资源简介

第2课时　用空间向量研究夹角问题
1.设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若＜a，n＞＝，则l与α所成的角为（　　）
A.　　　 B.　　　C.　　　D.
2.已知A（0，1，1），B（2，－1，0），C（3，5，7），D（1，2，4），则直线AB与直线CD所成角的余弦值为（　　）
A. B.－ C. D.－
3.（2024·日照月考）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则直线BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（　　）
A. B. C. D.
4.如图，已知向量m，n分别是平面α和平面β的法向量，若cos＜m，n＞＝－，则二面角α-l-β＝（　　）
A.30° B.60° C.120° D.150°
5.（多选）（2024·青岛月考）已知＝（0，1，1），＝（2，－1，2），BE⊥平面BCD，则（　　）
A.点A到平面BCD的距离为
B.AB与平面BCD所成角的正弦值为
C.点A到平面BCD的距离为
D.AB与平面BCD所成角的正弦值为
6.（多选）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（　　）
A.B1的坐标为（2，2，3）
B.＝（－2，0，3）
C.平面A1BC1的一个法向量为（－3，3，－2）
D.二面角B-A1C1-B1的余弦值为
7.已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为　　　　.
8.已知四边形ABCD，ABEF都是边长为1的正方形，FA⊥平面ABCD，则异面直线AC与BF所成的角等于　　　　.
9.如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为　　　　.
10.（2024·湛江月考）如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E1在A1B1上，F1在C1D1上，且B1E1＝D1F1＝A1B1.
（
1）求向量，的坐标；
（2）求BE1与DF1所成角的余弦值.
11.如图所示，在四面体ABCD中，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（　　）
A. B.
C. D.2
12.（多选）如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠DBC＝120°，则（　　）
A.异面直线AD与BC所成角的大小为90°
B.异面直线AB与CD所成角的余弦值为
C.直线AD与平面BCD所成角的大小为45°
D.直线AD与平面BCD所成角的大小为60°
13.（2024·宿迁月考）已知正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a，D是侧棱CC1的中点，则平面ABC与平面AB1D夹角的余弦值为　　　　.
14.（2024·杭州质检）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，CC1＝3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD＝1，CE＝2，M为棱A1B1的中点.
（1）求证：C1M⊥B1D；
（2）求平面BB1E与平面B1ED夹角的正弦值；
（3）求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值.
15.（2024·信阳月考）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，CC1的中点，P为线段AD上一动点，记α为异面直线PM与D1N所成的角，则α的取值集合是（　　）
A.　　　　　　　 B.
C. D.
16.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在的直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点.
（1）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；
（2）当AB＝3，AD＝2时，求平面AGE与平面ACG夹角的大小.
第2课时　用空间向量研究夹角问题
1.C　线面角的范围是.∵＜a，n＞＝，∴l与法向量所在直线所成角为，∴l与α所成的角为.
2.A　∵＝（2，－2，－1），＝（－2，－3，－3），∴cos＜，＞＝＝＝，∴直线AB，CD所成角的余弦值为.
3.D　如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1），∴＝（－2，0，1），＝（－2，2，0），且易证为平面BB1D1D的一个法向量.设直线BC1与平面BB1D1D所成的角为θ，则sin θ＝｜cos＜，＞｜＝＝＝.∴直线BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.
4.C　设二面角α-l-β为θ，0°≤θ≤180°，由题图可知，cos θ＝cos＜m，n＞＝－，∴θ＝120°.
5.BC　因为BE⊥平面BCD，所以是平面BCD的一个法向量，所以点A到平面BCD的距离为＝，故A错误，C正确；AB与平面BCD所成角的正弦值为＝＝，故B正确，D错误.故选B、C.
6.ABD　因为AB＝AD＝2，AA1＝3，所以A1（2，0，3），B（2，2，0），B1（2，2，3），C1（0，2，3），所以＝（－2，0，3），＝（0，2，－3），故A、B正确.设平面A1BC1的法向量为m＝（x，y，z），所以则令x＝－3，则y＝－3，z＝－2，即平面A1BC1的一个法向量为m＝（－3，－3，－2），故C错误.由几何体知识易得平面A1B1C1的一个法向量为n＝（0，0，1），所以cos＜m，n＞＝＝＝－，结合图形可知二面角B-A1C1-B1的余弦值为，故D正确.故选A、B、D.
7.45°　解析：如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1，则A（0，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1）.于是＝（0，1，0），取PD的中点E，则E（0，，），∴＝（0，，），易知是平面PAB的法向量，是平面PCD的法向量，∴｜cos＜，＞｜＝，∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°.
8.60°　解析：由题意，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），C（1，1，0），F（0，0，1），B（0，1，0）.∴＝（1，1，0），＝（0，－1，1），∴｜｜＝，｜｜＝，·＝－1，∴cos＜，＞＝＝－，∴＜，＞＝120°.又∵异面直线所成的角θ的取值范围为0°＜θ≤90°，∴AC与BF所成的角为60°.
9.　解析：以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，设AB＝a，则OP＝a，＝（－a，0，a），可求得平面PBC的法向量为n＝（－1，1，），所以cos＜，n＞＝＝，设直线OD与平面PBC所成的角为θ，则sin θ＝.
10.解：（1）由题意可得B（1，1，0），E1（1，，1），D（0，0，0），F1（0，，1），
故＝（1，，1）－（1，1，0）＝（0，－，1），
＝（0，，1）－（0，0，0）＝（0，，1）.
（2）由（1）可知＝（0，－，1），＝（0，，1），
∴｜｜＝＝，
｜｜＝＝，
·＝0×0＋（－）×＋1×1＝，
∴cos＜，＞＝＝＝，
故BE1与DF1所成角的余弦值为.
11.B　取BD的中点O，连接OA，OC，由题意知OA，OC，BD两两垂直.如图，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（－1，0，0），C（0，，0），A（0，0，1），∴＝（－1，0，1），＝（－1，－，0），∴cos＜，＞＝＝.∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为.
12.ABC　以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.设AB＝2，则B（0，0，0），A（0，－1，），C（0，2，0），D（，－1，0），所以＝（，0，－），＝（0，2，0），＝（0，1，－），＝（，－3，0）.因为·＝0，所以AD⊥BC，即异面直线AD与BC所成角的大小为90°，故A正确.因为｜cos＜，＞｜＝＝，所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为，故B正确.设直线AD与平面BCD所成的角为θ，θ∈[0°，90°]，因为n＝（0，0，1）是平面BCD的一个法向量，所以sin θ＝｜cos＜，n＞｜＝＝，所以θ＝45°，即直线AD与平面BCD所成角的大小为45°，故C正确，D错误.故选A、B、C.
