资源简介 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定1.（2024·韶关月考）下列说法正确的是（ ）A.若l1∥l2，则k1＝k2B.若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1C.若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2D.只有斜率相等的两条直线才平行2.已知直线l1的倾斜角为30°，且直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为（ ）A.－ B.C.－ D.3.过点A（2，5）和点B（－4，5）的直线与直线y＝3的位置关系是（ ）A.相交 B.平行C.重合 D.以上都不对4.直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点（－1，1）且与y轴交于点P，则P点坐标为（ ）A.（3，0） B.（－3，0）C.（0，－3） D.（0，3）5.（2024·梅州月考）已知直线l的倾斜角为10°，直线l1∥l，直线l2⊥l，则l1与l2的倾斜角分别为（ ）A.10°，10° B.80°，80°C.10°，100° D.100°，10°6.（多选）以A（－1，1），B（2，－1），C（1，4）为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ）A.kAB＝－B.kBC＝－C.△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形D.△ABC是以B点为直角顶点的直角三角形7.若不同两点P，Q的坐标分别为（a，b），（3－b，3－a），则线段PQ的垂直平分线的斜率为 .8.（2024·许昌月考）直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝ .若l1∥l2，则m＝ .9.（2024·开封月考）已知点A（－3，－2），B（6，1），点P在直线y＝x上，且∠BAP＝90°，则点P的坐标是 .10.当m为何值时，过两点A（1，1），B（2m2＋1，m－2）的直线：（1）倾斜角为135°；（2）与过两点（3，2），（0，－7）的直线垂直；（3）与过两点（2，－3），（－4，9）的直线平行.11.（2024·广州月考）已知A（1，2），B（－1，0），C（2，－1），若平面ABC内一点D满足CD⊥AB，且BC∥AD，则点D的坐标为（ ）A.（－2，－3） B.（2，－3）C.（2，3） D.（－2，3）12.（多选）如图所示，在平面直角坐标系中，以O（0，0），A（1，1），B（3，0）为顶点构造平行四边形，下列各点中能作为平行四边形顶点坐标的是（ ）A.（－3，1） B.（4，1）C.（－2，1） D.（2，－1）13.已知△ABC的顶点B（2，1），C（－6，3），其垂心为H（－3，2），则其顶点A的坐标为 .14.（2024·绍兴质检）已知A（0，3），B（－1，0），C（3，0），求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形（A，B，C，D按逆时针方向排列）.15.直线l的倾斜角为30°，点P（2，1）在直线l上，直线l绕点P（2，1）按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A（1，m－1），B（m，2），则m＝ .16.已知M（1，－1），N（2，2），P（3，0）.（1）求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ；（2）若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角.2.1.2 两条直线平行和垂直的判定1.C 对于A，若直线l1∥l2，则直线的倾斜角相等，但斜率不一定存在，所以A错误；对于B，当一条直线与x轴垂直时，斜率不存在，所以B错误；对于C，由两直线平行得倾斜角一定相等，所以C正确；对于D，斜率不存在的两直线也能够平行，所以D错误.2.C 由题意可得直线l1的斜率为.由直线l1⊥l2，得直线l2的斜率为－.3.B 易知两直线斜率都为0且不重合，所以两直线平行.4.D 设P（0，y），因为l1∥l2，所以＝2，所以y＝3.