资源简介 2.1.1 倾斜角与斜率1.给出下列命题，其中为真命题的是（ ）A.任意一条直线都有唯一的倾斜角B.一条直线的倾斜角可以为－30°C.倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴D.若α是直线l的倾斜角，且sin α＝，则α＝45°2.若直线过坐标平面内两点（4，2），（1，2＋），则此直线的倾斜角是（ ）A.30° B.150° C.60° D.120°3.若经过A（m，3），B（1，2）两点的直线的倾斜角为45°，则m＝（ ）A.2 B.1 C.－1 D.－24.（2024·佛山月考）已知直线PQ的斜率为－，将直线PQ绕点P顺时针旋转60°，所得的直线的斜率是（ ）A.0 B. C. D.－5.“直线l的斜率不小于0”是“直线l的倾斜角为锐角”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.（多选）已知点A的坐标为（3，4），在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标可能为（ ）A.（0，－4） B.（4，0）C.（2，0） D.（0，－8）7.（2024·南平月考）已知点A（m，－m＋3），B（2，m－1），C（－1，4），直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则m＝ .8.一束光线射到x轴上并经x轴反射，已知入射光线的倾斜角α1＝30°，则反射光线的倾斜角α2＝ .9.（2024·福州质检）如图，已知直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为 .10.已知直线l经过两点A（－1，m），B（m，1），问：当m取何值时：（1）直线l与x轴平行？（2）直线l的方向向量的坐标为（3，1）.（3）直线的倾斜角为45°？11.（2024·重庆质检）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.重庆千厮门嘉陵江大桥如图①所示，桥上共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列，示意图如图②所示.已知拉索上端相邻两个锚的间距｜PiPi＋1｜（i＝1，2，3，…，9）均为3.4 m，拉索下端相邻两个锚的间距｜AiAi＋1｜（i＝1，2，3，…，9）均为16 m.最短拉索的锚P1，A1满足｜OP1｜＝66 m，｜OA1｜＝86 m，则最长拉索所在直线的斜率为（ ）A.±0.47 B.±0.45C.±0.42 D.±0.4012.（多选）如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是（ ）A.k1＜k3＜k2 B.k3＜k2＜k1C.α1＜α3＜α2 D.α3＜α2＜α113.过点M（0，1）和N（1，m2＋1）（m∈R）的直线的倾斜角的范围是 .14.（2024·南阳质检）已知A（1，2），B（2，1），C（0，m）三点.（1）若过A，C两点的直线的倾斜角为45°，求m的值；（2）A，B，C三点可能共线吗？若能，求出m的值；若不能，请说明理由.15.（2024·泉州月考）函数y＝f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，xn，使得＝＝…＝，则n的取值范围是（ ）A.{3，4} B.{2，3，4}C.{3，4，5} D.{2，3}16.已知坐标平面内三点A（－1，1），B（1，1），C（2，＋1）.（1）求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；（2）若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的取值范围.2.1.1 倾斜角与斜率1.A 任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B、C错误.D中α有可能为135°，故D错误.2.B 由题意知k＝＝－，∴直线的倾斜角为150°.3.A 由题意知，tan 45°＝，得m＝2.4.C 由题意，知直线PQ的倾斜角为120°，直线PQ绕点P顺时针旋转60°，所得直线的倾斜角为60°，所以斜率为.5.B 若直线l的斜率不小于0，则该直线的倾斜角为锐角或0°，若直线l的倾斜角为锐角，则该直线l的斜率为正数，即大于0，所以“直线l的斜率不小于0”是“直线l的倾斜角为锐角”的必要不充分条件.故选B.6.CD 设B（x，0）或（0，y），因为kAB＝或kAB＝，所以＝4或＝4，所以x＝2或y＝－8，所以点B的坐标为（2，0）或（0，－8）.7.4 解析：由题意知直线AC的斜率存在，即m≠－1.所以kAC＝，kBC＝.所以＝3×.整理，得－m－1＝（m－5）（m＋1），即（m＋1）·（m－4）＝0.解得m＝4或m＝－1（舍去）.所以m＝4.8.150° 解析：作出入射光线和反射光线，如图.因为入射光线的倾斜角α1＝30°，所以入射角为60°.