13.　解析：以点A为坐标原点，以垂直于AC的直线为x轴，以AC所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示.因为ABC-A1B1C1是各棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，所以A（0，0，0），B1（a，，a），D（0，a，），故＝（a，，a），＝（0，a，），设平面AB1D的一个法向量为n＝（x，y，z），则即令y＝1，则z＝－2，x＝，故n＝（，1，－2）.又平面ABC的一个法向量为m＝（0，0，1），所以｜cos＜m，n＞｜＝＝＝，所以平面ABC与平面AB1D夹角的余弦值为.
14.解：以C为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，3），A1（2，0，3），B1（0，2，3），D（2，0，1），E（0，0，2），M（1，1，3）.
（1）证明：＝（1，1，0），＝（2，－2，－2），
∴·＝2－2＋0＝0，∴C1M⊥B1D.
（2）易知＝（2，0，0）是平面BB1E的一个法向量.
＝（0，2，1），＝（2，0，－1），
设n＝（x，y，z）为平面B1ED的法向量，
则即令x＝1，则n＝（1，－1，2）.
设平面BB1E与平面B1ED的夹角为θ.
∴｜cos＜，n＞｜＝＝，∴sin θ＝＝，
∴平面BB1E与平面B1ED夹角的正弦值为.
（3）＝（－2，2，0），
由（2）知，n＝（1，－1，2）为平面DB1E的一个法向量，
∴cos＜，n＞＝＝－，
∴直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为.
15.A　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，P（x，0，0）（0≤x≤1），则M（1，，1），D1（0，0，1），N（0，1，），∴＝（1－x，，1），＝（0，1，－），∴·＝0，∴⊥，∴α＝.
16.解：（1）因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB∩AP＝A，AB，AP 平面ABP，
所以BE⊥平面ABP.
又BP 平面ABP，所以BE⊥BP.
又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°.
（2）以B为坐标原点，BE，BP，BA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意得A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，，3），C（－1，，0），则＝（2，0，－3），＝（1，，0），＝（2，0，3），
设m＝（x1，y1，z1）是平面AGE的法向量.
由得
取z1＝2，可得m＝（3，－，2）.
设n＝（x2，y2，z2）是平面ACG的法向量.
由得
取z2＝－2，可得n＝（3，－，－2），
所以｜cos＜m，n＞｜＝＝.
因此平面AGE与平面ACG夹角的大小为60°.
3 / 3第2课时　用空间向量研究夹角问题
迈克尔·杰克逊出生于印第安纳州加里市，被称为“流行音乐之王”.迈克尔·杰克逊除了他擅长的歌曲，还有他那漂亮的太空步，尤其像谜一样存在的招牌动作45度倾斜舞步，据说迈克尔杰克逊早在1993年就申请了专利，专利名称“摆脱地心引力的幻想”.同学们，45度到底指的是哪个角呢？
【问题】　（1）空间角包括哪些角？
（2）求解空间角常用的方法有哪些？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　利用向量方法求两条异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝｜cos＜u，v＞｜＝　　　＝　　　　.
【想一想】
　两条异面直线所成的角与两条直线的方向向量所成的角是什么关系？
知识点二　利用向量方法求直线与平面所成的角
如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝｜cos ＜u，n＞｜＝　　　　＝　　　　.
提醒　（1）直线与平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的投影所成的角，其范围是；
（2）若＜u，n＞是一个锐角，则θ＝－＜u，n＞；若＜u，n＞是一个钝角，则θ＝＜u，n＞－.
知识点三　利用向量方法求两个平面的夹角
1.如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，把这四个二面角中　　　　　的二面角称为平面α与平面β的夹角.
2.若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝｜cos＜n1，n2＞｜＝　　　　　＝　　　　　.
提醒　（1）两个平面夹角的范围是，二面角的范围是[0，π]，若夹角为，则两个平面垂直；（2）因为两个平面法向量的方向不确定，故＜n1，n2＞∈[0，π]，若＜n1，n2＞为钝角，应取其补角.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）异面直线所成的角与其方向向量的夹角相等.（　　）
（2）若平面α的法向量为u，直线l的方向向量为v，直线l与平面α所成的角为θ，则cos θ＝.（　　）
（3）二面角的大小等于平面与平面的夹角.（　　）
2.若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝（0，－2，－1），b＝（2，0，4），则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于（　　）
A.－ B.
C.－ D.
3.（2024·汕头月考）已知向量m，n分别是直线l的方向向量与平面α的法向量，若cos＜m，n＞＝－，则l与α所成的角为（　　）
A.30° B.60°
C.150° D.120°
4.平面α的一个法向量为n1＝（，－，－），平面β的一个法向量为n2＝（0，，），那么平面α与平面β的夹角等于（　　）
A.120°　　B.30°　　C.60°　　D.150°
　题型一 两异面直线所成的角
【例1】　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，求PB与CD所成的角.
通性通法
求异面直线所成的角的方法
（1）基底法：在一些不适合建立坐标系的题目中，经常采用取定基底的方法，在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则与可分别作为a，b的方向向量，则cos θ＝，根据条件可以把与用基底表示，再进行计算；
（2）坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出各相关点的坐标，进而利用公式求解.利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得更简单.
【跟踪训练】
如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求异面直线BA1和AC所成角的大小.
题型二 直线与平面所成的角
【例2】　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点，求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
通性通法
利用法向量求直线与平面所成角的步骤
（1）建立空间直角坐标系；
（2）求直线的方向向量；
（3）求平面的法向量n；
（4）计算：设线面角为θ，则sin θ＝.
【跟踪训练】
　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F分别为C1C，BC的中点.求A1B与平面AEF所成角的正弦值.
题型三 两平面的夹角（二面角）
【例3】　（2024·泰安月考）如图所示，在三棱锥S-ABC中，O为BC的中点，SO⊥平面ABC，侧面SAB与SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，求平面SAC与平面SBC夹角的余弦值.
通性通法
向量法求两平面夹角的步骤
（1）建立适当的坐标系，写出相应点的坐标；
（2）求出两个平面的法向量n1，n2；
（3）设两平面的夹角为θ，则cos θ＝｜cos＜n1，n2＞｜.
提醒　若要求的是二面角，则根据图形需判断该二面角的平面角是钝角还是锐角.
【跟踪训练】
如图，在正方体ABEF-DCE'F'中，M，N分别为AC，BF的中点，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值.
1.（2024·扬州月考）如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为　　　　.
2.（2024·烟台月考）已知点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，3），则平面ABC与平面Oxy夹角的余弦值为　　　　.
3.如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，A1A⊥平面ABCD，A1A＝A1D1＝1，AB＝AD＝2，则直线C1C与平面ACD1所成角的正弦值为　　　　.
　空间直角坐标系的构建策略
　　利用空间向量的方法解决立体几何中空间元素的位置关系、空间角、空间距离等问题，关键是依托图形建立适当的空间直角坐标系，将直线的方向向量、平面的法向量用坐标表示，通过向量运算完成.如何建立空间直角坐标系，写出点的坐标是前提，下面介绍空间直角坐标系的几种构建策略.
