为n＝（x，y，z），则令y＝1，得n＝（0，1，－1），故B正确；＝（0，1，－1）＝n，所以A1C⊥平面OBB1，故C正确；连接OA（图略），＝（0，－1，0），则点A到平面OBB1的距离d＝＝＝，故D正确，故选B、C、D.
7.　解析：因为两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A（2，1，1），且两平面的一个法向量n＝（－1，0，1），则＝（2，1，1），所以两平面间的距离d＝＝＝.
8.　解析：如图所示，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），A1（1，0，），B1（0，1，），C1（0，0，），∴＝（－1，1，－），＝（－1，0，－），＝（－1，1，0）.设平面A1BC的法向量为n＝（x，y，z），则即令z＝1得x＝－，y＝0，∴n＝（－，0，1）.∴点B1到平面A1BC的距离d＝＝.
9.　解析：以B为原点，BC，BA，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，0，0），C1（1，0，1），D（，，0），A（0，1，0），B1（0，0，1），所以＝（1，0，1），＝（，，0），＝（0，－1，1）.设平面BC1D的法向量为n＝（x，y，z），则即令x＝1，则n＝（1，－1，－1）.因为·n＝0×1＋（－1）×（－1）＋1×（－1）＝0，所以⊥n，又AB1 平面BC1D，所以AB1∥平面BC1D.设直线AB1到平面BC1D的距离为d，因为＝（0，1，0），所以d＝＝＝，所以直线AB1到平面BC1D的距离为.
10.解：（1）证明：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），在Rt△BAD中，AD＝2，BD＝2，∴AB＝2，∴B（2，0，0），C（2，2，0），∴＝（0，0，2），＝（2，2，0），＝（－2，2，0）.∵·＝0，·＝0，∴BD⊥AP，BD⊥AC.又AP∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.
（2）由（1）得＝（2，0，－2），＝（0，2，－2），
设平面PBD的一个法向量为n＝（x，y，z），则
即∴x＝y＝z.
故平面PBD的一个法向量可取为n＝（1，1，1）.
∵＝（2，2，－2），∴点C到平面PBD的距离为d＝＝.
11.A　如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，4），B1（2，2，4），∴＝（－2，2，0），＝（－2，0，4），＝（－2，－2，0）.设平面AD1C的法向量为n＝（x，y，z），则即取z＝1，则x＝y＝2，∴n＝（2，2，1），∴点B1到平面AD1C的距离为＝，故选A.
12.BD　取AD的中点为E，连接PE.因为PA＝PD，所以PE⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD.以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，4，0），C（－2，4，0），D（－2，0，0），P（0，0，2），所以＝（－4，4，0），＝（2，4，－2），所以·＝－8＋16＝8≠0，所以AC不垂直于PB，故A中说法错误；＝（2，0，－2），＝（－2，4，－2），所以点C到直线PA的距离d1＝＝2，故B中说法正确；＝（0，－4，0），设平面PCD的法向量为n＝（x，y，z），则即令z＝1，得x＝－，所以n＝（－，0，1），则点A到平面PDC的距离d2＝＝＝2，又＝，AB 平面PCD，故AB∥平面PCD，所以直线AB到平面PDC的距离为2，故C中说法错误；设平面PBC的法向量为m＝（a，b，c），则即令c＝2，得b＝，所以m＝（0，，2），所以点D到平面PBC的距离d3＝＝＝，故D中说法正确.
13.　解析：以B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系，如图，则B（0，0，0），A（2，0，0），P（2，0，2），C（0，2，0），由M为PC的中点可得M（1，1，1），＝（1，1，1），＝（2，0，0），＝（2，0，2）.设n＝（x，y，z）为平面ABM的一个法向量，则即令z＝－1，可得n＝（0，1，－1），点P到平面MAB的距离d＝＝.
14.解：以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，1），B（1，1，1），C（0，1，1），C1（0，1，0），E，F（1，，1），所以＝（0，1，0），＝（－1，1，－1），＝，＝，＝，＝.
（1）取a＝＝（0，1，0），u＝＝（－1，1，－1），则a2＝1，a·u＝.
所以点B到直线AC1的距离为＝＝.
（2）因为＝＝，所以FC∥EC1，又EC1 平面AEC1，FC 平面AEC1，所以FC∥平面AEC1.所以点F到平面AEC1的距离为直线FC到平面AEC1的距离.设平面AEC1的法向量为n＝（x，y，z），
则所以所以
取z＝1，则x＝1，y＝2.所以n＝（1，2，1）是平面AEC1的一个法向量.
又因为＝，所以点F到平面AEC1的距离为＝＝.
即直线FC到平面AEC1的距离为.
15.B　以底面中心O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，如图，则O（0，0，0），A（1，1，0），B（－1，1，0），P（0，0，2）.设平面PAB的方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0，将A，B，P三点的坐标代入计算得A＝0，B＝－D，C＝－D，所以方程可化为－Dy－Dz＋D＝0，即2y＋z－2＝0，所以d＝＝.