又反射角等于入射角，由图易知，反射光线的倾斜角为60°＋60°＋30°＝150°.9.30° 解析：因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°，所以l3的倾斜角为×（90°－30°）＝30°.10.解：（1）若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝0，所以m＝1.（2）直线l的方向向量的坐标为（3，1），故k＝，即＝，解得m＝.（3）由题意可知，直线l的斜率k＝1，即＝1， 解得m＝0.11.C 根据题意，得｜OA10｜＝｜OA1｜＋｜A1A10｜＝86＋9×16＝230 m，｜OP10｜＝｜OP1｜＋｜P1P10｜＝66＋9×3.4＝96.6 m.则右侧最长拉索所在直线的斜率＝－tan∠OA10P10＝－＝－0.42，同理，左侧最长拉索所在直线的斜率＝0.42.故选C.12.AD 由题图可知k2＞k3＞0，k1＜0，故＞α2＞α3＞0，且α1为钝角，即k1＜k3＜k2，α3＜α2＜α1，故选A、D.13.［0，） 解析：由题意知，直线MN的斜率为k＝＝m2≥0.设直线MN的倾斜角为θ，则tan θ≥0.又θ∈[0，π），所以θ∈［0，）.14.解：（1）过A，C两点的直线的斜率为kAC＝＝2－m，又直线AC的倾斜角为45°，所以kAC＝tan 45°＝1＝2－m，解得m＝1.（2）能.由题意知kAC＝＝2－m，kAB＝＝－1.若A，B，C三点共线，则有kAB＝kAC，即－1＝2－m，解得m＝3，所以A，B，C三点能共线，且m＝3.15.B 由题意，函数y＝f（x）的图象上的任一点坐标为（x，f（x）），故表示曲线上任一点与坐标原点连线的斜率.若＝＝…＝，则曲线上存在n个点与原点连线的斜率相等，即过原点的直线与曲线y＝f（x）有n个交点.如图，数形结合可得n的取值可为2，3，4.16.解：（1）由斜率公式得kAB＝＝0，kBC＝＝，kAC＝＝.又倾斜角的取值在[0°，180°）范围内，∵tan 0°＝0，∴直线AB的倾斜角为0°.∵tan 60°＝，∴直线BC的倾斜角为60°.∵tan 30°＝，∴直线AC的倾斜角为30°.（2）如图，直线CD绕点C旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，∴k的取值范围为.1 / 22.1.1 倾斜角与斜率新课程标准解读 核心素养1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素 数学抽象2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式 直观想象、数学运算经过平面直角坐标系中的一点，可以有无数条不同的直线.【问题】 如图所示，过同一点的直线l1，l2，l3，l4，它们彼此之间的不同点是什么？你能找到一个量来描述它们的不同点吗？你找到的量，能够使得图中任意两条不同的直线都有不同的取值吗？ 知识点一 直线的倾斜角1.定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴 与直线l 的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l'的倾斜角是∠BPx.2.范围：直线的倾斜角α的取值范围为 ，并规定当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°.提醒 在倾斜角的定义中，要注意三个条件：①直线向上的方向；②x轴的正向；③小于平角的非负角.知识点二 直线的斜率1.定义：一条直线的倾斜角α的 值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k＝ .2.斜率公式：经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线的斜率公式为k＝ .当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率.【想一想】1.任何一条直线都有倾斜角吗？任何一条直线都有斜率吗？2.直线的倾斜角越大，斜率就越大吗？知识点三 直线的方向向量 设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）是直线l上的两点，则向量＝（x2－x1，y2－y1）以及与它平行的向量都是直线的 .若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为（x，y），则k＝ .1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）若α是直线l的倾斜角，则0°≤α≤180°.（ ）（2）若k是直线的斜率，则k∈R.（ ）（3）经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线.（ ）2.已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为（ ）A. B. C.1 D.3.过点P（2，1），Q（4，5）的直线斜率为（ ）A.1 B.2 C.3 D.4.