资源简介

　　
一、空间向量的概念及运算
　　空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，可以通过类比进行学习.
【例1】　（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，P分别是AA1，C1D1的中点，则＝（　　）
A.a＋b＋c B.a＋c
C.a＋b＋c D.a＋b＋c
（2）（2024·杭州月考）已知不共面的三个向量a，b，c都是单位向量，且夹角都是，则向量a－b－c和b的夹角为（　　）
A. B.
C. D.
（3）已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足＝＋＋，则点M　　　　（填“∈”或“ ”）平面ABC.
反思感悟
1.空间向量数量积的3个应用
（1）求夹角：设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角；
（2）求长度（距离）：利用公式｜a｜2＝a·a，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；
（3）解决垂直问题：利用a⊥b a·b＝0（a≠0，b≠0），可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.
2.证明三点共线和空间四点共面的方法比较
二、利用空间向量证明线面位置关系
　　用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明.
【例2】　如图所示，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点，求证：
（1）MN∥平面PAD；
（2）平面PMC⊥平面PDC.
反思感悟
利用空间向量证明平行、垂直的一般步骤
三、利用空间向量求距离
　　能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题.
【例3】　如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点.
（1）求点N到直线AB的距离；（2）求点C1到平面ABN的距离.
反思感悟
1.向量法求点到平面的距离，一般转化为平面外一点与平面内一点构成的向量在平面的法向量方向上的投影向量的长度问题.
2.求直线到平面、平面到平面的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以易于求解为准则.
四、利用空间向量求空间角
空间中三种角的计算公式
（1）两条异面直线所成的角θ：cos θ＝｜cos＜u，v＞｜＝｜｜＝（其中u，v分别是两异面直线的方向向量）；
（2）直线和平面所成的角θ：sin θ＝｜cos＜u，n＞｜＝｜｜＝（其中u是直线的方向向量，n是平面的法向量）；
（3）两个平面的夹角θ：cos θ＝｜cos＜n1，n2＞｜＝｜｜＝（其中n1，n2分别是两平面的法向量）.
【例4】　（2024·九省联考）如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，AA1＝2，∠C1CB＝∠C1CD，∠C1CO＝45°.
（1）证明：C1O⊥平面ABCD；
（2）求二面角B-AA1-D的正弦值.
反思感悟
用向量法求空间角应注意的问题
（1）两异面直线所成角的范围为0°＜θ≤90°，两异面直线的方向向量所成角的范围为0°＜θ＜180°；
（2）要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a夹角的余弦值cos＜n，a＞，而θ＝＜n，a＞－或－＜n，a＞；
（3）平面与平面的夹角与二面角的范围不同，若求二面角大小，需先判断二面角是锐角还是钝角.
章末复习与总结
【例1】　（1）C　（2）C　（3）∈
解析：（1）如图，由题意，M，P分别是AA1，C1D1的中点，∴＝＋＝＋（＋）＝＋（＋）＝a＋b＋c.故选C.
（2）由题意，得｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，a·b＝a·c＝b·c＝，∴｜a－b－c｜＝＝
＝，（a－b－c）·b＝a·b－b2－b·c＝－1.设向量a－b－c和b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，又θ∈[0，π]，∴θ＝.
（3）＝＋＋＝＋＋（－）＝＋＋，∵＋＋＝1，∴M，A，B，C四点共面，即点M∈平面ABC.
【例2】　证明：（1）由题意得AB，AD，AP两两垂直.如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz.
设PA＝AD＝a，AB＝b，则有P（0，0，a），A（0，0，0），D（0，a，0），C（b，a，0），B（b，0，0），
因为M，N分别为AB，PC的中点，
所以M（，0，0），N（，，）.
所以＝（0，，），＝（0，0，a），＝（0，a，0）.
所以＝＋，所以，，共面，
又因为MN 平面PAD，所以MN∥平面PAD.
（2）由（1）可知＝（b，a，－a），＝（，0，－a），
＝（0，a，－a）.
设平面PMC的法向量为n1＝（x1，y1，z1），
则
所以令z1＝b，则n1＝（2a，－b，b）.
设平面PDC的法向量为n2＝（x2，y2，z2），
则所以
令z2＝1，则n2＝（0，1，1）.
因为n1·n2＝0－b＋b＝0，所以n1⊥n2.
所以平面PMC⊥平面PDC.
【例3】　解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），C1（0，4，4），A1（0，0，4），∵N是CC1的中点，∴N（0，4，2）.
（1）＝（0，4，2），＝（2，2，0），则｜｜＝2，｜｜＝4，·＝8.
设点N到直线AB的距离为d1，
则d1＝＝＝4.