16.解：该几何体的直观图如图所示，分别取AD，BC的中点O，M，连接OM，PM，PO，
∵PO＝1，OM＝2，PM＝＝＝，
∴OP2＋OM2＝PM2，∴OP⊥OM，
又∵PO⊥AD，∴由线面垂直的判定定理得出PO⊥平面ABCD，
以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系.
则A（1，0，0），B（1，2，0），C（－1，2，0），D（－1，0，0），P（0，0，1），
设四棱锥P-ABCD外接球的球心为N（0，1，a），
∵PN＝NA，∴1＋（1－a）2＝1＋1＋a2，解得a＝0.
设平面PBC的法向量为n＝（x，y，z），
＝（1，2，－1），＝（－1，2，－1），＝（0，－1，1），

取z＝2，则n＝（0，1，2），
则四棱锥P-ABCD外接球的球心到平面PBC的距离d＝＝＝＝.
3 / 31.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题
新课程标准解读 核心素养
1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题 数学抽象、数学运算
2.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题 数学抽象、数学运算
3.体会向量方法在解决立体几何问题中的作用 数学运算、直观想象
第1课时　用空间向量研究距离问题
　　几何学中，经常需要计算两个图形间的距离.一个图形内任一点与另一个图形内任一点的距离中的最小值，通常叫作这两个图形的距离.空间中常见的距离有：两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、相互平行的直线之间的距离、相互平行的平面之间的距离等.计算距离是空间度量最基本的问题.
【问题】　如何用向量方法求解这些距离呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　点P到直线l的距离
如图，直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点.设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝（a·u）u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得点P到直线l的距离为PQ＝　　　　　＝　　　　　　.
知识点二　点P到平面α的距离
如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影的长度.因此PQ＝　　　　＝＝　　　　　.
提醒　线面距、面面距都可转化为点面距来求解.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面α内一点B所成向量的长度.（　　）
（2）若直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离.（　　）
（3）若平面α∥平面β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离.（　　）
2.已知直线l过定点A（2，3，1），且n＝（0，1，1）为其一个方向向量，则点P（4，3，2）到直线l的距离为（　　）
A. B.
C. D.
3.（2024·南阳月考）已知平面α的一个法向量n＝（－2，－2，1），点A（－1，3，0）在α内，则P（－2，1，4）到α的距离为（　　）
A.10 B.3 C. D.
　
题型一 点到直线的距离
【例1】　如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为（　　）
A.2　 　B.2 C.　 　D.4
通性通法
用向量法求点到直线的距离的一般步骤
（1）建立空间直角坐标系；
（2）求直线的单位方向向量u；
（3）计算所求点与直线上某一点所构成的向量a；
（4）利用公式d＝计算点到直线的距离.
【跟踪训练】
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若BB1＝2，AB＝2，则点C到直线AB1的距离为　　　　　.
题型二 点到平面的距离
【例2】　（2024·徐州质检）如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.
（1）求｜｜；
（2）求点C到平面AEC1F的距离.
通性通法
用向量法求点面距的步骤
（1）建系：建立恰当的空间直角坐标系；
（2）求点坐标：写出（求出）相关点的坐标；
（3）求向量：求出相关向量的坐标（，平面α的法向量n）；
（4）求距离d＝.
【跟踪训练】
如图所示，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱.若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高.
题型三 线线距、线面距和面面距
【例3】　如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE的距离.
通性通法
　　求直线、平面到它的平行平面的距离，先在直线、平面上找到一点，然后转化为求点到平面的距离，且这个点要适当选取，以求解最简便为准则.
【跟踪训练】
　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离.
1.已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），则点A到直线BC的距离为（　　）
A. B.1
C. D.2
2.（2024·中山月考）已知AB∥平面α，平面α的一个法向量为n＝（1，0，1），平面α内一点C的坐标为（0，0，1），直线AB上的点A的坐标为（1，2，1），则直线AB到平面α的距离为　　　　.
3.如图所示，在直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，求点D到平面ACE的距离.
第1课时　用空间向量研究距离问题
【基础知识·重落实】
知识点一
　
知识点二
　
自我诊断
1.（1）×　（2）√　（3）√
2.A　＝（－2，0，－1），｜｜＝，＝，则点P到直线l的距离d＝＝＝.
3.D　∵＝（－1，－2，4），∴P（－2，1，4）到α的距离为＝＝.
【典型例题·精研析】
【例1】　A　法一（向量法）　
如图，以B为坐标原点，BC，BA，BP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.则B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，4，0），P（0，0，4），故＝（2，0，－4），＝（0，4，－4），所以在上的投影向量的长度d＝＝＝2，故点C到直线PA的距离h＝＝＝2，故选A.
