资源简介 章末检测（一） 空间向量与立体几何（时间：120分钟 满分：150分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知四面体ABCD，G是CD的中点，连接AG，则＋（＋）＝（ ）A. B. C. D.2.已知向量a，b是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则“c·a＝0，且c·b＝0”是“l⊥α”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知向量a＝（0，－1，1），b＝（4，1，0），｜λa＋b｜＝，且λ＞0，则λ＝（ ）A.2 B.3 C.4 D.54.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则· ＝（ ）A.－1 B.0 C.1 D.25.如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为（ ）A. B.C. D.16.如图，圆台的高为4，上、下底面半径分别为3，5，M，N分别在上、下底面圆周上，且＜，＞＝120°，则｜｜＝（ ）A. B.5C. D.57.《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD为矩形，EF∥AB，若AB＝3EF，△ADE和△BCF都是正三角形，且AD＝2EF，则异面直线DE与BF所成角的大小为（ ）A. B. C. D.8.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC.则点M在正方形ABCD内的轨迹为（ ）二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.空间直角坐标系Oxyz中，已知A（1，2，－2），B（0，1，1），下列结论正确的有（ ）A.＝（－1，－1，3）B.若m＝（2，1，1），则m⊥C.点A关于Oxy平面对称的点的坐标为（1，－2，2）D.｜｜＝10.下列命题正确的是（ ）A.若p是平面α的一个法向量，A，B是直线b上不同的两点，则b∥α的充要条件是p·＝0B.已知A，B，C三点不共线，对于空间中任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点共面C.已知a＝（－1，1，2），b＝（0，2，3），若ka＋b与2a－b垂直，则k＝－D.已知△ABC的顶点分别为A（－1，1，2），B（4，1，4），C（3，－2，2），则AC边上的高BD的长为11.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，则（ ）A.AC⊥BD B.△ACD是等边三角形C.AB与平面BCD所成的角为60° D.AB与CD所成的角为90°三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）12.若空间向量a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，－7，m）是共面向量，则实数m＝ .13.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为 .14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，O是侧面A1ADD1的中心，E，F分别是B1C1，CC1的中点，点M，N分别在线段OB，EF上运动，则MN的最小值为 .四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4），设a＝，b＝.（1）求a与b的夹角θ的余弦值；（2）若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值.16.（本小题满分15分）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为.（1）设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；（2）设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长.17.