即P（0，3）.5.C 如图，∵l∥l1，∴l1的倾斜角为10°，∵l2⊥l，∴l2的倾斜角为90°＋10°＝100°.6.AC 由题意，kBC＝＝－5，kAB＝＝－，kAC＝＝，∵kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∴△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形，故A、C正确，B、D错误.7.－1 解析：若a＝3－b，则P，Q两点重合，不合题意.故PQ斜率存在.由kPQ＝＝1，得线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.8.－2 2 解析：由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2＝，若l1⊥l2，则＝－1，∴m＝－2.若l1∥l2，则k1＝k2，即关于k的一元二次方程2k2－4k＋m＝0有两个相等的实根，∴Δ＝（－4）2－4×2×m＝0，∴m＝2.9. 解析：设P（y，y），由∠BAP＝90°知，kAB·kAP＝×＝＝－1，解得y＝－.所以点P的坐标是.10.解：（1）由kAB＝＝tan 135°＝－1，得2m2＋m－3＝0，解得m＝－或1.（2）由＝3及垂直关系，得＝－，解得m＝或－3.（3）由＝＝－2，解得m＝或－1.11.D 设D（x，y）.由CD⊥AB，且BC∥AD，得解得所以D（－2，3）.故选D.12.BCD 如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即 AOBC1， ABOC2， AOC3B.根据平行四边形的性质，可知选项B、C、D中的点分别是点C1，C2，C3的坐标.13.（－19，－62） 解析：设A（x，y），由已知，得AH⊥BC，BH⊥AC，且直线AH，BH的斜率存在，所以即解得即A（－19，－62）.14.解：设所求点D的坐标为（x，y），如图，由于kAB＝3，kBC＝0，∴kAB·kBC＝0≠－1，即AB与BC不垂直，故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰.若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB，AD⊥CD.∵kAD＝，kCD＝，由于AD⊥AB，∴·3＝－1. ①又AB∥CD，∴＝3. ②解①②两式可得此时AD与BC不平行.若DC为直角梯形的直角腰，则DC⊥BC，且AD∥BC.∵kBC＝0，∴DC的斜率不存在.故x＝3，又AD∥BC，则y＝3.故D点坐标为（3，3）.综上可知，使四边形ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为（3，3）或.15.4＋ 解析：如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝.由l1∥l2知，直线l2的斜率k2＝k1＝.∴直线AB的斜率存在，且kAB＝－＝－.∴＝＝－，解得m＝4＋.16.解：（1）设Q（x，y），由已知得kMN＝3，由PQ⊥MN，可得kPQ·kMN＝－1，即×3＝－1. ①由已知得kPN＝－2，由PN∥MQ，可得kPN＝kMQ，即＝－2. ②联立①②解得即Q（0，1）.（2）设Q（x，0），∵∠NQP＝∠NPQ，∴kNQ＝－kNP.又∵kNQ＝，kNP＝－2，∴＝2，即x＝1，∴Q（1，0）.又∵M（1，－1），∴MQ⊥x轴，故直线MQ的倾斜角为90°.1 / 22.1.2 两条直线平行和垂直的判定新课程标准解读 核心素养1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直 数学运算、逻辑推理2.能应用两条直线平行或垂直解决有关问题 数学运算、逻辑推理如图所示是人们平常所说的飞机拉烟，每一道拉烟之间有怎样的位置关系？【问题】 （1）在平面直角坐标中，若l1∥l2，则它们的倾斜角α1与α2有什么关系？（2）若l1∥l2，则l1，l2的斜率相等吗？ 知识点 两条直线平行与垂直1.对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2 .2.如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于 ；反之，如果它们的斜率之积等于 ，那么它们互相垂直，即l1⊥l2 .提醒 （1）l1∥l2 k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合.