一、利用共顶点且互相垂直的三条棱
【例1】　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2，M，N分别是A1A，A1B1的中点.
（1）求线段BM的长；（2）求证：A1B⊥C1N.
二、利用线面垂直关系
【例2】　如图所示，在几何体S-ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，则平面SAD与平面SAB夹角的余弦值为　　　　.
三、利用面面垂直关系
【例3】　如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点.
（1）证明：OA⊥CD；
（2）若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E-BC-D的大小为45°，求OA.
四、利用底面的高及中心
【例4】　如图，在正四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，点O是底面的中心，OV＝h，且E是VC的中点.若BE⊥VC，则DE的长为　　　　.
【迁移应用】
如图，三棱锥S-ABC的底面ABC和侧面SBC都是等边三角形，且平面SBC⊥平面ABC.若点Q在线段AS上且满足AQ＝AS，则BQ与平面SAC所成角的正弦值为　　　　.
第2课时　用空间向量研究夹角问题
【基础知识·重落实】
知识点一
　
想一想
　提示：相等或互补.
知识点二
　
知识点三
1.不大于90°　2.　
自我诊断
1.（1）×　（2）×　（3）×
2.B　因为a·b＝－4，｜a｜＝，｜b｜＝2，设l1与l2的夹角为θ，所以cos θ＝｜cos＜a，b＞｜＝＝＝.
3.B　设l与α所成的角为θ，则sin θ＝｜cos＜m，n＞｜＝，∴θ＝60°，故选B.
4.B　cos＜n1，n2＞＝＝－，设α与β的夹角为θ，则cos θ＝｜cos＜n1，n2＞｜＝，所以θ＝30°.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：法一　由题意知｜｜＝，｜｜＝，＝＋，＝＋＋.
因为PA⊥平面ABCD，所以·＝·＝·＝0，
因为AB⊥AD，所以·＝0，
因为AB⊥BC，所以·＝0，
所以·＝（＋）·（＋＋）＝＝1.
所以cos＜，＞＝＝＝，
所以＜，＞＝60°，
所以PB与CD所成的角为60°.
法二　由题意得AB，AD，AP两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），
所以＝（－1，0，1），＝（1，－1，0），
cos＜，＞＝＝＝－.
所以＜，＞＝120°，
故PB与CD所成的角为60°.
跟踪训练
　解：以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），A1（a，0，a），所以＝（0，－a，a），＝（－a，a，0）.
所以cos＜，＞＝＝＝－，
所以＜，＞＝120°.
又因为异面直线所成角θ的取值范围为0°＜θ≤90°，所以异面直线BA1和AC所成角的大小为60°.
【例2】　解：取BC的中点E，连接AE.
由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，且AE＝＝＝.
以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
由题意知A（0，0，0），P（0，0，4），M（0，2，0），C（，2，0），N（，1，2），
则＝（0，2，－4），＝（，1，－2），＝（，1，2）.
设n＝（x，y，z）为平面PMN的法向量，
则即
令y＝2，则z＝1，x＝0，则n＝（0，2，1）.
于是｜cos＜n，＞｜＝＝，
所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.
跟踪训练
　解：以A为原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），E（0，2，1），F（1，1，0），所以＝（2，0，－2），＝（0，2，1），＝（1，1，0）.
设平面AEF的一个法向量为n＝（a，b，c），
由得
令a＝1，可得n＝（1，－1，2）.
设A1B与平面AEF所成角为θ，
所以sin θ＝｜cos＜n，＞｜＝＝，
即A1B与平面AEF所成角的正弦值为.
【例3】　解：因为△SAB与△SAC均为等边三角形，所以AB＝AC.连接OA，则OA⊥BC.
以O为坐标原点，OB，OA，OS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设B（1，0，0），则C（－1，0，0），A（0，1，0），S（0，0，1），O（0，0，0）.
所以＝（0，1，－1），＝（－1，0，－1），＝（0，1，0）.
设平面SAC的法向量为n＝（x，y，z），
则
令x＝1，则z＝－1，y＝－1，所以n＝（1，－1，－1）.
易知平面SBC的一个法向量为＝（0，1，0）.
设平面SAC与平面SBC的夹角为θ，
所以cos θ＝｜cos＜，n＞｜＝＝，
所以平面SAC与平面SBC夹角的余弦值为.
跟踪训练
　解：设正方体棱长为1，以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Bxyz，则M（，0，），N（，，0），A（1，0，0），B（0，0，0）.
设平面AMN的法向量为n1＝（x，y，z）.
由于＝（－，0，），＝（－，，0）.
则即
令x＝1，解得y＝1，z＝1，于是n1＝（1，1，1）.
同理可求得平面BMN的一个法向量为n2＝（1，－1，－1），
设平面MNA与平面MNB的夹角为θ，
所以cos θ＝｜cos＜n1，n2＞｜＝＝＝，故所求两平面夹角的余弦值为.
随堂检测
1.　解析：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz（图略）.设AB＝1，则B（1，1，0），A1（1，0，2），A（1，0，0），D1（0，0，2），＝（0，1，－2），＝（－1，0，2），｜cos＜，＞｜＝＝＝，故异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.
2.　解析：由题意得＝（－1，2，0），＝（－1，0，3），设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z）.
由得令x＝2，得y＝1，z＝，则平面ABC的一个法向量为n＝（2，1，），平面Oxy的一个法向量为＝（0，0，3），所以平面ABC与平面Oxy夹角的余弦值为＝.
3.　解析：根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（2，2，0），D1（0，1，1），C1（1，1，1），所以＝（1，1，－1），＝（2，2，0），＝（0，1，1）.
设n＝（x，y，z）为平面ACD1的法向量，
则所以
可取x＝1，则y＝－1，z＝1，所以n＝（1，－1，1）.
设直线C1C与平面ACD1所成的角为θ，
则sin θ＝｜cos＜，n＞｜＝＝＝，
所以直线C1C与平面ACD1所成角的正弦值为.
拓视野　空间直角坐标系的构建策略
【例1】　解：（1）以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示，依题意得B（0，1，0），M（1，0，1），故＝（1，－1，1），所以｜｜＝＝，即线段BM的长为.
（2）证明：依题意得C1（0，0，2），N（，，2），所以＝（，，0），又＝（－1，1，－2），所以·＝－＋＋0＝0，所以⊥，即A1B⊥C1N.
【例2】　
解析：如图，过点D作DC的垂线交SC于点E，以D为原点，以DC，DE，DA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.∵∠SDC＝120°，∴∠SDE＝30°，又SD＝2，∴点S到y轴的距离为1，到x轴的距离为，则有D（0，0，0），S（－1，，0），A（0，0，2），C（2，0，0），B（2，0，1），设平面SAD的法向量为m＝（x，y，z），∵＝（0，0，－2），＝（－1，，－2），则∴取x＝，则y＝1，z＝0，得平面SAD的一个法向量为m＝（，1，0）.又＝（2，0，－1），设平面SAB的法向量为n＝（a，b，c），则即令a＝，则b＝5，c＝2，则n＝（，5，2），∴｜cos＜m，n＞｜＝＝＝，故平面SAD与平面SAB夹角的余弦值是.