（本小题满分15分）如图，已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝AF＝2，∠ADC＝60°.（1）求直线BF与平面ABCD所成角；（2）求点A到平面FBD的距离.18.（本小题满分17分）如图①，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E为线段DC的中点，将△ADE沿直线AE折起，使得DC＝，如图②.（1）求证：BE⊥平面ADE；（2）线段AB上是否存在一点H，使得平面ADE与平面DHC所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出H点的位置.19.（本小题满分17分）如图，已知向量＝a，＝b，＝c，可构成空间向量的一个基底，若a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），c＝（c1，c2，c3）.在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算a×b＝（a2b3－a3b2，a3b1－a1b3，a1b2－a2b1），显然a×b的结果仍为一向量，记作p.（1）求证：向量p为平面OAB的法向量；（2）若a＝（1，－1，），b＝（0，－3，0），求以OA，OB为邻边的平行四边形OADB的面积，并比较四边形OADB的面积与｜a×b｜的大小；（3）将四边形OADB按向量＝c平移，得到一个平行六面体OADB-CA1D1B1，试判断平行六面体的体积V与｜（a×b）·c｜的大小.（注：第（2）小题的结论可以直接应用）章末检测（一） 空间向量与立体几何1.A 在△BCD中，因为点G是CD的中点，所以＝（＋），从而＋（＋）＝＋＝.2.B 若l⊥平面α，则c⊥a，c·a＝0，c⊥b，c·b＝0；反之，若a∥b，则c⊥a，c⊥b，并不能保证l⊥平面α.3.B 由题意，得λa＋b＝（4，1－λ，λ）.因为｜λa＋b｜＝，所以42＋（1－λ）2＋λ2＝29，整理得λ2－λ－6＝0.又λ＞0，所以λ＝3.4.C 由于＝＋＝＋（＋）＝＋（＋）.而＝＋.则·＝［＋（＋）］·（＋）＝（＋）2＝（＋）＝1.5.B ∵AB＝1，BC＝2，AA1＝3，∴A1（0，0，3），C（1，2，0），B（1，0，0），∴直线A1C的方向向量＝（1，2，－3），＝（0，2，0），对应的单位向量为u＝（，，－），所以点B到A1C的距离为d＝＝＝.6.A ∵O2M⊥O1O2，O1N⊥O1O2，∴·＝0，·＝0，且由题意知，·＝3×5×cos 60°＝.∵＝＋＋，∴＝（＋＋）2＝＋＋＋2·＋·＋2·＝9＋16＋25＋15＝65，∴｜｜＝.故选A.7.A 如图，以矩形ABCD的中心O为原点，的方向为x轴正方向建立空间直角坐标系.∵四边形ABCD为矩形，EF∥AB，△ADE和△BCF都是正三角形，∴EF 平面Oyz，且Oz是线段EF的垂直平分线.设AB＝3，则EF＝1，AD＝2，D（－1，－，0），E（0，－，），B（1，，0），F（0，，）.∴＝（1，1，），＝（－1，－1，），∴·＝－1×1＋1×（－1）＋×＝0，∴⊥，∴异面直线DE与BF所成的角为.故选A.8.A 如图，以D为原点，DA，DC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系.设正方形ABCD的边长为a，M（x，y，0），则0≤x≤a，0≤y≤a，P，C（0，a，0），则｜｜＝，｜｜＝ .由｜｜＝｜｜，得x＝2y，所以点M在正方形ABCD内的轨迹为一条线段y＝x（0≤x≤a），故选A.9.AB A（1，2，－2），B（0，1，1），∴＝（－1，－1，3），｜｜＝＝，A正确，D错误.若m＝（2，1，1），则m·＝2×（－1）＋1×（－1）＋1×3＝0，则m⊥，B正确，点A关于Oxy平面对称的点的坐标为（1，2，2），故C错误，故选A、B.10.BCD 若b α，则p·＝0成立，故b∥α不是p·＝0的必要条件，故A错误；若＝＋＋，则（－）＝（－）＋（－），所以＝＋，所以P，A，B，C四点共面，故B正确；由题意可得ka＋b＝（－k，k＋2，2k＋3），2a－b＝（－2，0，1），若ka＋b与2a－b垂直，则（ka＋b）·（2a－b）＝2k＋2k＋3＝0，解得k＝－，故C正确；由题意可得＝（5，0，2），＝（4，－3，0），则｜｜＝＝，｜｜＝＝5，则cos A＝＝＝，所以sin A＝＝，所以｜BD｜＝｜｜sin A＝×＝，故D正确.11.AB 如图，取BD的中点O，连接AO，CO，则AO⊥BD，CO⊥BD.