已知直线l的一方向向量为（1，），则直线l的倾斜角为 .题型一 直线的倾斜角【例1】 （1）若直线l向上的方向与y轴正向之间所成的角为30°，则直线l的倾斜角为（ ）A.30° B.60°C.30°或150° D.60°或120°（2）已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是（ ）A.0°≤α＜90° B.90°≤α＜180°C.90°＜α＜180° D.0°＜α＜180°通性通法直线倾斜角的求法及注意点（1）直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论；（2）注意倾斜角的范围.【跟踪训练】1.（2024·丽水月考）已知直线l1的倾斜角α1＝60°，直线l2与l1垂直，则直线l2的倾斜角α2为（ ）A.30° B.60°C.120° D.150°2.（多选）设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为（ ）A.α＋45° B.α－135°C.135°－α D.α－45°题型二 直线的斜率【例2】 （2024·江门质检）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并指出直线的倾斜角α.（1）A（2，3），B（4，5）；（2）C（－2，3），D（2，－1）；（3）P（a，2），Q（3，6）.通性通法解决斜率问题的方法（1）由倾斜角（范围）求斜率（范围），利用定义式k＝tan α（α≠90°）解决；（2）由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式k＝（x1≠x2）求解.【跟踪训练】1.已知过两点A（4，y），B（2，－3）的直线的倾斜角为135°，则y＝ .2.（2024·阳江月考）直线l1经过两点A（0，0），B（，1），直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则l2的斜率为 .题型三 直线斜率与倾斜角的应用【例3】 （1）若A（－2，3），B（m，－2），C（4，－3）三点共线，则实数m＝ ；（2）直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），B（0，）为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的范围为 ，倾斜角的范围为 .通性通法1.用斜率公式解决三点共线的方法2.求代数式最值或范围的方法由斜率公式k＝的形式，可知代数式的几何意义是过P（x，y）与P'（a，b）两点的直线的斜率.故可以利用数形结合来求解.【跟踪训练】 （2024·安阳月考）已知直线l经过点A（1，2），且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）A.（－1，0] B.[0，1] C.[1，2] D.[0，2]1.（2024·宿迁质检）图中α能表示直线l的倾斜角的是（ ）2.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是（ ）A.（4，2）与（－4，1） B.（0，3）与（3，0）C.（3，－1）与（2，－1） D.（－2，2）与（－2，5）3.过A（4，y），B（2，－3）两点的直线的一个方向向量为n＝（－1，－1），则y＝（ ）A.－ B. C.－1 D.12.1.1 倾斜角与斜率【基础知识·重落实】知识点一1.正向 向上 2.0°≤α＜180°知识点二1.正切 tan α 2.想一想1.提示：任何一条直线都有倾斜角.但倾斜角为90°的直线没有斜率.2.提示：不是，如60°＜120°，但斜率分别为和－，而＞－.应分区间说明，当α∈[0°，90°）和α∈（90°，180°）时，上述结论在这两个区间分别成立.知识点三方向向量 自我诊断1.（1）× （2）√ （3）×2.A 由题意可知，直线l的斜率k＝tan 30°＝.3.B 直线的斜率k＝＝2，故选B.4.60° 解析：∵直线l的斜率k＝＝，即tan α＝，又0°≤α＜180°，故直线l的倾斜角为60°.【典型例题·精研析】【例1】 （1）D （2）C解析：（1）如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°.（2）直线的倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°＜α＜180°.跟踪训练1.D 画出示意图如图所示.因为直线l2与l1垂直，所以α2＝α1＋90°＝150°，即直线l2的倾斜角为150°.2.AB 根据题意，画出图形，如图所示，通过图象可知：当0°≤α＜135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.【例2】 解：（1）存在.直线AB的斜率kAB＝＝1，即tan α＝1，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝45°.（2）存在.