法二（几何法）　
如图，取PA的中点M，连接BM，CM，因为PB⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以PB⊥BC，又因为AB⊥BC，PB∩AB＝B，所以BC⊥平面PAB，PA 平面PAB，所以BC⊥PA，因为M是PA的中点，PB＝AB，所以BM⊥PA，又BC⊥PA，BM∩BC＝B，所以PA⊥平面BCM，又CM 平面BCM，所以CM⊥PA，即CM为点C到直线PA的距离.在等腰直角三角形PAB中，BM＝PB＝2，在Rt△BCM中，CM＝＝＝2.故点C到直线PA的距离为2.故选A.
跟踪训练
　　
解析：设AC的中点为O，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，0），B1（0，，2），C（－1，0，0），＝（－1，，2），＝（－2，0，0），所以点C到直线AB1的距离为＝＝.
【例2】　解：以D为原点，DA，DC，DF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3），＝（0，4，1）.
（1）设F（0，0，a），由＝，得（－2，0，a）＝（－2，0，2），所以a＝2，所以F（0，0，2），＝（－2，－4，2），所以｜｜＝2.
（2）设n＝（x，y，z）为平面AEC1F的法向量，＝（－2，0，2），
由得
取z＝1，则n＝（1，－，1），又＝（0，0，3），
所以点C到平面AEC1F的距离为d＝＝.
跟踪训练
　解：设正四棱柱的高为h（h＞0），建立如图所示的空间直角坐标系，
有A（0，0，h），B1（1，0，0），D1（0，1，0），C（1，1，h），则＝（1，0，－h），＝（0，1，－h），＝（1，1，0），设平面AB1D1的法向量为n＝（x，y，z），
则即
取z＝1，得n＝（h，h，1），所以点C到平面AB1D1的距离为d＝＝＝，
解得h＝2.
故正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高为2.
【例3】　解：∵A1B1∥AB，A1B1 平面ABE，AB 平面ABE，
∴A1B1∥平面ABE，
∴A1B1到平面ABE的距离就是点A1到平面ABE的距离.
如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A1（1，0，2），A（1，0，0），E（0，，1），C（0，，0），过点C作AB的垂线交AB于点F，易得BF＝，
∴B（1，2，0），∴＝（0，2，0），＝（－1，－，1）.
设平面ABE的法向量为n＝（x，y，z）.
则即
∴y＝0，x＝z，不妨取n＝（1，0，1）.
∵＝（0，0，2），
∴点A1到平面ABE的距离d＝＝＝.
∴直线A1B1与平面ABE的距离为.
跟踪训练
　解：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A1（1，0，1），B（1，1，0），D1（0，0，1），＝（0，1，－1），＝（－1，0，－1），＝（－1，0，0）.
设平面A1BD的法向量为n＝（x，y，z）.
则即
令z＝1，得y＝1，x＝－1，
所以n＝（－1，1，1）.
所以点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.
由题意可知平面A1BD∥平面B1CD1，所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.
随堂检测
1.A　∵A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），∴＝（1，0，0），＝（－1，2，－2），∴点A到直线BC的距离d＝＝ ＝ .
2.　解析：因为AB∥平面α，所以直线AB到平面α的距离可转化为点A到平面α的距离，易知＝（1，2，0），所以点A到平面α的距离为＝＝，即直线AB到平面α的距离为.
3.解：取AB的中点O，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，－1，0），E（1，0，0），D（0，－1，2），C（0，1，2），从而＝（0，0，2），＝（1，1，0），＝（0，2，2）.设平面ACE的法向量为n＝（x，y，z），则即令y＝1，则x＝－1，z＝－1，
所以n＝（－1，1，－1）为平面ACE的一个法向量.故点D到平面ACE的距离d＝＝｜｜＝.
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1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题
新课程标准解读 核心素养
1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行
的直线、相互平行的平面间的距离问题 数学抽象、
数学运算
2.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算
问题 数学抽象、
数学运算
3.体会向量方法在解决立体几何问题中的作用 数学运算、
直观想象
第1课时
用空间向量研究距离问题
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　几何学中，经常需要计算两个图形间的距离.一个图形内任一点与
另一个图形内任一点的距离中的最小值，通常叫作这两个图形的距离.
空间中常见的距离有：两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的
距离、相互平行的直线之间的距离、相互平行的平面之间的距离等.计
算距离是空间度量最基本的问题.
【问题】　如何用向量方法求解这些距离呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　点 P 到直线 l 的距离
如图，直线 l 的单位方向向量为 u ， A 是直线 l 上的定点， P 是直线 l 外
一点.设 ＝ a ，则向量 在直线 l 上的投影向量 ＝（ a · u ） u .在
Rt△ APQ 中，由勾股定理，得点 P 到直线 l 的距离为 PQ
＝ 　 　＝ 　 　.