又AO∩CO＝O，∴BD⊥平面AOC，又AC 平面AOC，∴AC⊥BD，A中结论正确；∵AC＝AO＝AD＝CD，∴△ACD是等边三角形，B中结论正确；∵AO⊥平面BCD，∴∠ABD是AB与平面BCD所成的角，为45°，C中结论错误；＝＋＋，不妨设AB＝1，则＝（＋＋）2＝＋＋＋2·＋2·＋2·，∴1＝1＋2＋1＋2×（－）＋2×（－）＋2cos＜，＞，∴cos＜，＞＝，∴＜，＞＝60°，即AB与CD所成的角为60°，D中结论错误.故选A、B.12.11 解析：若向量a，b，c共面，则存在x，y∈R，使得a＝xb＋yc，所以解得13. 解析：不妨设CB＝1，则B（0，0，1），A（2，0，0），C1（0，2，0），B1（0，2，1）.∴＝（0，2，－1），＝（－2，2，1）.cos＜，＞＝＝＝.14.2 解析：以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则O（2，0，2），B（4，4，0），E（2，4，4），F（0，4，2）.因为点M，N分别在线段OB，EF上运动，所以设＝λ（0≤λ≤1），＝μ（0≤μ≤1），所以M（2λ＋2，4λ，2－2λ），N（2μ，4，2＋2μ），所以｜｜＝＝，所以当μ＝λ＝时，｜｜min＝＝2.15.解：（1）a＝＝（－1，1，2）－（－2，0，2）＝（1，1，0），b＝＝（－3，0，4）－（－2，0，2）＝（－1，0，2）.cos θ＝＝＝－.所以a与b的夹角θ的余弦值为－.（2）因为ka＋b＝（k，k，0）＋（－1，0，2）＝（k－1，k，2），ka－2b＝（k，k，0）－（－2，0，4）＝（k＋2，k，－4），所以（k－1，k，2）·（k＋2，k，－4）＝（k－1）·（k＋2）＋k2－8＝0.即2k2＋k－10＝0，所以k＝－或k＝2.16.解：（1）证明：＝＋，＝＋.因为BB1⊥平面ABC.所以·＝0，·＝0.又△ABC为正三角形，所以＜，＞＝π－＜，＞＝π－＝，所以·＝（＋）·（＋）＝·＋·＋＋·＝｜｜·｜｜·cos＜，＞＋＝－1＋1＝0，所以⊥，所以AB1⊥BC1.（2）由（1）知·＝｜｜·｜｜·cos＜，＞＋＝－1.又｜｜＝＝＝｜｜，所以cos＜，＞＝＝.所以｜｜＝2，即侧棱长为2.17.解：设AC∩BD＝O，因为菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，所以易得AF⊥平面ABCD.以O点为坐标原点，以OD所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，过O点且平行于AF的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.（1）由已知得A（0，1，0），B（－，0，0），C（0，－1，0），D（，0，0），F（0，1，2）.由题意可知平面ABCD的一个法向量为m＝（0，0，1），又＝（，1，2），设直线BF与平面ABCD所成角为θ，则有sin θ＝｜cos＜m，＞｜＝＝＝.即θ＝45°，所以直线BF与平面ABCD所成角为45°.（2）因为＝（2，0，0），＝（，1，2），设平面FBD的法向量为n＝（x，y，z），则即令z＝1得n＝（0，－2，1），又因为＝（0，0，2），所以点A到平面FBD的距离d＝＝＝.18.解：（1）证明：如图③，连接BE，取线段AE的中点O，连接DO，OC，在Rt△ADE中，DA＝DE＝，所以DO⊥AE，DO＝OA＝OE＝1.在△OEC中，OE＝1，EC＝，∠OEC＝，由余弦定理可得OC2＝1＋2＋2×1××＝5，所以OC＝.在△DOC中，DC2＝6＝DO2＋OC2，所以DO⊥OC.又AE∩OC＝O，AE，OC 平面ABCE，所以DO⊥平面ABCE.又DO 平面ADE，所以平面ADE⊥平面ABCE.在△ABE中，AE＝BE＝2，AB＝2，所以AE2＋BE2＝AB2，所以BE⊥AE.因为平面ADE∩平面ABCE＝AE，BE 平面ABCE，所以BE⊥平面ADE.（2）存在.过E作DO的平行线l，以E为原点，EA，EB，l分别为x轴、y轴、z轴，建立如图④所示的空间直角坐标系，则E（0，0，0），D（1，0，1），C（－1，1，0），A（2，0，0），B（0，2，0），平面ADE的一个法向量为n1＝（0，1，0），假设存在点H符合题意，设＝t（0≤t≤1），则＝t（－2，2，0）＝（－2t，2t，0），则＝－＝（－3，1，0）－（－2t，2t，0）＝（2t－3，1－2t，0），＝（－2，1，－1）.