直线CD的斜率kCD＝＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝135°.（3）当a＝3时，斜率不存在，直线的倾斜角为90°；当a≠3时，直线的斜率k＝且倾斜角α满足tan α＝.跟踪训练1.－5 解析：直线AB的斜率k＝tan 135°＝－1，又k＝，由＝－1，得y＝－5.2. 解析：因为直线l1的斜率为＝，所以直线l1的倾斜角为.又因为直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，所以直线l2的倾斜角为，则斜率为tan＝.【例3】 （1）3 （2）（－∞，－]∪[1，＋∞） 解析：（1）因为A（－2，3），B（m，－2），C（4，－3）三点共线，且kAB＝，kAC＝＝－1，所以直线AB，AC的斜率存在，且kAB＝kAC，即＝－1，解得m＝3.（2）如图所示.因为kAP＝＝1，kBP＝＝－.所以k∈（－∞，－]∪[1，＋∞）.所以≤α≤.跟踪训练 D 如图，当直线l位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.故选D.随堂检测1.A 结合直线l的倾斜角的定义可知A可以.2.D D项，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在.3.C 法一 由直线的方向向量为n＝（－1，－1），得直线的斜率为＝1，所以＝1，解得y＝－1.法二 由题意得＝（－2，－3－y）.又直线AB的一个方向向量为n＝（－1，－1），所以n∥，所以（－2）×（－1）－（－3－y）×（－1）＝0，解得y＝－1.3 / 3(共56张PPT)2.1.1 倾斜角与斜率目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03新课程标准解读 核心素养1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素 数学抽象2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式 直观想象、数学运算基础知识·重落实01课前预习 必备知识梳理经过平面直角坐标系中的一点，可以有无数条不同的直线.【问题】 如图所示，过同一点的直线 l1， l2， l3， l4，它们彼此之间的不同点是什么？你能找到一个量来描述它们的不同点吗？你找到的量，能够使得图中任意两条不同的直线都有不同的取值吗？知识点一 直线的倾斜角1. 定义：当直线 l 与 x 轴相交时，我们以 x 轴为基准， x 轴 与直线l 的方向之间所成的角α叫做直线 l 的倾斜角.如图所示，直线 l 的倾斜角是∠ APx ，直线l'的倾斜角是∠ BPx .正向 向上 2. 范围：直线的倾斜角α的取值范围为 ，并规定当直线 l 与 x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0°.提醒 在倾斜角的定义中，要注意三个条件：①直线向上的方向；② x 轴的正向；③小于平角的非负角.0°≤α＜180° 知识点二 直线的斜率1. 定义：一条直线的倾斜角α的 值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母 k 表示，即 k ＝ . 正切 tan α 1. 任何一条直线都有倾斜角吗？任何一条直线都有斜率吗？提示：任何一条直线都有倾斜角.但倾斜角为90°的直线没有斜率.2. 直线的倾斜角越大，斜率就越大吗？提示：不是，如60°＜120°，但斜率分别为 和－ ＞－.应分区间说明，当α∈[0°，90°）和α∈（90°，180°）时，上述结论在这两个区间分别成立.【想一想】知识点三 直线的方向向量 设 P1（ x1， y1）， P2（ x2， y2）（ x1≠ x2）是直线 l 上的两点，则向量 ＝（ x2－ x1， y2－ y1）以及与它平行的向量都是直线的 .若直线 l 的斜率为 k ，它的一个方向向量的坐标为（ x ， y ），则 k ＝ .方向向量 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）若α是直线 l 的倾斜角，则0°≤α≤180°. （ × ）（2）若 k 是直线的斜率，则 k ∈R. （ √ ）（3）经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线. （ × ）×√×2. 已知直线 l 的倾斜角为30°，则直线 l 的斜率为（ ）C. 1解析： 由题意可知，直线 l 的斜率 k ＝tan 30°＝ .3. 过点 P （2，1）， Q （4，5）的直线斜率为（ ）A. 1 B. 2C. 3解析： 直线的斜率 k ＝ ＝2，故选B.4. 已知直线 l 的一方向向量为（1， ），则直线 l 的倾斜角为 .