【例3】　解：（1）证明：因为AB＝AD，O为BD的中点，所以OA⊥BD，
又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，AO 平面ABD，所以OA⊥平面BCD，
又CD 平面BCD，所以OA⊥CD.
（2）如图所示，以O为坐标原点，OB，OA所在直线分别为x，z轴，在平面BCD内，以过点O且与BD垂直的直线为y轴建立空间直角坐标系.
因为△OCD是边长为1的正三角形，
且O为BD的中点，
所以OC＝OB＝OD＝1.
所以B（1，0，0），D（－1，0，0），C（－，，0）.
设A（0，0，a），a＞0，因为DE＝2EA，所以E（－，0，）.
由题意可知平面BCD的一个法向量为n＝（0，0，1）.
设平面BCE的法向量为m＝（x，y，z），
因为＝（－，，0），＝（－，0，），
所以即
令x＝1，则y＝，z＝，所以m＝（1，，）.
因为二面角E-BC-D的大小为45°，
所以cos 45°＝｜｜＝＝，
得a＝1，即OA＝1.
【例4】　　解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则V（0，0，h），B（1，－1，0），C（1，1，0），E（，，），D（－1，1，0），所以＝（－，，），＝（1，1，－h），
若BE⊥VC，则·＝－＋－＝0，解得h＝（负值舍去），所以＝（，－，），所以｜｜＝＝，即DE的长为.
迁移应用
　　解析：取BC的中点O，连接OA，OS，由条件可得OA，BC，OS两两垂直.以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图.设AB＝2，则AO＝OS＝，则点A（，0，0），B（0，1，0），C（0，－1，0），S（0，0，），Q（，0，），所以＝（，1，0），＝（，0，－），＝（，－1，）.设平面SAC的一个法向量为n＝（x，y，z），则令x＝1，可得n＝（1，－，1）.设BQ与平面SAC所成角为θ，则sin θ＝｜cos＜，n＞｜＝＝＝.
5 / 5(共89张PPT)
第2课时
用空间向量研究夹角问题
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
迈克尔·杰克逊出生于印第安纳州加里市，被称为“流行音乐之王”.
迈克尔·杰克逊除了他擅长的歌曲，还有他那漂亮的太空步，尤其像
谜一样存在的招牌动作45度倾斜舞步，据说迈克尔杰克逊早在1993年
就申请了专利，专利名称“摆脱地心引力的幻想”.
同学们，45度到底指的是哪个角呢？
【问题】　（1）空间角包括哪些角？
　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　 　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　
（2）求解空间角常用的方法有哪些？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　 　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　
　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　 　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　
知识点一　利用向量方法求两条异面直线所成的角
若异面直线 l1， l2所成的角为θ，其方向向量分别是 u ， v ，则 cos θ
＝｜ cos ＜ u ， v ＞｜＝ 　 　＝ 　 　.
　
　
【想一想】
　两条异面直线所成的角与两条直线的方向向量所成的角是什么
关系？
提示：相等或互补.
知识点二　利用向量方法求直线与平面所成的角
如图，直线 AB 与平面α相交于点 B ，设直线 AB 与平面α所成的角为
θ，直线 AB 的方向向量为 u ，平面α的法向量为 n ，则 sin θ＝｜ cos ＜
u ， n ＞｜＝ 　 　＝ 　 　.
　
　
提醒　（1）直线与平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的
投影所成的角，其范围是 ；
（2）若＜ u ， n ＞是一个锐角，则θ＝ －＜ u ， n ＞；若＜ u ， n ＞
是一个钝角，则θ＝＜ u ， n ＞－ .
知识点三　利用向量方法求两个平面的夹角
1. 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，把这四个二面角
中 的二面角称为平面α与平面β的夹角.
不大于90°　
2. 若平面α，β的法向量分别是 n1和 n2，则平面α与平面β的夹角即为向
量 n1和 n2的夹角或其补角，设平面α与平面β的夹角为θ，则 cos θ
＝｜ cos ＜ n1， n2＞｜＝ 　 　＝ 　 　.
提醒　（1）两个平面夹角的范围是 ，二面角的范围是[0，
π]，若夹角为 ，则两个平面垂直；（2）因为两个平面法向量的方
向不确定，故＜ n1， n2＞∈[0，π]，若＜ n1， n2＞为钝角，应取其
补角.
　
　
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）异面直线所成的角与其方向向量的夹角相等. （　×　）
（2）若平面α的法向量为 u ，直线 l 的方向向量为 v ，直线 l 与平面α
所成的角为θ，则 cos θ＝ . （　×　）
（3）二面角的大小等于平面与平面的夹角. （　×　）
×
×
×
2. 若异面直线 l1， l2的方向向量分别是 a ＝（0，－2，－1）， b ＝
（2，0，4），则异面直线 l1与 l2的夹角的余弦值等于（　　）
解析：　因为 a · b ＝－4，｜ a ｜＝ ，｜ b ｜＝2 ，设 l1与 l2
的夹角为θ，所以 cos θ＝｜ cos ＜ a ， b ＞｜＝ ＝ ＝ .
3. （2024·汕头月考）已知向量 m ， n 分别是直线 l 的方向向量与平面α
的法向量，若 cos ＜ m ， n ＞＝－ ，则 l 与α所成的角为（　　）
A. 30° B. 60°
C. 150° D. 120°
解析：　设 l 与α所成的角为θ，则 sin θ＝｜ cos ＜ m ， n ＞｜＝
，∴θ＝60°，故选B.
4. 平面α的一个法向量为 n1＝ ，平面β的一个法向量为
n2＝ ，那么平面α与平面β的夹角等于（　　）
A. 120° B. 30°
C. 60° D. 150°
解析：　 cos ＜ n1， n2＞＝ ＝－ ，设α与β的夹角为
θ，则 cos θ＝｜ cos ＜ n1， n2＞｜＝ ，所以θ＝30°.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 两异面直线所成的角
【例1】　如图所示，在四棱锥 P - ABCD 中， PA ⊥平面 ABCD ， AB ⊥
BC ， AB ⊥ AD ，且 PA ＝ AB ＝ BC ＝ AD ＝1，求 PB 与 CD 所成的角.
解：法一　由题意知｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ＝ ＋
＝ ＋ ＋ .
因为 PA ⊥平面 ABCD ，所以 · ＝ · ＝ · ＝0，
因为 AB ⊥ AD ，所以 · ＝0，
因为 AB ⊥ BC ，所以 · ＝0，
所以 · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ＋ ）＝ ＝1.