（2）设平面ABN的一个法向量为n＝（x，y，z），由n⊥，n⊥，得
令z＝2，则y＝－1，x＝，即n＝（，－1，2）.
易知＝（0，0，－2），设点C1到平面ABN的距离为d2，
则d2＝｜｜＝＝.
【例4】　解：（1）证明：＝＋＝－（＋），
·＝［－（＋）］·（－）
＝（·－·）－（－）＝0，∴C1O⊥BD，
而CC1＝2，CO＝，∠C1CO＝45°，∴C1O＝，∴C1O2＋OC2＝C，∴C1O⊥OC，
∵BD∩OC＝O，BD，AC 平面ABCD，∴C1O⊥平面ABCD.
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
∴B（，0，0），A（0，－，0），C1（0，0，），C（0，，0），A1（0，－2，），D（－，0，0），
设平面AA1B与平面AA1D的一个法向量分别为n1＝（x1，y1，z1），n2＝（x2，y2，z2），
又＝（0，－，），＝（，，0），＝（－，，0），
∴ n1＝（1，－1，－1），
n2＝（1，1，1），
设二面角B-AA1-D的平面角为θ，
∴｜cos θ｜＝＝＝，∴sin θ＝.故二面角B-AA1-D的正弦值为.
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章末复习与总结
一、空间向量的概念及运算
　　空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面
向量是相同的，可以通过类比进行学习.
【例1】　（1）在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，设 ＝ a ，
＝ b ， ＝ c ， M ， P 分别是 AA1， C1 D1的中点，则 ＝
（　C　）
C
解析： 如图，由题意， M ， P 分别是 AA1， C1 D1的
中点，∴ ＝ ＋ ＝ ＋（ ＋
）＝ ＋（ ＋ ）＝ a ＋ b ＋ c .故选C.
（2）（2024·杭州月考）已知不共面的三个向量 a ， b ， c 都是单位向
量，且夹角都是 ，则向量 a － b － c 和 b 的夹角为（　C　）
C
解析：由题意，得｜ a ｜＝｜ b ｜＝｜ c ｜＝1， a · b ＝ a · c ＝ b · c
＝ ，∴｜ a － b － c ｜＝ ＝
＝ ，（ a － b － c ）· b ＝
a · b － b2－ b · c ＝－1.设向量 a － b － c 和 b 的夹角为θ，则 cos θ＝
＝ ＝－ ，又θ∈[0，π]，∴θ＝ .
（3）已知 A ， B ， C 三点不共线，点 O 为平面 ABC 外任意一点，若点
M 满足 ＝ ＋ ＋ ，则点 M （填“∈”或
“ ”）平面 ABC .
解析： ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ －
）＝ ＋ ＋ ，∵ ＋ ＋ ＝1，∴ M ， A ， B ，
C 四点共面，即点 M ∈平面 ABC .
∈　
反思感悟
1. 空间向量数量积的3个应用
（1）求夹角：设向量 a ， b 的夹角为θ，则 cos θ＝ ，进而
可求两异面直线所成的角；
（2）求长度（距离）：利用公式｜ a ｜2＝ a · a ，可将线段长度的
计算问题转化为向量数量积的计算问题；
（3）解决垂直问题：利用 a ⊥ b a · b ＝0（ a ≠0， b ≠0），可将
垂直问题转化为向量数量积的计算问题.
2. 证明三点共线和空间四点共面的方法比较
二、利用空间向量证明线面位置关系
　　用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂
直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思
想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直
进行证明.
【例2】　如图所示，已知 PA ⊥平面 ABCD ，
ABCD 为矩形， PA ＝ AD ， M ， N 分别为 AB ，
PC 的中点，求证：
（1） MN ∥平面 PAD ；
证明： 由题意得 AB ， AD ， AP 两两垂直.
如图所示，以 A 为坐标原点， AB ， AD ， AP 所
在的直线分别为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐
标系 A - xyz .
设 PA ＝ AD ＝ a ， AB ＝ b ，则有 P （0，0，a ）， A （0，0，0）， D （0， a ，0）， C （ b ， a ，0）， B （ b ，0，0），
因为 M ， N 分别为 AB ， PC 的中点，
所以 M （ ，0，0）， N （ ）.
所以 ＝（0， ）， ＝（0，0，
a ）， ＝（0， a ，0）.
所以 ＝ ＋
共面，
又因为 MN 平面 PAD ，所以 MN ∥平面 PAD .
（2）平面 PMC ⊥平面 PDC .
证明：由（1）可知 ＝（ b ， a ，－ a ）， ＝（ ，0，－
a ）， ＝（0， a ，－ a ）.
设平面 PMC 的法向量为 n1＝（ x1， y1， z1），
则
所以令 z1＝ b ，则 n1＝（2 a ，－ b ， b ）.