设平面DHC的法向量为n2＝（x，y，z），则n2·＝0，n2·＝0，即令y＝2t－3，则x＝2t－1，z＝－2t－1，所以n2＝（2t－1，2t－3，－2t－1）.由已知cos ＝＝＝，解得t＝或t＝－（舍去），所以存在点H符合题意，此时＝，即H为AB的中点.19.解：（1）证明：因为p·a＝a1（a2b3－a3b2）＋a2（a3b1－a1b3）＋a3（a1b2－a2b1）＝a1a2b3－a1a3b2＋a2a3b1－a2a1b3＋a3a1b2－a3a2b1＝0，所以p⊥a，即p⊥，因为p·b＝b1（a2b3－a3b2）＋b2（a3b1－a1b3）＋b3（a1b2－a2b1）＝b1a2b3－b1a3b2＋b2a3b1－b2a1b3＋b3a1b2－b3a2b1＝0，所以p⊥b，即p⊥，又因为OA∩OB＝O，所以向量p为平面OAB的法向量.（2）cos∠AOB＝＝＝，则sin∠AOB＝，故S四边形OADB＝2S△AOB＝｜a｜｜b｜sin∠AOB＝3×3×＝6，由a＝（1，－1，），b＝（0，－3，0），得a×b＝（3，0，－3），所以｜a×b｜＝＝6，所以S四边形OADB＝｜a×b｜.（3）设点C到平面OAB的距离为h，与平面OAB所成的角为α，则V＝S四边形OADB·h＝｜a×b｜｜c｜sin α，由（1）得向量p为平面OAB的法向量，则｜cos＜a×b，c＞｜＝sin α，又｜（a×b）·c｜＝｜a×b｜｜c｜cos＜a×b，c＞，所以V＝｜（a×b）·c｜.3 / 3(共44张PPT)章末检测（一）空间向量与立体几何（时间：120分钟 满分：150分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知四面体 ABCD ， G 是 CD 的中点，连接 AG ，则 ＋ （ ＋）＝（ ）解析： 在△ BCD 中，因为点 G 是 CD 的中点，所以 ＝＋ ＋ ＋ ）＝ ＋ ＝ .123456789101112131415161718192. 已知向量 a ， b 是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量 c 在直线 l 上，则“ c · a ＝0，且 c · b ＝0”是“ l ⊥α”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件解析： 若 l ⊥平面α，则 c ⊥ a ， c · a ＝0， c ⊥ b ， c · b ＝0；反之，若 a ∥ b ，则 c ⊥ a ， c ⊥ b ，并不能保证 l ⊥平面α.123456789101112131415161718193. 已知向量 a ＝（0，－1，1）， b ＝（4，1，0），｜λ a ＋ b ｜＝，且λ＞0，则λ＝（ ）A. 2 B. 3C. 4 D. 5解析： 由题意，得λ a ＋ b ＝（4，1－λ，λ）.因为｜λ a ＋ b ｜＝，所以42＋（1－λ）2＋λ2＝29，整理得λ2－λ－6＝0.又λ＞0，所以λ＝3.123456789101112131415161718194. 已知棱长为1的正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的上底面 A1 B1 C1 D1的中心为 O1，则 · ＝（ ）A. －1 B. 0解析： 由于 ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ）＝＋ ＋ ）.而 ＝ ＋ .则 · ＝［ ＋ ＋ ）］·（ ＋ ）＝ ＋ ）2＝ ＋）＝1.C. 1 D. 2123456789101112131415161718195. 如图所示，在空间直角坐标系中有长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1， AB ＝1， BC ＝2， AA1＝3，则点 B 到直线 A1 C 的距离为（ ）D. 112345678910111213141516171819解析： ∵ AB ＝1， BC ＝2， AA1＝3，∴ A1（0，0，3）， C（1，2，0）， B （1，0，0），∴直线 A1 C 的方向向量 ＝（1，2，－3）， ＝（0，2，0）， 对应的单位向量为 u ＝（ ，－ ），所以点 B 到 A1 C 的距离为 d ＝＝ ＝ .123456789101112131415161718196. 