　
　
知识点二　点 P 到平面α的距离
　如图，已知平面α的法向量为 n ， A 是平面α内的定点， P 是平面α外
一点.过点 P 作平面α的垂线 l ，交平面α于点 Q ，则 n 是直线 l 的方向向
量，且点 P 到平面α的距离就是 在直线 l 上的投影 的长度.因此
PQ ＝ 　 　＝ ＝ 　 　.
　
　
提醒　线面距、面面距都可转化为点面距来求解.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）平面α外一点 A 到平面α的距离，就是点 A 与平面α内一点 B 所
成向量 的长度. （　×　）
（2）若直线 l ∥平面α，则直线 l 到平面α的距离就是直线 l 上的点到
平面α的距离. （　√　）
（3）若平面α∥平面β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条
直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离.
（　√　）
×
√
√
2. 已知直线 l 过定点 A （2，3，1），且 n ＝（0，1，1）为其一个方向
向量，则点 P （4，3，2）到直线 l 的距离为（　　）
解析：　 ＝（－2，0，－1），｜ ｜＝ ＝
，则点 P 到直线 l 的距离 d ＝ ＝ ＝
.
3. （2024·南阳月考）已知平面α的一个法向量 n ＝（－2，－2，1），
点 A （－1，3，0）在α内，则 P （－2，1，4）到α的距离为
（　　）
A. 10 B. 3
解析：　∵ ＝（－1，－2，4），∴ P （－2，1，4）到α的距
离为 ＝ ＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 点到直线的距离
【例1】　如图，在四棱锥 P - ABCD 中， PB ⊥平面 ABCD ， PB ＝ AB
＝2 BC ＝4， AB ⊥ BC ，则点 C 到直线 PA 的距离为（　　）
D. 4
解析：　法一（向量法）　如图，以 B 为坐标原
点， BC ， BA ， BP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z
轴，建立空间直角坐标系.则 B （0，0，0）， C
（2，0，0）， A （0，4，0）， P （0，0，4），故
＝（2，0，－4）， ＝（0，4，－4），所以
上的投影向量的长度 d ＝ ＝ ＝2 ，故点 C 到直线 PA 的距离 h ＝ ＝ ＝2 ，故选A.
法二（几何法）　如图，取 PA 的中点 M ，连接 BM ，
CM ，因为 PB ⊥平面 ABCD ， BC 平面 ABCD ，所
以 PB ⊥ BC ，又因为 AB ⊥ BC ， PB ∩ AB ＝ B ，所
以 BC ⊥平面 PAB ， PA 平面 PAB ，所以 BC ⊥ PA ，
因为 M 是 PA 的中点， PB ＝ AB ，所以 BM ⊥ PA ，又 BC ⊥ PA ， BM ∩ BC ＝ B ，所以 PA ⊥平面 BCM ，又 CM 平面 BCM ，所以 CM ⊥ PA ，即 CM 为点 C 到直线 PA 的距离.在等腰直角三角形 PAB 中， BM ＝
PB ＝2 ，在Rt△ BCM 中， CM ＝ ＝ ＝2 .故点 C 到直线 PA 的距离为2 .故选A.
通性通法
用向量法求点到直线的距离的一般步骤
（1）建立空间直角坐标系；
（2）求直线的单位方向向量 u ；
（3）计算所求点与直线上某一点所构成的向量 a ；
（4）利用公式 d ＝ 计算点到直线的距离.
【跟踪训练】
如图，在正三棱柱 ABC - A1 B1 C1中，若 BB1＝2 ， AB ＝2，则点 C 到
直线 AB1的距离为 .
　
解析：设 AC 的中点为 O ，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A
（1，0，0）， B1（0， ，2 ）， C （－1，0，0）， ＝（－
1， ，2 ＝（－2，0，0），所以点 C 到直线 AB1的距离为
＝ ＝ .
题型二 点到平面的距离
【例2】　（2024·徐州质检）如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的
长方体被截面 AEC1 F 所截而得到的，其中 AB ＝4， BC ＝2， CC1＝
3， BE ＝1.
（1）求｜ ｜；
解：以 D 为原点， DA ， DC ， DF 所在直线分
别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示空间直角
坐标系，则 D （0，0，0）， B （2，4，0），
A （2，0，0）， C （0，4，0）， E （2，4，
1）， C1（0，4，3）， ＝（0，4，1）.
（1）设 F （0，0， a ），由 ＝ ，得（－2，0， a ）＝
（－2，0，2），所以 a ＝2，所以 F （0，0，2）， ＝（－
2，－4，2），所以｜ ｜＝2 .
（2）求点 C 到平面 AEC1 F 的距离.
解：设 n ＝（ x ， y ， z ）为平面 AEC1 F 的法向量， ＝（－
2，0，2），
由
取 z ＝1，则 n ＝（1，－ ，1），又 ＝（0，0，3），
所以点 C 到平面 AEC1 F 的距离为 d ＝ ＝ .