（2）l1⊥l2 k1k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0.1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2.（ ）（2）若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1.（ ）（3）若直线l1的斜率为a，且l1⊥l2，则l2的斜率为－.（ ）（4）若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行.（ ）2.（2024·中山月考）已知直线l1经过A（－3，2），B（1，－2）两点，直线l2的倾斜角为45°，那么l1与l2（ ）A.平行 B.垂直C.重合 D.相交但不垂直3.直线l1过点A（m，1），B（－3，4），直线l2过点C（0，2），D（1，1），且l1∥l2，则m＝ .题型一 两条直线平行的判定及应用【例1】 判断下列直线l1与l2是否平行：（1）l1经过点A（－1，－2），B（2，1），l2经过点M（3，4），N（－1，－1）；（2）l1的斜率为1，l2经过点A（1，1），B（2，2）；（3）l1经过点A（－3，2），B（－3，10），l2经过点M（5，－2），N（5，5）.通性通法判断两条不重合直线是否平行的步骤提醒 在证明（判断）两直线平行时，要区分平行与重合，必须强调不共线才能确定平行，因为两直线重合也可以推出两条直线的斜率相等.【跟踪训练】1.（2024·云浮月考）若过点A（m＋1，0），B（－5，m）的直线与过点C（－4，3），D（0，5）的直线平行，则m＝ .2.已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0，0），B（2，－1），C（4，2），D（2，3），试判断四边形ABCD是否为平行四边形，并给出证明.题型二 两直线垂直的判定及应用【例2】 （多选）下列各对直线互相垂直的是（ ）A.l1过点M（1，1），N（1，2），l2过点P（1，5），Q（3，5）B.l1的斜率为－，l2过点P（1，1），Q（0，－）C.l1的倾斜角为30°，l2过点P（3，），Q（4，2）D.l1过点M（1，0），N（4，－5），l2过点P（－6，0），Q（－1，3）通性通法判断两直线是否垂直的策略 在这两条直线的斜率都存在的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直.【跟踪训练】1.（2024·洛阳月考）直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是（ ）A.平行 B.重合C.相交但不垂直 D.垂直2.点A（－1，1），B（3，－1），C（1，5）为直角三角形的三个顶点，则直角顶点为 .题型三 两直线平行与垂直的综合应用【例3】 （2024·济南质检）已知A（－4，3），B（2，5），C（6，3），D（－3，0）四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判断四边形ABCD的形状.通性通法【跟踪训练】 （2024·福州月考）已知 ABCD中，A（1，2），B（5，0），C（3，4）.（1）求点D的坐标；（2）试判断 ABCD是否为菱形？1.已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A（1，），B（－2，－2），则直线l1，l2的位置关系是（ ）A.平行或重合 B.平行C.垂直 D.重合2.（2024·南通质检）已知直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A（1，2），B（a－1，3）.若l1∥l2，则实数a＝（ ）A.－3 B.1C. D.3.（多选）已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为（ ）A. B.－C.a D.不存在4.若直线l经过点（a－2，－1）和（－a－2，1），且与斜率为－的直线垂直，则实数a的值为 .2.1.2 两条直线平行和垂直的判定【基础知识·重落实】知识点1.k1＝k2 2.－1 －1 k1k2＝－1自我诊断1.（1）× （2）× （3）× （4）√2.B 由题意可得直线l1的斜率k1＝＝－1，直线l2的斜率k2＝tan 45°＝1.