如图，圆台的高为4，上、下底面半径分别为3，5， M ， N 分别在上、下底面圆周上，且＜ ， ＞＝120°，则｜ ｜＝（ ）D. 512345678910111213141516171819解析： ∵ O2 M ⊥ O1 O2， O1 N ⊥ O1 O2，∴ · ＝0，· ＝0，且由题意知， · ＝3×5× cos 60°＝ .∵ ＝ ＋ ＋ ，∴ ＝（ ＋ ＋ ）2＝ ＋ ＋ ＋2 · ＋ · ＋2· ＝9＋16＋25＋15＝65，∴｜ ｜＝ .故选A.123456789101112131415161718197. 《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD 为矩形， EF ∥ AB ，若 AB ＝3 EF ，△ ADE 和△ BCF 都是正三角形，且 AD ＝2 EF ，则异面直线 DE 与 BF 所成角的大小为（ ）12345678910111213141516171819解析： 如图，以矩形 ABCD 的中心 O 为原点，的方向为 x 轴正方向建立空间直角坐标系.∵四边形 ABCD 为矩形， EF ∥ AB ，△ ADE 和△ BCF 都是正三角形，∴ EF 平面 Oyz ，且 Oz 是线段 EF 的垂直平分线.设 AB ＝3，则 EF ＝1， AD ＝2， D （－1，－ ，0）， E （0，－ ）， B （1， ，0）， F （0， ）.∴ ＝（1，1， ＝（－1，－1， ），∴ · ＝－1×1＋1×（－1）＋ × ＝0，∴ ⊥ ，∴异面直线 DE 与 BF 所成的角为 .故选A.123456789101112131415161718198. 如图，在四棱锥 P - ABCD 中，侧面 PAD 为正三角形，底面 ABCD 为正方形，侧面 PAD ⊥底面 ABCD ， M 为底面 ABCD 内的一个动点，且满足 MP ＝ MC . 则点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为（ ）12345678910111213141516171819解析：如图，以 D 为原点， DA ， DC 所在的直线分别为 x 轴， y 轴建立如图所示的空间直角坐标系.设正方形ABCD 的边长为 a ， M （ x ， y ，0），则0≤ x ≤ a ，0≤ y ≤ a ， P ， C （0， a ，0），则｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ .由｜ ｜＝｜ ｜，得 x ＝2 y ，所以点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为一条线段 y ＝ x （0≤ x ≤ a ），故选A.12345678910111213141516171819二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 空间直角坐标系 Oxyz 中，已知 A （1，2，－2）， B （0，1，1），下列结论正确的有（ ）C. 点 A 关于 Oxy 平面对称的点的坐标为（1，－2，2）12345678910111213141516171819解析： A （1，2，－2）， B （0，1，1），∴ ＝（－1，－1，3），｜ ｜＝ ＝ ，A正确，D错误.若 m ＝（2，1，1），则 m · ＝2×（－1）＋1×（－1）＋1×3＝0，则 m⊥ ，B正确，点 A 关于 Oxy 平面对称的点的坐标为（1，2，2），故C错误，故选A、B.1234567891011121314151617181910. 下列命题正确的是（ ）12345678910111213141516171819解析： 若 b α，则 p · ＝0成立，故 b ∥α不是 p · ＝0的必要条件，故A错误；若 ＝ ＋ ＋ －）＝ － ）＋ － ＝ ＋，所以 P ， A ， B ， C 四点共面，故B正确；由题意可得 ka ＋ b＝（－ k ， k ＋2，2 k ＋3），2 a － b ＝（－2，0，1），若 ka ＋ b与2 a － b 垂直，则（ ka ＋ b ）·（2 a － b ）＝2 k ＋2 k ＋3＝0，解得k ＝－ ，故C正确；12345678910111213141516171819由题意可得 ＝（5，0，2）， ＝（4，－3，0），则｜ ｜＝＝ ，｜ ｜＝ ＝5，则 cos A ＝＝ ＝ ，所以 sin A ＝ ＝ ，所以｜ BD ｜＝｜ ｜ sin A ＝ × ＝ ，故D正确.1234567891011121314151617181911. 