所以 cos ＜ ＞＝ ＝ ＝ ，
所以＜ ＞＝60°，
所以 PB 与 CD 所成的角为60°.
法二　由题意得 AB ， AD ， AP 两两垂直，所以建
立如图所示的空间直角坐标系，
则 B （1，0，0）， C （1，1，0）， D （0，2，0），
P （0，0，1），
所以 ＝（－1，0，1）， ＝（1，－1，0），
cos ＜ ＞＝ ＝ ＝－ .
所以＜ ＞＝120°，
故 PB 与 CD 所成的角为60°.
通性通法
求异面直线所成的角的方法
（1）基底法：在一些不适合建立坐标系的题目中，经常采用取定基
底的方法，在两异面直线 a 与 b 上分别取点 A ， B 和 C ， D ，则
与 可分别作为 a ， b 的方向向量，则 cos θ＝ ，
根据条件可以把 与 用基底表示，再进行计算；
（2）坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出各相
关点的坐标，进而利用公式求解.利用坐标法求线线角，避免了
传统找角或作角的步骤，使过程变得更简单.
【跟踪训练】
　如图，在棱长为 a 的正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，求异面直线 BA1和
AC 所成角的大小.
解：以 D 为原点， DA ， DC ， DD1所在的直线分别
为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标
系，则 A （ a ，0，0）， B （ a ， a ，0）， C （0，
a ，0）， A1（ a ，0， a ），所以 ＝（0，－ a ，
a ）， ＝（－ a ， a ，0）.
所以 cos ＜ ＞＝ ＝ ＝－ ，
所以＜ ＞＝120°.
又因为异面直线所成角θ的取值范围为0°＜θ≤90°，
所以异面直线 BA1和 AC 所成角的大小为60°.
题型二 直线与平面所成的角
【例2】　如图所示，在四棱锥 P - ABCD 中， PA ⊥底面 ABCD ， AD
∥ BC ， AB ＝ AD ＝ AC ＝3， PA ＝ BC ＝4， M 为线段 AD 上一点， AM
＝2 MD ， N 为 PC 的中点，求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值.
解：取 BC 的中点 E ，连接 AE .
由 AB ＝ AC 得 AE ⊥ BC ，从而 AE ⊥ AD ，
且 AE ＝ ＝ ＝ .
以 A 为坐标原点， 的方向分别为 x 轴，
y 轴， z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz .
由题意知 A （0，0，0）， P （0，0，4）， M （0，2，0），
C （ ，2，0）， N （ ，1，2），
则 ＝（0，2，－4）， ＝（ ，1，－2）， ＝（ ，1，2）.
设 n ＝（ x ， y ， z ）为平面 PMN 的法向量，
则
令 y ＝2，则 z ＝1， x ＝0，则 n ＝（0，2，1）.
于是｜ cos ＜ n ， ＞｜＝ ＝ ，
所以直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为 .
通性通法
利用法向量求直线与平面所成角的步骤
（1）建立空间直角坐标系；
（2）求直线的方向向量 ；
（3）求平面的法向量 n ；
（4）计算：设线面角为θ，则 sin θ＝ .
【跟踪训练】
　如图，在直三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， AB ＝ AC ＝ AA1＝2，∠
BAC ＝90°， E ， F 分别为 C1 C ， BC 的中点.求 A1 B 与平面 AEF
所成角的正弦值.
解：以 A 为原点，分别以 AB ， AC ， AA1所在直线为 x ， y ， z 轴建立
如图所示的空间直角坐标系，
则 A （0，0，0）， A1（0，0，2）， B （2，0，0）， E （0，2，
1）， F （1，1，0），所以 ＝（2，0，－2）， ＝（0，2，
1）， ＝（1，1，0）.
设平面 AEF 的一个法向量为 n ＝（ a ， b ， c ），
由
令 a ＝1，可得 n ＝（1，－1，2）.
设 A1 B 与平面 AEF 所成角为θ，
所以 sin θ＝｜ cos ＜ n ， ＞｜＝ ＝ ，
即 A1 B 与平面 AEF 所成角的正弦值为 .
题型三 两平面的夹角（二面角）
【例3】　（2024·泰安月考）如图所示，在三棱锥 S - ABC 中， O 为
BC 的中点， SO ⊥平面 ABC ，侧面 SAB 与 SAC 均为等边三角形，∠
BAC ＝90°，求平面 SAC 与平面 SBC 夹角的余弦值.
解：因为△ SAB 与△ SAC 均为等边三角形，所以
AB ＝ AC . 连接 OA ，则 OA ⊥ BC .
以 O 为坐标原点， OB ， OA ， OS 所在直线分别为
x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标
系 Oxyz .设 B （1，0，0），则 C （－1，0，0），
A （0，1，0）， S （0，0，1）， O （0，0，0）.
所以 ＝（0，1，－1）， ＝（－1，0，－1）， ＝（0，1，0）.
设平面 SAC 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），
则
令 x ＝1，则 z ＝－1， y ＝－1，所以 n ＝（1，－1，－1）.
易知平面 SBC 的一个法向量为 ＝（0，1，0）.
设平面 SAC 与平面 SBC 的夹角为θ，
所以 cos θ＝｜ cos ＜ ， n ＞｜＝ ＝ ，
所以平面 SAC 与平面 SBC 夹角的余弦值为 .
通性通法
向量法求两平面夹角的步骤
（1）建立适当的坐标系，写出相应点的坐标；
（2）求出两个平面的法向量 n1， n2；
（3）设两平面的夹角为θ，则 cos θ＝｜ cos ＜ n1， n2＞｜.
提醒　若要求的是二面角，则根据图形需判断该二面角的平面
角是钝角还是锐角.
【跟踪训练】
　如图，在正方体 ABEF -DCE'F'中， M ， N 分别为 AC ， BF 的中点，
求平面 MNA 与平面 MNB 夹角的余弦值.
解：设正方体棱长为1，以 B 为坐标原点， BA ， BE ， BC 所在直线分
别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 Bxyz ，则 M （ ，0， ），
N （ ，0）， A （1，0，0）， B （0，0，0）.
设平面 AMN 的法向量为 n1＝（ x ， y ， z ）.
由于 ＝（－ ，0， ）， ＝（－ ，0）.
则
令 x ＝1，解得 y ＝1， z ＝1，于是 n1＝（1，1，1）.
同理可求得平面 BMN 的一个法向量为 n2＝（1，－1，－1），
设平面 MNA 与平面 MNB 的夹角为θ，
所以 cos θ＝｜ cos ＜ n1， n2＞｜＝ ＝ ＝
.

　
解析：以 D 为坐标原点，分别以 DA ， DC ， DD1所在直线为 x 轴，
y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz （图略）.设 AB ＝1，则 B （1，
1，0）， A1（1，0，2）， A （1，0，0）， D1（0，0，2），
＝（0，1，－2）， ＝（－1，0，2），｜ cos ＜
＞｜＝ ＝ ＝ ，故异面直线 A1 B 与 AD1所成角的
余弦值为 .