∵k1k2＝－1，则l1与l2垂直.故选B.3.0 解析：∵l1∥l2，且k2＝＝－1，∴k1＝＝－1，∴m＝0.【典型例题·精研析】【例1】 解：（1）设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1＝＝1，k2＝＝，因为k1≠k2，所以l1与l2不平行.（2）设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1＝1，k2＝＝1，因为k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合.（3）由各点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且l1与l2不重合，故l1∥l2.跟踪训练1.－2 解析：由题意直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在.kAB＝＝，kCD＝＝，由于AB∥CD，所以kAB＝kCD，即＝，得m＝－2.经验证m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2.2.解：四边形ABCD是平行四边形，证明如下：AB边所在直线的斜率kAB＝－，CD边所在直线的斜率kCD＝－，BC边所在直线的斜率kBC＝，DA边所在直线的斜率kDA＝.因为kAB＝kCD，kBC＝kDA，所以AB∥CD，BC∥DA.因此四边形ABCD是平行四边形.【例2】 ABD A中，l1与x轴垂直，l2与x轴平行，故两直线垂直；B中，l2过点P（1，1），Q，kPQ＝，故两条直线垂直；C中，kPQ＝，故l1与l2不垂直；D中，l1过点M（1，0），N（4，－5），kMN＝－，l2过点P（－6，0），Q（－1，3），kPQ＝，故两条直线垂直.跟踪训练1.D 设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.∵直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，∴k1k2＝－1，∴l1⊥l2.故选D.2.A 解析：因为A（－1，1），B（3，－1），C（1，5），所以kAB＝＝－，kAC＝＝2.所以kAB·kAC＝－1，所以AB⊥AC，所以角A为直角.【例3】 解：由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图所示，由斜率公式可得kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－.所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD.由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行.又因为kAB·kAD＝×（－3）＝－1，所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形.跟踪训练 解：（1）设D点坐标为（a，b），因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，所以解得所以D（－1，6）.（2）因为kAC＝＝1，kBD＝＝－1，所以kAC·kBD＝－1，所以AC⊥BD，所以 ABCD为菱形.随堂检测1.A 由题意可知直线l1的斜率k1＝tan 60°＝，直线l2的斜率k2＝＝.因为k1＝k2，所以l1∥l2或l1，l2重合.2.C 因为直线l2经过点A（1，2），B（a－1，3），所以直线l2的斜率k2＝.因为l1∥l2，所以＝，解得a＝.故选C.3.BD 当a≠0时，由l1⊥l2，可得直线l2的斜率为－；当a＝0时，由l1⊥l2，可得直线l2的斜率不存在.4.－ 解析：易知a＝0不符合题意.当a≠0时，直线l的斜率k＝＝－，由－·＝－1，得a＝－.3 / 3(共55张PPT)2.1.2 两条直线平行和垂直的判定目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03新课程标准解读 核心素养1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直 数学运算、逻辑推理2.能应用两条直线平行或垂直解决有关问题 数学运算、逻辑推理基础知识·重落实01课前预习 必备知识梳理如图所示是人们平常所说的飞机拉烟，每一道拉烟之间有怎样的位置关系？