将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A - BD - C ，则（ ）A. AC ⊥ BDB. △ ACD 是等边三角形C. AB 与平面 BCD 所成的角为60°D. AB 与 CD 所成的角为90°解析： 如图，取 BD 的中点 O ，连接 AO ，CO ，则 AO ⊥ BD ， CO ⊥ BD . 又 AO ∩ CO ＝ O ，∴ BD ⊥平面 AOC ，又 AC 平面 AOC ，∴ AC ⊥BD ，A中结论正确；∵ AC ＝ AO ＝ AD ＝ CD ，12345678910111213141516171819∴△ ACD 是等边三角形，B中结论正确；∵ AO ⊥平面 BCD ，∴∠ ABD 是 AB 与平面 BCD 所成的角，为45°，C中结论错误； ＝ ＋ ＋ ，不妨设 AB ＝1，则 ＝（ ＋ ＋）2＝ ＋ ＋ ＋2 · ＋2 · ＋2 · ，∴1＝1＋2＋1＋2 ×（－ ）＋2 ×（－ ）＋2 cos ＜ ＞，∴ cos ＜ ＞＝ ，∴＜ ＞＝60°，即 AB 与 CD 所成的角为60°，D中结论错误.故选A、B.12345678910111213141516171819三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）12. 若空间向量 a ＝（2，－1，3）， b ＝（－1，4，－2）， c ＝（7，－7， m ）是共面向量，则实数 m ＝ .解析：若向量 a ， b ， c 共面，则存在 x ， y ∈R，使得 a ＝ xb ＋yc ，所以11 1234567891011121314151617181913. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC - A1 B1 C1， CA ＝ CC1＝2 CB ，则直线 BC1与直线 AB1所成角的余弦值为 . 12345678910111213141516171819解析：不妨设 CB ＝1，则 B （0，0，1）， A （2，0，0）， C1（0，2，0）， B1（0，2，1）.∴ ＝（0，2，－1）， ＝（－2，2，1）. cos ＜ ＞＝ ＝ ＝.12345678910111213141516171819 2 12345678910111213141516171819解析：以 D 为坐标原点， 的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则 O （2，0，2）， B （4，4，0）， E （2，4，4）， F （0，4，2）.因为点 M ， N 分别在线段 OB ， EF 上运动，所以设 ＝λ （0≤λ≤1）， ＝μ （0≤μ≤1），所以 M （2λ＋2，4λ，2－2λ）， N （2μ，4，2＋2μ），所以｜ ｜＝ ＝，所以当μ＝λ＝ 时，｜ ｜min＝ ＝2 .12345678910111213141516171819四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. （本小题满分13分）已知空间三点 A （－2，0，2）， B （－1，1，2）， C （－3，0，4），设 a ＝ ， b ＝ .（1）求 a 与 b 的夹角θ的余弦值；12345678910111213141516171819解： a ＝ ＝（－1，1，2）－（－2，0，2）＝（1，1，0），b ＝ ＝（－3，0，4）－（－2，0，2）＝（－1，0，2）.cos θ＝ ＝ ＝－ .所以 a 与 b 的夹角θ的余弦值为－ .12345678910111213141516171819（2）若向量 ka ＋ b 与 ka －2 b 互相垂直，求 k 的值.解：因为 ka ＋ b ＝（ k ， k ，0）＋（－1，0，2）＝（ k －1， k ，2），ka －2 b ＝（ k ， k ，0）－（－2，0，4）＝（ k ＋2， k ，－4），所以（ k －1， k ，2）·（ k ＋2， k ，－4）＝（ k －1）·（ k ＋2）＋ k2－8＝0.即2 k2＋ k －10＝0，所以 k ＝－ 或 k ＝2.1234567891011121314151617181916. （本小题满分15分）如图，正三棱柱 ABC - A1 B1 C1的底面边长为 .