2. （2024·烟台月考）已知点 A （1，0，0）， B （0，2，0）， C
（0，0，3），则平面 ABC 与平面 Oxy 夹角的余弦值为 .
解析：由题意得 ＝（－1，2，0）， ＝（－1，0，3），设平
面 ABC 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）.
由 令 x ＝2，得 y ＝1， z ＝ ，则平
面 ABC 的一个法向量为 n ＝（2，1， ），平面 Oxy 的一个法向量
为 ＝（0，0，3），所以平面 ABC 与平面 Oxy 夹角的余弦值为
＝ .
　
3. 如图，在四棱台 ABCD - A1 B1 C1 D1中，底面 ABCD 为矩形， A1 A ⊥
平面 ABCD ， A1 A ＝ A1 D1＝1， AB ＝ AD ＝2，则直线 C1 C 与平面
ACD1所成角的正弦值为 .
　
解析：根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A （0，0，
0）， C （2，2，0）， D1（0，1，1）， C1（1，1，1），所以
＝（1，1，－1）， ＝（2，2，0）， ＝（0，1，1）.
设 n ＝（ x ， y ， z ）为平面 ACD1的法向量，
则
可取 x ＝1，则 y ＝－1， z ＝1，所以 n ＝
（1，－1，1）.
设直线 C1 C 与平面 ACD1所成的角为θ，
则 sin θ＝｜ cos ＜ ， n ＞｜＝ ＝ ＝ ，
所以直线 C1 C 与平面 ACD1所成角的正弦值为 .
　空间直角坐标系的构建策略
　　利用空间向量的方法解决立体几何中空间元素的位置关系、空间
角、空间距离等问题，关键是依托图形建立适当的空间直角坐标系，
将直线的方向向量、平面的法向量用坐标表示，通过向量运算完成.如
何建立空间直角坐标系，写出点的坐标是前提，下面介绍空间直角坐
标系的几种构建策略.
一、利用共顶点且互相垂直的三条棱
【例1】　如图，在直三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， CA ＝ CB ＝1，∠ BCA ＝90°， AA1＝2， M ， N 分别是 A1 A ， A1 B1的中点.
（1）求线段 BM 的长；
解： 以 C 为原点，建立空间直角坐标系 Cxyz ，
如图所示，依题意得 B （0，1，0）， M （1，0，
1），故 ＝（1，－1，1），所以｜ ｜＝
＝ ，即线段 BM 的长为 .
（2）求证： A1 B ⊥ C1 N .
解：证明：依题意得 C1（0，0，2）， N （ ，2），所以
＝（ ，0），又 ＝（－1，1，－2），所以
· ＝－ ＋ ＋0＝0，所以 ⊥ ，即 A1 B ⊥ C1 N .
二、利用线面垂直关系
【例2】　如图所示，在几何体 S - ABCD 中， AD ⊥平面 SCD ， BC ⊥
平面 SCD ， AD ＝ DC ＝2， BC ＝1，又 SD ＝2，∠ SDC ＝120°，则平
面 SAD 与平面 SAB 夹角的余弦值为 .
　
解析：如图，过点 D 作 DC 的垂线交 SC 于点 E ，
以 D 为原点，以 DC ， DE ， DA 所在直线分别为
x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系.∵∠ SDC ＝120°，
∴∠ SDE ＝30°，又 SD ＝2，∴点 S 到 y 轴的距离为
1，到 x 轴的距离为 ，则有 D （0，0，0），
S （－1， ，0）， A （0，0，2）， C （2，0，0）， B （2，0，1），设平面 SAD 的法向量为 m ＝（ x ， y ， z ），∵ ＝（0，0，－2）， ＝（－1， ，－2），则 ∴
取 x ＝ ，则 y ＝1， z ＝0，得平面 SAD 的一个法向量为 m ＝（ ，1，0）.又 ＝（2，0，－1），设平面 SAB 的法向量为 n ＝（ a ， b ， c ），则 令 a ＝ ，则 b ＝5， c ＝2 ，则 n ＝（ ，5，2 ），∴｜ cos ＜ m ， n ＞｜＝
＝ ＝ ，故平面 SAD 与平面 SAB 夹角的余弦值是 .
三、利用面面垂直关系
【例3】　如图，在三棱锥 A - BCD 中，平面 ABD ⊥平面 BCD ， AB ＝ AD ， O 为 BD 的中点.
（1）证明： OA ⊥ CD ；
解： 证明：因为 AB ＝ AD ， O 为 BD 的中点，所以 OA ⊥ BD ，
又平面 ABD ⊥平面 BCD ，且平面 ABD ∩平面 BCD ＝ BD ， AO
平面 ABD ，所以 OA ⊥平面 BCD ，
又 CD 平面 BCD ，所以 OA ⊥ CD .
（2）若△ OCD 是边长为1的等边三角形，点 E 在棱 AD 上， DE ＝2
EA ，且二面角 E - BC - D 的大小为45°，求 OA .
解： 如图所示，以 O 为坐标原点， OB ， OA 所在直线分别为
x ， z 轴，在平面 BCD 内，以过点 O 且与 BD 垂直的直线为 y 轴建
立空间直角坐标系.
因为△ OCD 是边长为1的正三角形，
且 O 为 BD 的中点，
所以 OC ＝ OB ＝ OD ＝1.
所以 B （1，0，0）， D （－1，0，0）， C （－ ，0）.
设 A （0，0， a ）， a ＞0，因为 DE ＝2 EA ，所以 E （－ ，0， ）.
由题意可知平面 BCD 的一个法向量为 n ＝（0，0，1）.
设平面 BCE 的法向量为 m ＝（ x ， y ， z ），
因为 ＝（－ ，0）， ＝（－ ，0， ），
所以
令 x ＝1，则 y ＝ ， z ＝ ，所以 m ＝（1， ）.
因为二面角 E - BC - D 的大小为45°，
所以 cos 45°＝｜ ｜＝ ＝ ，得 a ＝1，即 OA ＝1.

　
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则 V （0，
0， h ）， B （1，－1，0）， C （1，1，0）， E
（ ）， D （－1，1，0），所以 ＝（－
）， ＝（1，1，－ h ），
若 BE ⊥ VC ，则 · ＝－ ＋ － ＝0，解得 h ＝
＝（ ，－ ），所以｜ ｜＝ ＝ ，即 DE 的长为 .
【迁移应用】
　如图，三棱锥 S - ABC 的底面 ABC 和侧面 SBC 都是等边三角形，且
平面 SBC ⊥平面 ABC . 若点 Q 在线段 AS 上且满足 AQ ＝ AS ，则 BQ 与
平面 SAC 所成角的正弦值为 .