【问题】 （1）在平面直角坐标中，若 l1∥ l2，则它们的倾斜角α1与α2有什么关系？（2）若 l1∥ l2，则 l1， l2的斜率相等吗？知识点 两条直线平行与垂直1. 对于两条不重合的直线 l1， l2，其斜率分别为 k1， k2，有 l1∥l2 .2. 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于 ；反之，如果它们的斜率之积等于 ，那么它们互相垂直，即 l1⊥ l2 .k1＝ k2 －1 －1 k1 k2＝－1 提醒 （1） l1∥ l2 k1＝ k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；② l1与 l2不重合.（2） l1⊥ l2 k1 k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；② k1≠0且 k2≠0.1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）若直线 l1与 l2倾斜角相等，则 l1∥ l2. （ × ）（2）若直线 l1⊥ l2，则 k1 k2＝－1. （ × ）（3）若直线 l1的斜率为 a ，且 l1⊥ l2，则 l2的斜率为－ .（ × ）（4）若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行. （ √ ）×××√2. （2024·中山月考）已知直线 l1经过 A （－3，2）， B （1，－2）两点，直线 l2的倾斜角为45°，那么 l1与 l2（ ）A. 平行 B. 垂直C. 重合 D. 相交但不垂直解析： 由题意可得直线 l1的斜率 k1＝ ＝－1，直线 l2的斜率 k2＝tan 45°＝1.∵ k1 k2＝－1，则 l1与 l2垂直.故选B.3. 直线 l1过点 A （ m ，1）， B （－3，4），直线 l2过点 C （0，2），D （1，1），且 l1∥ l2，则 m ＝ .解析：∵ l1∥ l2，且 k2＝ ＝－1，∴ k1＝ ＝－1，∴ m ＝0.0 典型例题·精研析02课堂互动 关键能力提升题型一 两条直线平行的判定及应用【例1】 判断下列直线 l1与 l2是否平行：（1） l1经过点 A （－1，－2）， B （2，1）， l2经过点 M （3，4），N （－1，－1）；解： 设直线 l1， l2的斜率分别为 k1， k2，则 k1＝ ＝1， k2＝ ＝ ，因为 k1≠ k2，所以 l1与 l2不平行.（2） l1的斜率为1， l2经过点 A （1，1）， B （2，2）；解： 设直线 l1， l2的斜率分别为 k1， k2，则 k1＝1， k2＝＝1，因为 k1＝ k2，所以 l1∥ l2或 l1与 l2重合.（3） l1经过点 A （－3，2）， B （－3，10）， l2经过点 M （5，－2）， N （5，5）.解： 由各点的坐标，得 l1与 l2均与 x 轴垂直且 l1与 l2不重合，故 l1∥ l2.通性通法判断两条不重合直线是否平行的步骤提醒 在证明（判断）两直线平行时，要区分平行与重合，必须强调不共线才能确定平行，因为两直线重合也可以推出两条直线的斜率相等.【跟踪训练】1. （2024·云浮月考）若过点 A （ m ＋1，0）， B （－5， m ）的直线与过点 C （－4，3）， D （0，5）的直线平行，则 m ＝ .解析：由题意直线 CD 的斜率存在，则与其平行的直线 AB 的斜率也存在. kAB ＝ ＝ ， kCD ＝ ＝ ，由于 AB ∥CD ，所以 kAB ＝ kCD ，即 ＝ ，得 m ＝－2.经验证 m ＝－2时直线 AB 的斜率存在，所以 m ＝－2.－2 解：四边形 ABCD 是平行四边形，证明如下：AB 边所在直线的斜率 kAB ＝－ ， CD 边所在直线的斜率 kCD ＝－ ，BC 边所在直线的斜率 kBC ＝ ， DA 边所在直线的斜率 kDA ＝ .因为 kAB ＝ kCD ， kBC ＝ kDA ，所以 AB ∥ CD ， BC ∥ DA .因此四边形 ABCD 是平行四边形.2. 已知四边形 ABCD 的四个顶点分别为 A （0，0）， B （2，－1），C （4，2）， D （2，3），试判断四边形 ABCD 是否为平行四边形，并给出证明.