解析：∵直线 l 的斜率 k ＝ ＝ ，即tan α＝ ，又0°≤α＜180°，故直线 l 的倾斜角为60°.60° 典型例题·精研析02课堂互动 关键能力提升题型一 直线的倾斜角【例1】 （1）若直线 l 向上的方向与 y 轴正向之间所成的角为30°，则直线 l 的倾斜角为（ D ）A. 30° B. 60°C. 30°或150° D. 60°或120°解析： 如图，直线 l 有两种情况，故 l 的倾斜角为60°或120°.D（2）已知直线 l 经过第二、四象限，则直线 l 的倾斜角α的取值范围是（ C ）A. 0°≤α＜90° B. 90°≤α＜180°C. 90°＜α＜180° D. 0°＜α＜180°C解析：直线的倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线 l 经过第二、四象限，所以直线 l 的倾斜角α的取值范围是90°＜α＜180°.通性通法直线倾斜角的求法及注意点（1）直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论；（2）注意倾斜角的范围.【跟踪训练】1. （2024·丽水月考）已知直线 l1的倾斜角α1＝60°，直线 l2与 l1垂直，则直线 l2的倾斜角α2为（ ）A. 30° B. 60°C. 120° D. 150°解析： 画出示意图如图所示.因为直线 l2与 l1垂直，所以α2＝α1＋90°＝150°，即直线 l2的倾斜角为150°.2. （多选）设直线 l 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将 l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线 l1，那么 l1的倾斜角可能为（ ）A. α＋45° B. α－135°C. 135°－α D. α－45°解析： 根据题意，画出图形，如图所示，通过图象可知：当0°≤α＜135°， l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时， l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.题型二 直线的斜率【例2】 （2024·江门质检）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并指出直线的倾斜角α.（1） A （2，3）， B （4，5）；解： 存在.直线 AB 的斜率 kAB ＝ ＝1，即tan α＝1，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝45°.（2） C （－2，3）， D （2，－1）；解：存在.直线 CD 的斜率 kCD ＝ ＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝135°.（3） P （ a ，2）， Q （3，6）.解：当 a ＝3时，斜率不存在，直线的倾斜角为90°；当 a ≠3时，直线的斜率 k ＝ 且倾斜角α满足tan α＝ .通性通法解决斜率问题的方法（1）由倾斜角（范围）求斜率（范围），利用定义式 k ＝tan α（α≠90°）解决；（2）由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式 k ＝ （ x1≠x2）求解.【跟踪训练】1. 已知过两点 A （4， y ）， B （2，－3）的直线的倾斜角为135°，则y ＝ .解析：直线 AB 的斜率 k ＝tan 135°＝－1，又 k ＝ ＝－1，得 y ＝－5.－5 2. （2024·阳江月考）直线 l1经过两点 A （0，0）， B （ ，1），直线 l2的倾斜角是直线 l1的倾斜角的2倍，则 l2的斜率为 .解析：因为直线 l1的斜率为 ＝ ，所以直线 l1的倾斜角为 .又因为直线 l2的倾斜角是直线 l1的倾斜角的2倍，所以直线 l2的倾斜角为 ，则斜率为tan ＝ . 题型三 直线斜率与倾斜角的应用【例3】 （1）若 A （－2，3）， B （ m ，－2）， C （4，－3）三点共线，则实数 m ＝ ；解析： 因为 A （－2，3）， B （ m ，－2）， C （4，－3）三点共线，且 kAB ＝ ， kAC ＝ ＝－1，所以直线 AB ， AC 的斜率存在，且 kAB ＝ kAC ，即 ＝－1，解得 m ＝3.3 （2）直线 l 过点 P （1，0），且与以 A （2，1）， B （0， ）为端点的线段有公共点，则直线 l 的斜率的范围为 ]∪[1，＋∞） ，倾斜角的范围为 .解析：如图所示.因为 kAP ＝ ＝1， kBP ＝＝－ .所以 k ∈（－∞，－ ]∪[1，＋∞）.所以 ≤α≤ .（－∞，－]∪[1，＋∞） 通性通法1. 用斜率公式解决三点共线的方法2. 求代数式 最值或范围的方法由斜率公式 k ＝ 的形式，可知代数式 的几何意义是过 P（ x ， y ）与P'（ a ， b ）两点的直线的斜率.故可以利用数形结合来求解.【跟踪训练】 （2024·安阳月考）已知直线 l 经过点 A （1，2），且不经过第四象限，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是（ ）A. （－1，0] B. [0，1]C. [1，2] D. [0，2]解析： 如图，当直线 l 位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线 l 的斜率满足0≤ k ≤2.