（1）设侧棱长为1，求证： AB1⊥ BC1；解： 证明： ＝ ＋ ＝ ＋ .因为BB1⊥平面 ABC . 所以 · ＝0， · ＝0.又△ ABC 为正三角形，所以＜ ＞＝π－＜＞＝π－ ＝ · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝ · ＋ · ＋ ＋ · ＝｜ ｜·｜ ｜· cos ＜ ＞＋ ＝－1＋1＝0，所以 ⊥ ，所以 AB1⊥ BC1.12345678910111213141516171819（2）设 AB1与 BC1的夹角为 ，求侧棱的长.解：由（1）知 · ＝｜ ｜·｜ ｜· cos ＜＞＋ ＝ －1.又｜ ｜＝ ＝＝｜ ｜，所以 cos ＜ ＞＝ ＝.所以｜ ｜＝2，即侧棱长为2.1234567891011121314151617181917. （本小题满分15分）如图，已知菱形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直， AB ＝ AF ＝2，∠ ADC ＝60°.（1）求直线 BF 与平面 ABCD 所成角；解：设 AC ∩ BD ＝ O ，因为菱形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，所以易得 AF ⊥平面 ABCD . 以 O 点为坐标原点，以 OD 所在直线为 x 轴， OA 所在直线为 y轴，过 O 点且平行于 AF 的直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.12345678910111213141516171819解：由已知得 A （0，1，0）， B （－ ，0，0）， C （0，－1，0）， D （ ，0，0）， F （0，1，2）.由题意可知平面 ABCD 的一个法向量为 m ＝（0，0，1），又 ＝（ ，1，2），设直线 BF 与平面 ABCD 所成角为θ，则有sin θ＝｜ cos ＜ m ， ＞｜＝ ＝ ＝ .即θ＝45°，所以直线 BF 与平面 ABCD 所成角为45°.12345678910111213141516171819（2）求点 A 到平面 FBD 的距离.解：因为 ＝（2 ，0，0）， ＝（ ，1，2），设平面 FBD 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），则令 z ＝1得 n ＝（0，－2，1），又因为 ＝（0，0，2），所以点 A 到平面 FBD 的距离 d ＝ ＝ ＝ .1234567891011121314151617181918. （本小题满分17分）如图①，在矩形 ABCD 中， AB ＝2 AD ＝2， E 为线段 DC 的中点，将△ ADE 沿直线 AE 折起，使得 DC ＝，如图②.12345678910111213141516171819（1）求证： BE ⊥平面 ADE ；解： 证明：如图③，连接 BE ，取线段 AE 的中点 O ，连接DO ， OC ，在Rt△ ADE 中， DA ＝ DE ＝ ，所以 DO ⊥ AE ， DO ＝ OA ＝ OE ＝1.在△ OEC 中， OE ＝1， EC ＝ ，∠ OEC ＝ ，由余弦定理可得 OC2＝1＋2＋2×1× × ＝5，所以 OC ＝.在△ DOC 中， DC2＝6＝ DO2＋ OC2，所以 DO ⊥ OC .12345678910111213141516171819又 AE ∩ OC ＝ O ， AE ， OC 平面 ABCE ，所以 DO ⊥平面 ABCE .又 DO 平面 ADE ，所以平面 ADE ⊥平面 ABCE .在△ ABE 中， AE ＝ BE ＝2， AB ＝2 ，所以 AE2＋ BE2＝ AB2，所以 BE ⊥ AE .因为平面 ADE ∩平面 ABCE ＝ AE ， BE 平面 ABCE ，所以BE ⊥平面 ADE .12345678910111213141516171819（2）线段 AB 上是否存在一点 H ，使得平面 ADE 与平面 DHC 所成的角为 ？若不存在，说明理由；若存在，求出 H 点的位置.解：存在.