题型二 两直线垂直的判定及应用【例2】 （多选）下列各对直线互相垂直的是（ ）A. l1过点 M （1，1）， N （1，2）， l2过点 P （1，5）， Q （3，5）D. l1过点 M （1，0）， N （4，－5）， l2过点 P （－6，0）， Q （－1，3）解析： A中， l1与 x 轴垂直， l2与 x 轴平行，故两直线垂直；B中， l2过点 P （1，1）， Q ， kPQ ＝ ，故两条直线垂直；C中， kPQ ＝ ，故 l1与 l2不垂直；D中， l1过点 M （1，0）， N （4，－5）， kMN ＝－ ， l2过点 P （－6，0）， Q （－1，3）， kPQ ＝ ，故两条直线垂直.通性通法判断两直线是否垂直的策略 在这两条直线的斜率都存在的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与 x 轴垂直，另一条直线与 x 轴平行或重合时，这两条直线也垂直.【跟踪训练】1. （2024·洛阳月考）直线 l1， l2的斜率是方程 x2－3 x －1＝0的两根，则 l1与 l2的位置关系是（ ）A. 平行 B. 重合C. 相交但不垂直 D. 垂直解析： 设直线 l1， l2的斜率分别为 k1， k2.∵直线 l1， l2的斜率是方程 x2－3 x －1＝0的两根，∴ k1 k2＝－1，∴ l1⊥ l2.故选D.2. 点 A （－1，1）， B （3，－1）， C （1，5）为直角三角形的三个顶点，则直角顶点为 .解析：因为 A （－1，1）， B （3，－1）， C （1，5），所以 kAB ＝＝－ ， kAC ＝ ＝2.所以 kAB · kAC ＝－1，所以 AB ⊥ AC ，所以角 A 为直角.A 题型三 两直线平行与垂直的综合应用【例3】 （2024·济南质检）已知 A （－4，3）， B （2，5）， C（6，3）， D （－3，0）四点，若顺次连接 A ， B ， C ， D 四点，试判断四边形 ABCD 的形状.解：由题意知 A ， B ， C ， D 四点在坐标平面内的位置如图所示，由斜率公式可得 kAB ＝ ＝， kCD ＝ ＝ ， kAD ＝ ＝－3， kBC ＝ ＝－ .所以 kAB ＝ kCD ，由图可知 AB 与 CD 不重合，所以 AB ∥ CD .由 kAD ≠ kBC ，所以 AD 与 BC 不平行.又因为 kAB · kAD ＝ ×（－3）＝－1，所以 AB ⊥ AD ，故四边形 ABCD 为直角梯形.通性通法【跟踪训练】 （2024·福州月考）已知 ABCD 中， A （1，2）， B （5，0）， C（3，4）.（1）求点 D 的坐标；解： 设 D 点坐标为（ a ， b ），因为四边形 ABCD 为平行四边形，所以 kAB ＝ kCD ， kAD ＝ kBC ，所以所以 D （－1，6）.（2）试判断 ABCD 是否为菱形？解：因为 kAC ＝ ＝1， kBD ＝ ＝－1，所以 kAC · kBD ＝－1，所以 AC ⊥ BD ，所以 ABCD 为菱形.1. 已知直线 l1的倾斜角为60°，直线 l2经过点 A （1， ）， B （－2，－2 ），则直线 l1， l2的位置关系是（ ）A. 平行或重合 B. 平行C. 垂直 D. 重合解析： 由题意可知直线 l1的斜率 k1＝tan 60°＝ ，直线 l2的斜率 k2＝ ＝ .因为 k1＝ k2，所以 l1∥ l2或 l1， l2重合.2. （2024·南通质检）已知直线 l1的斜率 k1＝ ，直线 l2经过点 A （1，2）， B （ a －1，3）.若 l1∥ l2，则实数 a ＝（ ）A. －3 B. 1解析： 因为直线 l2经过点 A （1，2）， B （ a －1，3），所以直线 l2的斜率 k2＝ .因为 l1∥ l2，所以 ＝ ，解得 a ＝ .故选C.3. （多选）已知直线 l1的斜率为 a ， l1⊥ l2，则 l2的斜率可以为（ ）C. a D. 不存在解析： 当 a ≠0时，由 l1⊥ l2，可得直线 l2的斜率为－ ；当 a＝0时，由 l1⊥ l2，可得直线 l2的斜率不存在.4. 若直线 l 经过点（ a －2，－1）和（－ a －2，1），且与斜率为－的直线垂直，则实数 a 的值为 .解析：易知 a ＝0不符合题意.当 a ≠0时，直线 l 的斜率 k ＝＝－ ，由－ · ＝－1，得 a ＝－ .－ 知能演练·扣课标03课后巩固 核心素养落地1. （2024·韶关月考）下列说法正确的是（ ）A. 若 l1∥ l2，则 k1＝ k2B. 若直线 l1⊥ l2，则 k1 k2＝－1C. 若 l1∥ l2，则倾斜角α1＝α2D. 