设平面 PDC 的法向量为 n2＝（ x2， y2， z2），
则
令 z2＝1，则 n2＝（0，1，1）.
因为 n1· n2＝0－ b ＋ b ＝0，所以 n1⊥ n2.
所以平面 PMC ⊥平面 PDC .
反思感悟
利用空间向量证明平行、垂直的一般步骤
三、利用空间向量求距离
　　能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互
平行的平面的距离问题.
【例3】　如图，正三棱柱 ABC - A1 B1 C1中，各棱长均为4， N 是 CC1
的中点.
（1）求点 N 到直线 AB 的距离；
解：建立如图所示的空间直角坐标系，则 A
（0，0，0）， B （2 ，2，0）， C （0，4，
0）， C1（0，4，4）， A1（0，0，4），∵ N 是
CC1的中点，∴ N （0，4，2）.
（1） ＝（0，4，2）， ＝（2 ，2，0），则｜ ｜
＝2 ，｜ ｜＝4， · ＝8.
设点 N 到直线 AB 的距离为 d1，
则 d1＝ ＝ ＝4.
（2）求点 C1到平面 ABN 的距离.
解：设平面 ABN 的一个法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），由 n ⊥
， n ⊥
令 z ＝2，则 y ＝－1， x ＝ ，即 n ＝（ ，－1，2）.
易知 ＝（0，0，－2），设点 C1到平面 ABN 的距离为 d2，
则 d2＝｜ ｜＝ ＝ .
反思感悟
1. 向量法求点到平面的距离，一般转化为平面外一点与平面内一点构
成的向量在平面的法向量方向上的投影向量的长度问题.
2. 求直线到平面、平面到平面的距离，往往转化为点到平面的距离求
解，且这个点要适当选取，以易于求解为准则.
四、利用空间向量求空间角
空间中三种角的计算公式
（1）两条异面直线所成的角θ： cos θ＝｜ cos ＜ u ， v ＞｜＝｜
｜＝ （其中 u ， v 分别是两异面直线的方向向
量）；
（2）直线和平面所成的角θ： sin θ＝｜ cos ＜ u ， n ＞｜＝｜
｜＝ （其中 u 是直线的方向向量， n 是平面的法
向量）；
（3）两个平面的夹角θ： cos θ＝｜ cos ＜ n1， n2＞｜＝｜
｜＝ （其中 n1， n2分别是两平面的法向
量）.
【例4】　（2024·九省联考）如图，平行六面体 ABCD - A1 B1 C1
D1中，底面 ABCD 是边长为2的正方形， O 为 AC 与 BD 的交点，
AA1＝2，∠ C1 CB ＝∠ C1 CD ，
∠ C1 CO ＝45°.
（1）证明： C1 O ⊥平面 ABCD ；
解： 证明： ＝ ＋ ＝ － ＋ ），
· ＝［ － ＋ ）］·（ － ）
＝（ · － · ）－ － ）＝0，∴ C1 O ⊥
BD ，而 CC1＝2， CO ＝ ，∠ C1 CO ＝45°，∴ C1 O ＝ ，∴ C1 O2＋ OC2＝ C ，∴ C1 O ⊥ OC ，
∵ BD ∩ OC ＝ O ， BD ， AC 平面 ABCD ，∴ C1 O ⊥平面
ABCD .
（2）求二面角 B - AA1- D 的正弦值.
解：建立如图所示的空间直角坐标系，
∴ B （ ，0，0）， A （0，－ ，0），
C1（0，0， ）， C （0， ，0），
A1（0，－2 ）， D （－ ，0，0），
设平面 AA1 B 与平面 AA1 D 的一个法向量分别为 n1＝（ x1， y1，
z1）， n2＝（ x2， y2， z2），
又 ＝（0，－ ＝（ ，0）， ＝
（－ ，0），
∴ n1＝（1，－1，－1），
n2＝（1，1，1），
设二面角 B - AA1- D 的平面角为θ，
∴｜ cos θ｜＝ ＝ ＝ ，∴ sin θ＝ .故二面角
B - AA1- D 的正弦值为 .
反思感悟
用向量法求空间角应注意的问题
（1）两异面直线所成角的范围为0°＜θ≤90°，两异面直线的方向向量
所成角的范围为0°＜θ＜180°；
（2）要求直线 a 与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量 n 与直
线 a 的方向向量 a 夹角的余弦值 cos ＜ n ， a ＞，而θ＝＜ n ， a
＞－ 或 －＜ n ， a ＞；
（3）平面与平面的夹角与二面角的范围不同，若求二面角大小，需
先判断二面角是锐角还是钝角.
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