通性通法
用向量法求点面距的步骤
（1）建系：建立恰当的空间直角坐标系；
（2）求点坐标：写出（求出）相关点的坐标；
（3）求向量：求出相关向量的坐标（ ，平面α的法向量 n ）；
（4）求距离 d ＝ .
【跟踪训练】
如图所示，已知四棱柱 ABCD - A1 B1 C1 D1是底面边长为1的正四棱柱.
若点 C 到平面 AB1 D1的距离为 ，求正四棱柱 ABCD - A1 B1 C1 D1的高.
解：设正四棱柱的高为 h （ h ＞0），建立如图所示的空间直角坐标
系，有 A （0，0， h ）， B1（1，0，0）， D1（0，1，0）， C （1，1，
h ），则 ＝（1，0，－ h ）， ＝（0，1，－ h ）， ＝（1，
1，0），设平面 AB1 D1的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），
则
取 z ＝1，得 n ＝（ h ， h ，1），所以点 C 到平面
AB1 D1的距离为 d ＝ ＝ ＝ ，解得 h ＝2.
故正四棱柱 ABCD - A1 B1 C1 D1的高为2.
题型三 线线距、线面距和面面距
【例3】　如图，在直棱柱 ABCD - A1 B1 C1 D1中，底面为直角梯形，
AB ∥ CD 且∠ ADC ＝90°， AD ＝1， CD ＝ ， BC ＝2， AA1＝2， E
是 CC1的中点，求直线 A1 B1与平面 ABE 的距离.
解：∵ A1 B1∥ AB ， A1 B1 平面 ABE ，
AB 平面 ABE ，
∴ A1 B1∥平面 ABE ，
∴ A1 B1到平面 ABE 的距离就是点 A1到平面 ABE 的距离.
如图，以 D 为坐标原点，分别以 DA ， DC ， DD1所在直线为 x 轴、 y
轴、 z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz ，则 A1（1，0，2）， A （1，0，
0）， E （0， ，1）， C （0， ，0），过点 C 作 AB 的垂线交 AB
于点 F ，易得 BF ＝ ，
∴ B （1，2 ，0），∴ ＝（0，2 ，0）， ＝（－1，－
，1）.
设平面 ABE 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）.
则
∴ y ＝0， x ＝ z ，不妨取 n ＝（1，0，1）.
∵ ＝（0，0，2），∴点 A1到平面 ABE 的距离 d ＝ ＝ ＝ .∴直线 A1 B1与平面 ABE 的距离为 .
通性通法
　　求直线、平面到它的平行平面的距离，先在直线、平面上找到一
点，然后转化为求点到平面的距离，且这个点要适当选取，以求解最
简便为准则.
【跟踪训练】
　已知正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的棱长为1，求平面 A1 BD 与平面 B1
CD1间的距离.
解：以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 D （0，0，
0）， A1（1，0，1）， B （1，1，0）， D1（0，0，1）， ＝
（0，1，－1）， ＝（－1，0，－1），
＝（－1，0，0）.
设平面 A1 BD 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）.
则
令 z ＝1，得 y ＝1， x ＝－1，所以 n ＝（－1，1，1）.
所以点 D1到平面 A1 BD 的距离 d ＝ ＝ ＝ .
由题意可知平面 A1 BD ∥平面 B1 CD1，所以平面 A1 BD 与平面 B1 CD1间
的距离等于点 D1到平面 A1 BD 的距离，所以平面 A1 BD 与平面 B1 CD1
间的距离为 .
1. 已知 A （0，0，2）， B （1，0，2）， C （0，2，0），则点 A 到直
线 BC 的距离为（　　）
B. 1
解析：　∵ A （0，0，2）， B （1，0，2）， C （0，2，0），
∴ ＝（1，0，0）， ＝（－1，2，－2），∴点 A 到直线 BC
的距离 d ＝ ＝ ＝ .
2. （2024·中山月考）已知 AB ∥平面α，平面α的一个法向量为 n ＝
（1，0，1），平面α内一点 C 的坐标为（0，0，1），直线 AB 上的
点 A 的坐标为（1，2，1），则直线 AB 到平面α的距离为 .
解析：因为 AB ∥平面α，所以直线 AB 到平面α的距离可转化为点 A
到平面α的距离，易知 ＝（1，2，0），所以点 A 到平面α的距离
为 ＝ ＝ ，即直线 AB 到平面α的距离为 .
　
3. 如图所示，在直二面角 D - AB - E 中，四边形 ABCD 是边长为2的正
方形，△ AEB 是等腰直角三角形，其中∠ AEB ＝90°，求点 D 到平
面 ACE 的距离.