故选D.1. （2024·宿迁质检）图中α能表示直线 l 的倾斜角的是（ ）解析： 结合直线 l 的倾斜角的定义可知A可以.2. 下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是（ ）A. （4，2）与（－4，1）B. （0，3）与（3，0）C. （3，－1）与（2，－1）D. （－2，2）与（－2，5）解析： D项，因为 x1＝ x2＝－2，所以直线垂直于 x 轴，倾斜角为90°，斜率不存在.3. 过 A （4， y ）， B （2，－3）两点的直线的一个方向向量为 n ＝（－1，－1），则 y ＝（ ）解析： 法一 由直线的方向向量为 n ＝（－1，－1），得直线的斜率为 ＝1，所以 ＝1，解得 y ＝－1.法二 由题意得 ＝（－2，－3－ y ）.又直线 AB 的一个方向向量为n ＝（－1，－1），所以 n ∥ ，所以（－2）×（－1）－（－3－y ）×（－1）＝0，解得 y ＝－1.C. －1 D. 1知能演练·扣课标03课后巩固 核心素养落地1. 给出下列命题，其中为真命题的是（ ）A. 任意一条直线都有唯一的倾斜角B. 一条直线的倾斜角可以为－30°C. 倾斜角为0°的直线只有一条，即 x 轴解析： 任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于 y 轴，因此A正确，B、C错误.D中α有可能为135°，故D错误.123456789101112131415162. 若直线过坐标平面内两点（4，2），（1，2＋ ），则此直线的倾斜角是（ ）A. 30° B. 150°C. 60° D. 120°解析： 由题意知 k ＝ ＝－ ，∴直线的倾斜角为150°.123456789101112131415163. 若经过 A （ m ，3）， B （1，2）两点的直线的倾斜角为45°，则 m＝（ ）A. 2 B. 1C. －1 D. －2解析： 由题意知，tan 45°＝ ，得 m ＝2.123456789101112131415164. （2024·佛山月考）已知直线 PQ 的斜率为－ ，将直线 PQ 绕点 P顺时针旋转60°，所得的直线的斜率是（ ）A. 0解析： 由题意，知直线 PQ 的倾斜角为120°，直线 PQ 绕点 P 顺时针旋转60°，所得直线的倾斜角为60°，所以斜率为 .123456789101112131415165. “直线 l 的斜率不小于0”是“直线 l 的倾斜角为锐角”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件解析： 若直线 l 的斜率不小于0，则该直线的倾斜角为锐角或0°，若直线 l 的倾斜角为锐角，则该直线 l 的斜率为正数，即大于0，所以“直线 l 的斜率不小于0”是“直线 l 的倾斜角为锐角”的必要不充分条件.故选B.123456789101112131415166. （多选）已知点 A 的坐标为（3，4），在坐标轴上有一点 B ，若 kAB＝4，则点 B 的坐标可能为（ ）A. （0，－4） B. （4，0）C. （2，0） D. （0，－8）解析： 设 B （ x ，0）或（0， y ），因为 kAB ＝ 或 kAB ＝＝4或 ＝4，所以 x ＝2或 y ＝－8，所以点 B 的坐标为（2，0）或（0，－8）.123456789101112131415167. （2024·南平月考）已知点 A （ m ，－ m ＋3）， B （2， m －1）， C（－1，4），直线 AC 的斜率等于直线 BC 的斜率的3倍，则 m＝ .解析：由题意知直线 AC 的斜率存在，即 m ≠－1.所以 kAC ＝， kBC ＝ .所以 ＝3× .整理，得－ m －1＝（ m －5）（ m ＋1），即（ m ＋1）（ m －4）＝0.解得 m＝4或 m ＝－1（舍去）.所以 m ＝4.4 123456789101112131415168. 一束光线射到 x 轴上并经 x 轴反射，已知入射光线的倾斜角α1＝30°，则反射光线的倾斜角α2＝ .解析：作出入射光线和反射光线，如图.因为入射光线的倾斜角α1＝30°，所以入射角为60°.又反射角等于入射角，由图易知，反射光线的倾斜角为60°＋60°＋30°＝150°.150° 123456789101112131415169. （2024·福州质检）如图，已知直线 l1的倾斜角是150°， l2⊥ l1，垂足为 B . l1， l2与 x 轴分别相交于点 C ， A ， l3平分∠ BAC ，则 l3的倾斜角为 .解析：因为直线 l1的倾斜角为150°，所以∠ BCA ＝30°，所以 l3的倾斜角为 ×（90°－30°）＝30°.30° 1234567891011121314151610. 已知直线 l 经过两点 A （－1， m ）， B （ m ，1），问：当 m 取何值时：（1）直线 l 与 x 轴平行？解： 若直线 l 与 x 轴平行，则直线 l 的斜率 k ＝0，所以 m ＝1.（2）直线 l 的方向向量的坐标为（3，1）.