　
解析：取 BC 的中点 O ，连接 OA ， OS ，由条
件可得 OA ， BC ， OS 两两垂直.以 O 为坐标原
点， 的方向分别为 x 轴， y 轴， z
轴的正方向建立空间直角坐标系，如图.设 AB
＝2，则 AO ＝ OS ＝ ，则点 A （ ，0，
0）， B （0，1，0）， C （0，－1，0）， S
（0，0， ）， Q （ ，0， ），所以 ＝（ ，1，0）， ＝（ ，0，－ ＝（ ，－1， ）.设平面 SAC 的一个法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），
则 令 x ＝1，可得 n ＝（1，－ ，1）.设 BQ 与平面 SAC 所成角为θ，则 sin θ＝｜ cos ＜ ， n ＞｜＝ ＝ ＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 设直线 l 与平面α相交，且 l 的方向向量为 a ，α的法向量为 n ，若＜
a ， n ＞＝ ，则 l 与α所成的角为（　　）
解析：　线面角的范围是 .∵＜ a ， n ＞＝ ，∴ l 与法向
量所在直线所成角为 ，∴ l 与α所成的角为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 已知 A （0，1，1）， B （2，－1，0）， C （3，5，7）， D （1，
2，4），则直线 AB 与直线 CD 所成角的余弦值为（　　）
解析：　∵ ＝（2，－2，－1）， ＝（－2，－3，－3），
∴ cos ＜ ＞＝ ＝ ＝ ，∴直线 AB ， CD
所成角的余弦值为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. （2024·日照月考）如图，在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AB ＝ BC
＝2， AA1＝1，则直线 BC1与平面 BB1 D1 D 所成角的正弦值为
（　　）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：如图，以点 D 为坐标原点， DA ， DC ， DD1所
在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系，
则 A （2，0，0）， B （2，2，0）， C （0，2，0），
C1（0，2，1），∴ ＝（－2，0，1）， ＝（－2，2，0），且易证 为平面 BB1 D1 D 的一个法向量.设直线 BC1与平面 BB1 D1 D 所成的角为θ，则 sin θ＝｜ cos ＜ ＞｜＝ ＝ ＝ .∴直线 BC1与平面 BB1 D1 D 所成角的正弦值为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4. 如图，已知向量 m ， n 分别是平面α和平面β的法向量，若 cos ＜
m ， n ＞＝－ ，则二面角α- l -β＝（　　）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
解析：　设二面角α- l -β为θ，0°≤θ≤180°，由题图可知， cos θ＝
cos ＜ m ， n ＞＝－ ，∴θ＝120°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5. （多选）（2024·青岛月考）已知 ＝（0，1，1）， ＝（2，
－1，2）， BE ⊥平面 BCD ，则（　　）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：　因为 BE ⊥平面 BCD ，所以 是平面 BCD 的一个法向
量，所以点 A 到平面 BCD 的距离为 ＝ ，故A错误，C正
确； AB 与平面 BCD 所成角的正弦值为 ＝ ＝ ，故B
正确，D错误.故选B、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6. （多选）在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AB ＝ AD ＝2， AA1＝3，
以 D 为原点， ， ， 的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正方
向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（　　）
A. B1的坐标为（2，2，3）
C. 平面 A1 BC1的一个法向量为（－3，3，－2）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：　因为 AB ＝ AD ＝2， AA1＝3，所以 A1（2，0，3）， B
（2，2，0）， B1（2，2，3）， C1（0，2，3），所以 ＝（－
2，0，3）， ＝（0，2，－3），故A、B正确.设平面 A1 BC1的
法向量为 m ＝（ x ， y ， z ），所以
令 x ＝－3，则 y ＝－3， z ＝－2，即平面 A1 BC1的
一个法向量为 m ＝（－3，－3，－2），故C错误.由几何体知识易
得平面 A1 B1 C1的一个法向量为 n ＝（0，0，1），所以 cos ＜ m ， n
＞＝ ＝ ＝－ ，结合图形可知二面角 B - A1 C1- B1的
余弦值为 ，故D正确.故选A、B、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. 已知点 P 是正方形 ABCD 所在平面外一点， PA ⊥平面 ABCD ，若 PA
＝ AB ，则平面 PAB 与平面 PCD 的夹角为 .
解析：如图所示，建立空间直角坐标系，设 PA
＝ AB ＝1，则 A （0，0，0）， D （0，1，
0）， P （0，0，1）.于是 ＝（0，1，0），
取 PD 的中点 E ，则 E （0， ），∴ ＝（0， ），易知 是平面 PAB 的法向量， 是平面 PCD 的法向量，∴｜ cos ＜
＞｜＝ ，∴平面 PAB 与平面 PCD 的夹角为45°.
45°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8. 已知四边形 ABCD ， ABEF 都是边长为1的正方形， FA ⊥平面
ABCD ，则异面直线 AC 与 BF 所成的角等于 .
解析：由题意，建立如图所示的空间直角坐标系
Axyz ，则 A （0，0，0）， C （1，1，0）， F （0，
0，1）， B （0，1，0）.∴ ＝（1，1，0），
＝（0，－1，1），∴｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ · ＝－1，∴ cos ＜ ＞＝ ＝－ ，∴＜ ＞＝120°.又∵异面直线所成的角θ的取值范围为0°＜θ≤90°，∴ AC 与 BF 所成的角为60°.
60°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9. 如图，在三棱锥 P - ABC 中， AB ⊥ BC ， AB ＝ BC ＝ PA ，点 O ， D
分别是 AC ， PC 的中点， OP ⊥底面 ABC ，则直线 OD 与平面 PBC
所成角的正弦值为 .
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：以 O 为原点， OA ， OB ， OP 所在直线分别为 x
轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，如图，设 AB ＝
a ，则 OP ＝ a ， ＝（－ a ，0， a ），可求
得平面 PBC 的法向量为 n ＝（－1，1， ），所以 cos ＜ ， n ＞＝ ＝ ，设直线 OD 与平面 PBC 所成的角为θ，则 sin θ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10. （2024·湛江月考）如图，在空间直角坐标系中，正方体 ABCD - A1
B1 C1 D1的棱长为1， E1在 A1 B1上， F1在 C1 D1上，且 B1 E1＝ D1 F1＝
A1 B1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（1）求向量 ， 的坐标；
解： 由题意可得 B （1，1，0）， E1（1， ，1）， D （0，
0，0）， F1（0， ，1），
故 ＝（1， ，1）－（1，1，0）＝（0，－ ，1），
＝（0， ，1）－（0，0，0）＝（0， ，1）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）求 BE1与 DF1所成角的余弦值.