只有斜率相等的两条直线才平行12345678910111213141516解析： 对于A，若直线 l1∥ l2，则直线的倾斜角相等，但斜率不一定存在，所以A错误；对于B，当一条直线与 x 轴垂直时，斜率不存在，所以B错误；对于C，由两直线平行得倾斜角一定相等，所以C正确；对于D，斜率不存在的两直线也能够平行，所以D错误.123456789101112131415162. 已知直线 l1的倾斜角为30°，且直线 l1⊥ l2，则直线 l2的斜率为（ ）解析： 由题意可得直线 l1的斜率为 .由直线 l1⊥ l2，得直线 l2的斜率为－ .123456789101112131415163. 过点 A （2，5）和点 B （－4，5）的直线与直线 y ＝3的位置关系是（ ）A. 相交 B. 平行C. 重合 D. 以上都不对解析： 易知两直线斜率都为0且不重合，所以两直线平行.123456789101112131415164. 直线 l1的斜率为2， l1∥ l2，直线 l2过点（－1，1）且与 y 轴交于点P ，则 P 点坐标为（ ）A. （3，0） B. （－3，0）C. （0，－3） D. （0，3）解析： 设 P （0， y ），因为 l1∥ l2，所以 ＝2，所以 y ＝3.即P （0，3）.123456789101112131415165. （2024·梅州月考）已知直线 l 的倾斜角为10°，直线 l1∥ l ，直线 l2⊥l ，则 l1与 l2的倾斜角分别为（ ）A. 10°，10° B. 80°，80°C. 10°，100° D. 100°，10°解析： 如图，∵ l ∥ l1，∴ l1的倾斜角为10°，∵l2⊥ l ，∴ l2的倾斜角为90°＋10°＝100°.123456789101112131415166. （多选）以 A （－1，1）， B （2，－1）， C （1，4）为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ）C. △ ABC 是以 A 点为直角顶点的直角三角形D. △ ABC 是以 B 点为直角顶点的直角三角形12345678910111213141516解析： 由题意， kBC ＝ ＝－5， kAB ＝ ＝－ ，kAC ＝ ＝ ，∵ kAB · kAC ＝－1，∴ AB ⊥ AC ，∴△ ABC 是以 A点为直角顶点的直角三角形，故A、C正确，B、D错误.123456789101112131415167. 若不同两点 P ， Q 的坐标分别为（ a ， b ），（3－ b ，3－ a ），则线段 PQ 的垂直平分线的斜率为 .解析：若 a ＝3－ b ，则 P ， Q 两点重合，不合题意.故 PQ 斜率存在.由 kPQ ＝ ＝1，得线段 PQ 的垂直平分线的斜率为－1.－1 123456789101112131415168. （2024·许昌月考）直线 l1， l2的斜率 k1， k2是关于 k 的方程2 k2－4 k＋ m ＝0的两根，若 l1⊥ l2，则 m ＝ .若 l1∥ l2，则 m ＝ .解析：由一元二次方程根与系数的关系得 k1· k2＝ ，若 l1⊥ l2，则＝－1，∴ m ＝－2.若 l1∥ l2，则 k1＝ k2，即关于 k 的一元二次方程2k2－4 k ＋ m ＝0有两个相等的实根，∴Δ＝（－4）2－4×2× m ＝0，∴ m ＝2.－2 2 12345678910111213141516 解析：设 P （ y ， y ），由∠ BAP ＝90°知， kAB · kAP ＝ ×＝ ＝－1，解得 y ＝－ .所以点 P 的坐标是 . 1234567891011121314151610. 当 m 为何值时，过两点 A （1，1）， B （2 m2＋1， m －2）的直线：（1）倾斜角为135°；解： 由 kAB ＝ ＝tan 135°＝－1，得2 m2＋ m －3＝0，解得 m ＝－ 或1.（2）与过两点（3，2），（0，－7）的直线垂直；解： 由 ＝3及垂直关系，得 ＝－ ，解得 m ＝ 或－3.12345678910111213141516（3）与过两点（2，－3），（－4，9）的直线平行.解： 由 ＝ ＝－2，解得 m ＝ 或－1.1234567891011121314151611. （2024·广州月考）已知 A （1，2）， B （－1，0）， C （2，－1），若平面 ABC 内一点 D 满足 CD ⊥ AB ，且 BC ∥ AD ，则点 D的坐标为（ ）A. （－2，－3） B. （2，－3）C. （2，3） D. （－2，3）12345678910111213141516解析： 设 D （ x ， y ）.