解：直线 l 的方向向量的坐标为（3，1），故 k ＝＝ ，解得 m ＝ .12345678910111213141516（3）直线的倾斜角为45°？解：由题意可知，直线 l 的斜率 k ＝1，即 ＝1， 解得 m＝0.1234567891011121314151611. （2024·重庆质检）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.重庆千厮门嘉陵江大桥如图①所示，桥上共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列，示意图如图②所示.已知拉索上端相邻两个锚的间距｜ PiPi＋1｜（ i ＝1，2，3，…，9）均为3.4 m，拉索下端相邻两个锚的间距｜ AiAi＋1｜（ i ＝1，2，3，…，9）均为16 m.最短拉索的锚 P1， A1满足｜ OP1｜＝66 m，｜ OA1｜＝86 m，则最长拉索所在直线的斜率为（ ）A. ±0.47 B. ±0.45 C. ±0.42 D. ±0.4012345678910111213141516解析： 根据题意，得｜ OA10｜＝｜ OA1｜＋｜ A1 A10｜＝86＋9×16＝230 m，｜ OP10｜＝｜ OP1｜＋｜ P1 P10｜＝66＋9×3.4＝96.6 m.则右侧最长拉索所在直线的斜率 ＝－tan∠ OA10 P10＝－ ＝－0.42，同理，左侧最长拉索所在直线的斜率 ＝0.42.故选C.1234567891011121314151612. （多选）如图，直线 l1， l2， l3的斜率分别为 k1， k2， k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是（ ）A. k1＜ k3＜ k2 B. k3＜ k2＜ k1C. α1＜α3＜α2 D. α3＜α2＜α1解析： 由题图可知 k2＞ k3＞0， k1＜0，故 ＞α2＞α3＞0，且α1为钝角，即 k1＜ k3＜ k2，α3＜α2＜α1，故选A、D.12345678910111213141516 解析：由题意知，直线 MN 的斜率为 k ＝ ＝ m2≥0.设直线MN 的倾斜角为θ，则tan θ≥0.又θ∈[0，π），所以θ∈［0， ）.［0， ） 1234567891011121314151614. （2024·南阳质检）已知 A （1，2）， B （2，1）， C （0，m ）三点.（1）若过 A ， C 两点的直线的倾斜角为45°，求 m 的值；解： 过 A ， C 两点的直线的斜率为 kAC ＝ ＝2－ m ，又直线 AC 的倾斜角为45°，所以 kAC ＝tan 45°＝1＝2－ m ，解得 m ＝1.12345678910111213141516（2） A ， B ， C 三点可能共线吗？若能，求出 m 的值；若不能，请说明理由.解：能.由题意知 kAC ＝ ＝2－ m ， kAB ＝ ＝－1.若 A ， B ， C 三点共线，则有 kAB ＝ kAC ，即－1＝2－ m ，解得 m ＝3，所以 A ， B ， C 三点能共线，且 m ＝3.1234567891011121314151615. （2024·泉州月考）函数 y ＝ f （ x ）的图象如图所示，在区间[ a ，b ]上可找到 n （ n ≥2）个不同的数 x1， x2，…， xn ，使得＝ ＝…＝ ，则 n 的取值范围是（ ）A. {3，4} B. {2，3，4}C. {3，4，5} D. {2，3}12345678910111213141516解析： 由题意，函数 y ＝ f （ x ）的图象上的任一点坐标为（ x ， f （ x ）），故 表示曲线上任一点与坐标原点连线的斜率.若 ＝＝…＝ ，则曲线上存在 n 个点与原点连线的斜率相等，即过原点的直线与曲线 y ＝ f （ x ）有 n个交点.如图，数形结合可得 n 的取值可为2，3，4.1234567891011121314151616. 已知坐标平面内三点 A （－1，1）， B （1，1）， C （2， ＋1）.（1）求直线 AB ， BC ， AC 的斜率和倾斜角；解： 由斜率公式得 kAB ＝ ＝0，kBC ＝ ＝ ， kAC ＝ ＝ .又倾斜角的取值在[0°，180°）范围内，∵tan 0°＝0，∴直线 AB 的倾斜角为0°.∵tan 60°＝ ，∴直线 BC 的倾斜角为60°.∵tan 30°＝ ，∴直线 AC 的倾斜角为30°.12345678910111213141516（2）若 D 为△ ABC 的边 AB 上一动点，求直线 CD 的斜率 k 的取值范围.解： 如图，直线 CD 绕点 C 旋转，当直线CD 由 CA 逆时针转到 CB 时，直线 CD 与 AB 恒有交点，即 D 在线段 AB 上，此时 k 由 kCA 增大到 kCB ，∴ k 的取值范围为 .12345678910111213141516谢 谢 观 看！12345678910111213141516 展开更多...... 收起↑ 资源列表 2.1.1 倾斜角与斜率.docx 2.1.1 倾斜角与斜率.pptx 2.1.1 倾斜角与斜率（练习，含解析）.docx
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