解：由（1）可知 ＝（0，－ ，1）， ＝（0， ，1），
∴｜ ｜＝ ＝ ，
｜ ｜＝ ＝ ，
· ＝0×0＋（－ ）× ＋1×1＝ ，
∴ cos ＜ ＞＝ ＝ ＝ ，
故 BE1与 DF1所成角的余弦值为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11. 如图所示，在四面体 ABCD 中， CA ＝ CB ＝ CD ＝ BD ＝2， AB ＝
AD ＝ .则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为（　　）
D. 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：　取 BD 的中点 O ，连接 OA ， OC ，由
题意知 OA ， OC ， BD 两两垂直.如图，以 O 为坐
标原点建立空间直角坐标系，则 B （1，0，
0）， D （－1，0，0）， C （0， ，0）， A
（0，0，1），∴ ＝（－1，0，1）， ＝
（－1，－ ，0），∴ cos ＜ ＞＝ ＝ .∴异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12. （多选）如图，△ ABC 和△ DBC 所在平面垂直，且 AB ＝ BC ＝
BD ，∠ CBA ＝∠ DBC ＝120°，则（　　）
A. 异面直线 AD 与 BC 所成角的大小为90°
C. 直线 AD 与平面 BCD 所成角的大小为45°
D. 直线 AD 与平面 BCD 所成角的大小为60°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：　以 B 为坐标原点，建立如图所示的
空间直角坐标系 Bxyz .设 AB ＝2，则 B （0，0，0），
A （0，－1， ）， C （0，2，0）， D （ ，
－1，0），所以 ＝（ ，0，－ ＝
（0，2，0）， ＝（0，1，－ ＝（ ，－3，0）.因为 · ＝0，所以 AD ⊥ BC ，即异面直线 AD 与 BC 所成角的大小为90°，故A正确.因为｜ cos ＜ ＞｜＝ ＝ ，所以异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 ，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
故B正确.设直线 AD 与平面 BCD 所成的角为θ，
θ∈[0°，90°]，因为 n ＝（0，0，1）是平面
BCD 的一个法向量，所以 sin θ＝｜ cos ＜ ，
n ＞｜＝ ＝ ，所以θ＝45°，即直线
AD 与平面 BCD 所成角的大小为45°，故C正确，
D错误.故选A、B、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13. （2024·宿迁月考）已知正三棱柱 ABC - A1 B1 C1的棱长均为 a ， D 是
侧棱 CC1的中点，则平面 ABC 与平面 AB1 D 夹角的余弦值
为 .
　
解析：以点 A 为坐标原点，以垂直于 AC 的直线为
x 轴，以 AC 所在直线为 y 轴，以 AA1所在直线为
z 轴，建立空间直角坐标系如图所示.因为 ABC –
A1 B1 C1是各棱长均等于 a 的正三棱柱， D 是侧棱
CC1的中点，所以 A （0，0，0）， B1（ a ， ， a ），
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
D （0， a ， ），故 ＝（ a ， ， a ）， ＝（0， a ， ），设平面 AB1 D 的一个法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），则 令 y ＝1，则 z ＝－2， x ＝ ，故 n ＝
（ ，1，－2）.又平面 ABC 的一个法向量为 m ＝（0，0，1），
所以｜ cos ＜ m ， n ＞｜＝ ＝ ＝ ，所以平
面 ABC 与平面 AB1 D 夹角的余弦值为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14. （2024·杭州质检）如图，在三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， CC1⊥平面
ABC ， AC ⊥ BC ， AC ＝ BC ＝2， CC1＝3，点 D ， E 分别在棱 AA1
和棱 CC1上，且 AD ＝1， CE ＝2， M 为棱 A1 B1的中点.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（1）求证： C1 M ⊥ B1 D ；
解：以 C 为原点， 的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
则 C （0，0，0）， A （2，0，0）， B （0，2，0），
C1（0，0，3）， A1（2，0，3）， B1（0，2，3）， D （2，0，1）， E （0，0，2）， M （1，1，3）.
（1）证明： ＝（1，1，0）， ＝（2，－2，－2），
∴ · ＝2－2＋0＝0，∴ C1 M ⊥ B1 D .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）求平面 BB1 E 与平面 B1 ED 夹角的正弦值；
解：易知 ＝（2，0，0）是平面 BB1 E 的一个法向量.
＝（0，2，1）， ＝（2，0，－1），
设 n ＝（ x ， y ， z ）为平面 B1 ED 的法向量，
则 令 x ＝1，则 n ＝（1，－1，2）.
设平面 BB1 E 与平面 B1 ED 的夹角为θ.
∴｜ cos ＜ ， n ＞｜＝ ＝ ，∴ sin θ＝
＝ ，∴平面 BB1 E 与平面 B1 ED 夹角的正弦值为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（3）求直线 AB 与平面 DB1 E 所成角的正弦值.
解： ＝（－2，2，0），
由（2）知， n ＝（1，－1，2）为平面 DB1 E 的一个法向量，
∴ cos ＜ ， n ＞＝ ＝－ ，
∴直线 AB 与平面 DB1 E 所成角的正弦值为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15. （2024·信阳月考）如图，在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， M ， N
分别为 A1 B1， CC1的中点， P 为线段 AD 上一动点，记α为异面直
线 PM 与 D1 N 所成的角，则α的取值集合是（　　）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：　以 D 为坐标原点， DA ， DC ， DD1
所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立如图所
示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， P
（ x ，0，0）（0≤ x ≤1），则 M （1， ，
1）， D1（0，0，1）， N （0，1， ），∴
＝（1－ x ， ，1）， ＝（0，1，－ ），
∴ · ＝0，∴ ⊥ ，∴α＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16. 如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCD （及其内部）以 AB 边所在的直线为旋转轴旋转120°得到的， G 是 的中点.
（1）设 P 是 上的一点，且 AP ⊥ BE ，求∠ CBP 的大小；
解： 因为 AP ⊥ BE ， AB ⊥ BE ， AB ∩ AP ＝ A ， AB ， AP
平面 ABP ，所以 BE ⊥平面 ABP .
又 BP 平面 ABP ，所以 BE ⊥ BP .
又∠ EBC ＝120°，所以∠ CBP ＝30°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）当 AB ＝3， AD ＝2时，求平面 AGE 与平面 ACG 夹角的大小.
解： 以 B 为坐标原点， BE ， BP ， BA 所在的直线分
别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立如图所示的空间直角坐
标系.由题意得 A （0，0，3）， E （2，0，0），
G （1， ，3）， C （－1， ，0），则 ＝
（2，0，－3）， ＝（1， ，0）， ＝
（2，0，3），设 m ＝（ x1， y1， z1）是平面 AGE 的法向量.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由
取 z1＝2，可得 m ＝（3，－ ，2）.
设 n ＝（ x2， y2， z2）是平面 ACG 的法向量.
由
取 z2＝－2，可得 n ＝（3，－ ，－2），
所以｜ cos ＜ m ， n ＞｜＝ ＝ .
因此平面 AGE 与平面 ACG 夹角的大小为60°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
谢 谢 观 看！

展开更多......

收起↑