由 CD ⊥ AB ，且 BC ∥ AD ，得所以 D （－2，3）.故选D.1234567891011121314151612. （多选）如图所示，在平面直角坐标系中，以 O （0，0）， A（1，1）， B （3，0）为顶点构造平行四边形，下列各点中能作为平行四边形顶点坐标的是（ ）A. （－3，1） B. （4，1）C. （－2，1） D. （2，－1）解析： 如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即 AOBC1， ABOC2， AOC3 B . 根据平行四边形的性质，可知选项B、C、D中的点分别是点 C1， C2， C3的坐标.1234567891011121314151613. 已知△ ABC 的顶点 B （2，1）， C （－6，3），其垂心为 H （－3，2），则其顶点 A 的坐标为 .解析：设 A （ x ， y ），由已知，得 AH ⊥ BC ， BH ⊥ AC ，且直线AH ， BH 的斜率存在，所以即 A （－19，－62）.（－19，－62） 1234567891011121314151614. （2024·绍兴质检）已知 A （0，3）， B （－1，0）， C （3，0），求 D 点的坐标，使四边形 ABCD 为直角梯形（ A ， B ， C ，D 按逆时针方向排列）.解：设所求点 D 的坐标为（ x ， y ），如图，由于kAB ＝3， kBC ＝0，∴ kAB · kBC ＝0≠－1，即 AB 与BC 不垂直，故 AB ， BC 都不可作为直角梯形的直角腰.若 AD 是直角梯形的直角腰，则 AD ⊥ AB ， AD ⊥CD . ∵ kAD ＝ ， kCD ＝ ，由于 AD ⊥ AB ，∴ ·3＝－1. ①又 AB ∥ CD ，∴ ＝3. ②12345678910111213141516解①②两式可得此时 AD 与 BC 不平行.若 DC 为直角梯形的直角腰，则 DC ⊥ BC ，且 AD ∥ BC .∵ kBC ＝0，∴ DC 的斜率不存在.故 x ＝3，又 AD ∥ BC ，则 y ＝3.故 D 点坐标为（3，3）.综上可知，使四边形 ABCD 为直角梯形的点 D 的坐标可以为（3，3）或 .1234567891011121314151615. 直线 l 的倾斜角为30°，点 P （2，1）在直线 l 上，直线 l 绕点 P（2，1）按逆时针方向旋转30°后到达直线 l1的位置，此时直线 l1与 l2平行，且 l2是线段 AB 的垂直平分线，其中 A （1， m －1）， B（ m ，2），则 m ＝ .解析：如图，直线 l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，∴直线 l1的斜率 k1＝tan 60°＝ .由 l1∥ l2知，直线 l2的斜率 k2＝ k1＝ .∴直线 AB 的斜率存在，且 kAB ＝－ ＝－ .∴ ＝ ＝－ ，解得 m ＝4＋ .4＋ 1234567891011121314151616. 已知 M （1，－1）， N （2，2）， P （3，0）.（1）求点 Q 的坐标，满足 PQ ⊥ MN ， PN ∥ MQ ；解： 设 Q （ x ， y ），由已知得 kMN ＝3，由 PQ ⊥ MN ，可得 kPQ · kMN ＝－1，即 ×3＝－1. ①由已知得 kPN ＝－2，由 PN ∥ MQ ，可得 kPN ＝ kMQ ，即 ＝－2. ②联立①②解得即 Q （0，1）.12345678910111213141516（2）若点 Q 在 x 轴上，且∠ NQP ＝∠ NPQ ，求直线 MQ 的倾斜角.解： 设 Q （ x ，0），∵∠ NQP ＝∠ NPQ ，∴ kNQ ＝－ kNP .又∵ kNQ ＝ ， kNP ＝－2，∴ ＝2，即 x ＝1，∴ Q （1，0）.又∵ M （1，－1），∴ MQ ⊥ x 轴，故直线 MQ 的倾斜角为90°.12345678910111213141516谢 谢 观 看！ 展开更多...... 收起↑ 资源列表 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定.docx 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定.pptx 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定（练习，含解析）.docx
资源列表