解：取 AB 的中点 O ，以 O 为原点，建立如图所示的空间
直角坐标系，则 A （0，－1，0）， E （1，0，0），
D （0，－1，2）， C （0，1，2），从而 ＝
（0，0，2）， ＝（1，1，0）， ＝（0，2，2）.
设平面 ACE 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），
则 令 y ＝1，则 x ＝－1， z ＝－1，所以 n ＝（－1，1，－1）为平面 ACE 的一个法向量.故点 D 到平面 ACE 的距离 d ＝ ＝｜ ｜＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若 O 为坐标原点， ＝（1，1，－2）， ＝（3，2，8），
＝（0，1，0），则线段 AB 的中点 P 到点 C 的距离为（　　）
解析：　∵ ＝ ＋ ）＝ （4，3，6）＝ ＝（0，1，0），∴ ＝ － ＝ ，
∴｜ ｜＝ ＝ .
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2. （2024·滨州月考）已知正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的棱长为2，点 E
是 A1 B1的中点，则点 A 到直线 BE 的距离是（　　）
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解析：　建立空间直角坐标系如图所示，则 ＝
（0，2，0）， ＝（0，1，2），设∠ ABE ＝θ，
则 cos θ＝ ＝ ＝ ， sin θ＝
＝ .故 A 到直线 BE 的距离 d ＝
｜ ｜ sin θ＝2× ＝ .
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3. 若三棱锥 P - ABC 的三条侧棱两两垂直，且满足 PA ＝ PB ＝ PC ＝1，
则点 P 到平面 ABC 的距离是（　　）
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解析：　分别以 PA ， PB ， PC 所在直线为 x 轴，
y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 A
（1，0，0）， B （0，1，0）， C （0，0，1）.可
以求得平面 ABC 的一个法向量为 n ＝（1，1，
1），则 d ＝ ＝ .
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4. （2024·苏州月考）如图，已知长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1， A1 A ＝
5， AB ＝12，则直线 B1 C1到平面 A1 BCD1的距离是（　　）
A. 5 B. 8
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解析：以 D 为坐标原点， 的方向
分别为 x ， y ， z 轴的正方向建立如图所示的空间
直角坐标系，则 C （0，12，0）， D1（0，0，5）.
设 AD ＝ x （ x ＞0），则 B （ x ，12，0），
B1（ x ，12，5）.设平面 A1 BCD1的法向量为 n ＝（ a ， b ， c ），由 n ⊥ ， n ⊥ ，得 n · ＝（ a ， b ， c ）·（－ x ，0，0）＝－ ax ＝0， n · ＝（ a ， b ， c ）·（0，－12，5）＝－12 b ＋5 c ＝0，所以 a ＝0， b ＝ c ，所以可取 n ＝（0，5，12）.又 ＝（0，0，－5），所以点 B1到平面 A1 BCD1的距离为 ＝ .因为 B1 C1∥平面 A1 BCD1，所以 B1 C1到平面 A1 BCD1的距离为 .
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5. （多选）已知平面α的一个法向量为 n ＝（－2，－2，1），点 A
（ x ，3，0）在平面α内，若点 P （－2，1，4）到平面α的距离 d ＝
，则 x 的值可能为（　　）
A. －1 B. －11
C. 1 D. 11
解析：　连接 PA （图略），由题意知 ＝（ x ＋2，2，－4），
∴ d ＝ ＝ ＝ ，解得 x ＝－1
或 x ＝－11.故选A、B.
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6. （多选）如图，四棱柱 ABCD - A1 B1 C1 D1的底面 ABCD 是正方形，
O 为底面中心， A1 O ⊥平面 ABCD ， AB ＝ AA1＝ ，以 O 为原
点， OB ， OC ， OA1所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直
角坐标系，则下列说法正确的是（　　）
B. 平面 OBB1的一个法向量为 n ＝（0，1，－1）
C. A1 C ⊥平面 OBB1
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解析： 　由题意得 O （0，0，0）， B （1，0，0）， C （0，
1，0）， A （0，－1，0）， A1（0，0，1）， B1（1，1，1），所
以 ＝（1，1，1），故A不正确； ＝（1，0，0），设平面
OBB1的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），则 令
y ＝1，得 n ＝（0，1，－1），故B正确； ＝（0，1，－1）＝
n ，所以 A1 C ⊥平面 OBB1，故C正确；连接 OA （图略）， ＝
（0，－1，0），则点 A 到平面 OBB1的距离 d ＝ ＝ ＝
，故D正确，故选B、C、D.
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7. 若两平行平面α，β分别经过坐标原点 O 和点 A （2，1，1），且两
平面的一个法向量 n ＝（－1，0，1），则两平面间的距离
是 .
解析：因为两平行平面α，β分别经过坐标原点 O 和点 A （2，1，
1），且两平面的一个法向量 n ＝（－1，0，1），则 ＝（2，
1，1），所以两平面间的距离 d ＝ ＝ ＝ .