过 E 作 DO 的平行线 l ，以 E 为原点， EA ， EB ， l分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立如图④所示的空间直角坐标系，则 E （0，0，0）， D （1，0，1）， C （－1，1，0），A （2，0，0）， B （0，2，0），平面 ADE 的一个法向量为n1＝（0，1，0），假设存在点 H 符合题意，设 ＝ t （0≤ t ≤1），12345678910111213141516171819则 ＝ t （－2，2，0）＝（－2 t ，2 t ，0），则 ＝ － ＝（－3，1，0）－（－2 t ，2 t ，0）＝（2 t －3，1－2 t ，0）， ＝（－2，1，－1）.设平面 DHC 的法向量为 n2＝（ x ， y ， z ），则 n2· ＝0， n2· ＝0，即令 y ＝2 t －3，则 x ＝2 t－1， z ＝－2 t －1，所以 n2＝（2 t －1，2 t －3，－2 t －1）.12345678910111213141516171819由已知 cos ＝ ＝＝ ，解得 t ＝ 或 t ＝－ （舍去），所以存在点 H 符合题意，此时 ＝ ，即 H 为 AB 的中点.1234567891011121314151617181919. （本小题满分17分）如图，已知向量 ＝ a ， ＝ b ， ＝c ，可构成空间向量的一个基底，若 a ＝（ a1， a2， a3）， b ＝（ b1， b2， b3）， c ＝（ c1， c2， c3）.在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算 a × b ＝（ a2 b3－ a3 b2， a3 b1－ a1 b3， a1 b2－ a2 b1），显然 a × b 的结果仍为一向量，记作 p .12345678910111213141516171819（1）求证：向量 p 为平面 OAB 的法向量；解： 证明：因为 p · a ＝ a1（ a2 b3－ a3 b2）＋ a2（ a3 b1－ a1b3）＋ a3（ a1 b2－ a2 b1）＝ a1 a2 b3－ a1 a3 b2＋ a2 a3 b1－ a2 a1 b3＋ a3 a1 b2－ a3 a2 b1＝0，所以 p ⊥ a ，即 p ⊥ ，因为 p · b ＝ b1（ a2 b3－ a3 b2）＋ b2（ a3 b1－ a1 b3）＋ b3（ a1 b2－ a2 b1）＝ b1 a2 b3－ b1 a3 b2＋ b2 a3 b1－ b2 a1 b3＋ b3 a1 b2－ b3 a2b1＝0，所以 p ⊥ b ，即 p ⊥ ，又因为 OA ∩ OB ＝ O ，所以向量 p 为平面 OAB 的法向量.12345678910111213141516171819（2）若 a ＝（1，－1， ）， b ＝（0，－3，0），求以 OA ，OB 为邻边的平行四边形 OADB 的面积，并比较四边形 OADB的面积与｜ a × b ｜的大小；解： cos ∠ AOB ＝ ＝ ＝ ，则 sin ∠ AOB ＝ ，故 S四边形 OADB ＝2 S△ AOB ＝｜ a ｜｜ b ｜ sin ∠ AOB ＝3×3× ＝6 ，由 a ＝（1，－1， ）， b ＝（0，－3，0），得 a × b ＝（3，0，－3），所以｜ a × b ｜＝ ＝6 ，所以 S四边形 OADB ＝｜ a × b ｜.12345678910111213141516171819（3）将四边形 OADB 按向量 ＝ c 平移，得到一个平行六面体OADB - CA1 D1 B1，试判断平行六面体的体积 V 与｜（ a ×b ）· c ｜的大小.（注：第（2）小题的结论可以直接应用）解：设点 C 到平面 OAB 的距离为 h ， 与平面 OAB 所成的角为α，则 V ＝ S四边形 OADB · h ＝｜ a × b ｜｜ c ｜ sin α，由（1）得向量 p 为平面 OAB 的法向量，则｜ cos ＜ a × b ， c ＞｜＝ sin α，又｜（ a × b ）· c ｜＝｜ a × b ｜｜ c ｜ cos ＜ a × b ， c ＞，所以 V ＝｜（ a × b ）· c ｜.12345678910111213141516171819谢 谢 观 看！12345678910111213141516171819 展开更多...... 收起↑ 资源列表 章末检测（一） 空间向量与立体几何.docx 章末检测（一） 空间向量与立体几何.pptx
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