　
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8. 如图，直三棱柱 ABC - A1 B1 C1的侧棱 AA1＝ ，在△ ABC 中，∠
ACB ＝90°， AC ＝ BC ＝1，则点 B1到平面 A1 BC 的距离为 .
　
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解析：如图所示，建立空间直角坐标系，则 A （1，0，0），
B （0，1，0）， C （0，0，0）， A1（1，0， ），
B1（0，1， ）， C1（0，0， ），∴ ＝
（－1，1，－ ＝（－1，0，－
＝（－1，1，0）.设平面 A1 BC 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），
则 令 z ＝1得 x ＝－ ， y ＝0，∴ n ＝（－ ，0，1）.∴点 B1到平面 A1 BC 的距离 d ＝ ＝ .
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9. 在直三棱柱 ABC - A1 B1 C1中，∠ ABC ＝ ， D 是棱 AC 的中点，且
AB ＝ BC ＝ BB1＝1，则直线 AB1到平面 BC1 D 的距离为 .
　
解析：以 B 为原点， BC ， BA ， BB1所在直线分别为
x 轴、 y 轴、 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 B （0，0，0）， C1（1，0，1）， D （ ，0），
A （0，1，0）， B1（0，0，1），所以 ＝
（1，0，1）， ＝（ ，0）， ＝（0，－1，1）.
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设平面 BC1 D 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），则 令 x ＝1，则 n ＝（1，－1，－1）.因为 · n ＝
0×1＋（－1）×（－1）＋1×（－1）＝0，所以 ⊥ n ，又 AB1
平面 BC1 D ，所以 AB1∥平面 BC1 D . 设直线 AB1到平面 BC1 D 的距离
为 d ，因为 ＝（0，1，0），所以 d ＝ ＝ ＝ ，所以
直线 AB1到平面 BC1 D 的距离为 .
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10. （2024·泉州质检）如图，四棱锥 P - ABCD 的底面 ABCD 是矩形，
PA ⊥平面 ABCD ， PA ＝ AD ＝2， BD ＝2 .
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（1）求证： BD ⊥平面 PAC ；
解：证明：以 A 为原点， AB ， AD ， AP 所在直
线分别为 x ， y ， z 轴，建立如图所示的空间直角
坐标系，则 A （0，0，0）， D （0，2，0），
P （0，0，2），在Rt△ BAD 中， AD ＝2， BD ＝2 ，∴ AB ＝2，∴ B （2，0，0）， C （2，2，0），∴ ＝（0，0，2）， ＝（2，2，0）， ＝（－2，2，0）.∵ · ＝0， · ＝0，∴ BD ⊥ AP ， BD ⊥ AC . 又 AP ∩ AC ＝ A ，∴ BD ⊥平面 PAC .
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（2）求点 C 到平面 PBD 的距离.
解：由（1）得 ＝（2，0，－2）， ＝（0，2，－2），
设平面 PBD 的一个法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），则
∴ x ＝ y ＝ z .
故平面 PBD 的一个法向量可取为 n ＝（1，1，1）.
∵ ＝（2，2，－2），∴点 C 到平面 PBD 的距离为 d ＝
＝ .
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11. 在正四棱柱 ABCD - A1 B1 C1 D1中，底面边长为2，侧棱长为4，则点
B1到平面 AD1 C 的距离为（　　）
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解析：如图，以 D 为原点， DA ， DC ， DD1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，则 A （2，0，0）， C （0，2，0）， D1（0，0，4）， B1（2，2，4），∴ ＝（－2，2，0）， ＝（－2，0，4）， ＝（－2，－2，0）.设平面 AD1 C 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），则
取 z ＝1，则 x ＝ y ＝2，∴ n ＝（2，2，1），∴点 B1到
平面 AD1 C 的距离为 ＝ ，故选A.
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12. （多选）如图，在四棱锥 P - ABCD 中，侧面 PAD 是边长为4的正三
角形，底面 ABCD 为正方形，侧面 PAD ⊥底面 ABCD ，则下列说法
正确的有（　　）
A. AC ⊥ PB
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解析：取 AD 的中点为 E ，连接 PE . 因为 PA ＝
PD ，所以 PE ⊥ AD . 因为平面 PAD ⊥平面 ABCD ，
所以 PE ⊥平面 ABCD . 以 E 为原点建立如图所示
的空间直角坐标系，则 A （2，0，0），
B （2，4，0）， C （－2，4，0）， D （－2，0，0）， P （0，0，2
＝（－4，4，0）， ＝（2，4，－2
· ＝－8＋16＝8≠0，所以 AC 不垂直于 PB ，故A中说法错误； ＝（2，0，－2 ＝（－2，4，－2 ），所以点 C 到直线 PA 的距离 d1＝ ＝2 ，故B中说法正确；
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＝（0，－4，0），设平面 PCD 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），则 令 z ＝1，得 x ＝－ ，所以 n ＝（－ ，0，1），则点 A 到平面 PDC 的距离 d2＝ ＝ ＝2 ＝ ， AB 平面 PCD ，故 AB ∥平面 PCD ，所以直线 AB 到平面 PDC 的距离为2 ，故C中说法错误；设平面 PBC 的法向量为 m ＝（ a ， b ， c ），则 令 c ＝2，得 b ＝ ，所以 m ＝（0， ，2），所以点 D 到平面 PBC 的距离 d3＝ ＝ ＝ ，故D中说法正确.
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解析：以 B 为坐标原点， BA ， BC 所在直线分别为 x 轴、
y 轴建立空间直角坐标系，如图，则 B （0，0，0），
A （2，0，0）， P （2，0，2）， C （0，2，0），由 M
为 PC 的中点可得 M （1，1，1）， ＝（1，1，1），
＝（2，0，0）， ＝（2，0，2）.设 n ＝（ x ， y ，
z ）为平面 ABM 的一个法向量，则 令 z ＝－1，可得 n ＝（0，1，－1），点 P 到平面 MAB 的距离 d ＝ ＝ .
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14. 在棱长为1的正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， E 为线段 A1 B1的中点，
F 为线段 AB 的中点.
（1）求点 B 到直线 AC1的距离；
解：以 D1为坐标原点， D1 A1， D1 C1， D1 D 所在
直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空
间直角坐标系，则 A （1，0，1）， B （1，1，1），
C （0，1，1）， C1（0，1，0）， E ，
F ＝（0，1，0），
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＝（－1，1，－1）， ＝ ＝
＝ ＝ .
（1）取 a ＝ ＝（0，1，0）， u ＝ ＝ （－1，
1，－1），则 a2＝1， a · u ＝ .
所以点 B 到直线 AC1的距离为 ＝ ＝ .
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（2）求直线 FC 到平面 AEC1的距离.
解：因为 ＝ ＝ ，所以 FC ∥ EC1，又
EC1 平面 AEC1， FC 平面 AEC1，所以 FC ∥平面 AEC1.所
以点 F 到平面 AEC1的距离为直线 FC 到平面 AEC1的距离.设
平面 AEC1的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），
则
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取 z ＝1，则 x ＝1， y ＝2.所以 n ＝（1，2，1）是平面 AEC1
的一个法向量.
又因为 ＝ ，所以点 F 到平面 AEC1的距离为
＝ ＝ .
即直线 FC 到平面 AEC1的距离为 .
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15. （2024·济南月考）在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方
程为 Ax ＋ By ＋ Cz ＋ D ＝0（ A ， B ， C ， D ∈R，且 A ， B ， C 不
同时为零），点 P （ x0， y0， z0）到平面α的距离 d ＝
，则在底面边长与高都为2的正四棱锥 P -
ABCD 中，底面中心 O 到侧面 PAB 的距离 d ＝（　　）
C. 2 D. 5
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解析：　以底面中心 O 为坐标原点，建立空间
直角坐标系 Oxyz ，如图，则 O （0，0，0）， A
（1，1，0）， B （－1，1，0）， P （0，0，
2）.设平面 PAB 的方程为 Ax ＋ By ＋ Cz ＋ D ＝0，
将 A ， B ， P 三点的坐标代入计算得 A ＝0， B ＝
－ D ， C ＝－ D ，所以方程可化为－ Dy － Dz
＋ D ＝0，即2 y ＋ z －2＝0，所以 d ＝ ＝ .
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16. 如图，在四棱锥 P - ABCD 的平面展开图中，四边形 ABCD 是
边长为2的正方形，△ ADE 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，
∠ HDC ＝∠ FAB ＝90°，求四棱锥 P - ABCD 外接球的球心到平
面 PBC 的距离.
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解：该几何体的直观图如图所示，分别取 AD ， BC
的中点 O ， M ，连接 OM ， PM ， PO ，
∵ PO ＝1， OM ＝2， PM ＝ ＝
＝ ，∴ OP2＋ OM2＝ PM2，∴ OP ⊥ OM ，
又∵ PO ⊥ AD ，∴由线面垂直的判定定理得出 PO ⊥平面 ABCD ，
以点 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系.
则 A （1，0，0）， B （1，2，0）， C （－1，2，0）， D （－1，
0，0）， P （0，0，1），
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设四棱锥 P - ABCD 外接球的球心为 N （0，1， a ），
∵ PN ＝ NA ，∴1＋（1－ a ）2＝1＋1＋ a2，解得 a ＝0.
设平面 PBC 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）， ＝（1，2，－1）， ＝（－1，2，－1）， ＝（0，－1，1）， 取 z ＝2，则 n ＝（0，1，2），则四棱锥 P - ABCD 外接球的球心到平面 PBC 的距离 d ＝ ＝ ＝ ＝ .
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