资源简介

2.2.1　直线的点斜式方程
1.已知某直线的倾斜角为30°，在y轴上的截距为2，则此直线的方程为（　　）
A.y＝x＋2 B.y＝－x＋2
C.y＝－x－2 D.y＝x－2
2.直线y－2＝－（x＋1）的倾斜角及在y轴上的截距分别为（　　）
A.60°，2　　　　　　　B.120°，2－
C.60°，2－ D.120°，2
3.（2024·商丘月考）经过点（－1，1），斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是（　　）
A.x＝－1 B.y＝1
C.y－1＝（x＋1） D.y－1＝2（x＋1）
4.过点（1，0）且与直线y＝x－1平行的直线的方程是（　　）
A.y＝x－ B.y＝x＋
C.y＝－2x＋2 D.y＝－x＋
5.（2024·苏州月考）若直线y＝ax＋b经过第一、二、三象限，则点（－a，－b）位于（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6.（多选）给出下列四个结论，正确的是（　　）
A.方程k＝与方程y－2＝k（x＋1）可表示同一直线
B.直线l过点P（x1，y1），倾斜角为90°，则其方程是x＝x1
C.直线l过点P（x1，y1），斜率为0，则其方程是y＝y1
D.所有的直线都有点斜式和斜截式方程
7.已知直线y＝ax－2和y＝（a＋2）x＋1互相垂直，则a＝　　　　.
8.（2024·宁德质检）在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是　　　　.
9.直线y＝kx＋2（k∈R）不过第三象限，则斜率k的取值范围是　　　　.
10.求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程：
（1）经过点（，－1）；
（2）在y轴上的截距是－5.
11.（2024·常州月考）直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a（ab≠0，a≠b）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（　　）
12.（多选）下列说法正确的有（　　）
A.若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则点（k，b）在第二象限
B.直线y＝ax－3a＋2过定点（3，2）
C.过点（2，－1）且斜率为－的直线的点斜式方程为y＋1＝－（x－2）
D.斜率为－2，在y轴截距为3的直线方程为y＝－2x±3
13.（2024·云浮质检）已知直线l的斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的周长是30，则直线l的方程为　　　　.
14.已知在平面直角坐标系中的两点A（8，－6），B（2，2）.
（1）求线段AB的中垂线的方程；
（2）求以向量为方向向量且过点P（2，－3）的直线l的方程.
15.在同一平面直角坐标系中，直线y＝kx＋b总是在直线y＝2x－3的上方，则实数k，b的取值应该满足的条件是（　　）
A.k＞2，b＞－3 B.k＞2，b＝－3
C.k＝2，b＞－3 D.k＝2，b＝－3
16.（2024·惠州质检）已知直线l过点（1，2）且在x，y轴上的截距相等.
（1）求直线l的方程；
（2）若直线l在x，y轴上的截距不为0，点P（a，b）在直线l上，求3a＋3b的最小值.
2.2.1　直线的点斜式方程
1.A　由题意得，直线的斜率k＝tan 30°＝，又直线在y轴上的截距为2，故直线的方程为y＝x＋2.故选A.
2.B　该直线的斜率为－，当x＝0时，y＝2－，∴其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－.
3.C　由方程知，已知直线的斜率为，所以所求直线的斜率是，由直线的点斜式方程可得方程为y－1＝（x＋1）.
4.A　与直线y＝x－1平行的直线的方程可设为y＝x＋c（c≠－1）.将点（1，0）代入，得0＝＋c，解得c＝－，故所求直线的方程为y＝x－.
5.C　因为直线y＝ax＋b经过第一、二、三象限，所以a＞0，b＞0，所以（－a，－b）位于第三象限，故选C.
6.BC　A不正确，方程k＝不含点（－1，2）；B正确；C正确；D只有k存在时成立.
7.－1　解析：由题意可知a·（a＋2）＝－1，解得a＝－1.
8.y＝x－6或y＝－x－6
解析：因为直线与y轴相交成30°角，所以直线的倾斜角为60°或120°，所以直线的斜率为或－，又因为在y轴上的截距为－6，所以直线的斜截式方程为y＝x－6或y＝－x－6.
9.（－∞，0]　解析：当k＝0时，直线y＝2不过第三象限；当k＞0时，直线过第三象限；当k＜0时，直线不过第三象限.
10.解：∵直线y＝－x＋1的斜率k＝－，
∴其倾斜角α＝120°，
由题意，得所求直线的倾斜角α1＝α＝30°，
故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝.
（1）∵所求直线经过点（，－1），斜率为，
∴所求直线方程是y＋1＝（x－）.
（2）∵所求直线的斜率是，在y轴上的截距为－5，
∴所求直线的方程为y＝x－5.
11.D　对于A，由l1得a＞0，b＜0，而由l2得a＞0，b＞0，矛盾；对于B，由l1得a＜0，b＞0，而由l2得a＞0，b＞0，矛盾；对于C，由l1得a＞0，b＜0，而由l2得a＜0，b＞0，矛盾；对于D，由l1得a＞0，b＞0，而由l2得a＞0，b＞0.故选D.
12.ABC　对于A，由直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，知直线的斜率k＜0，纵截距b＞0，故点（k，b）在第二象限，故A正确；对于B，直线方程y＝ax－3a＋2，整理得y－2＝a（x－3），可得此直线过定点（3，2），故B正确；对于C，由点斜式方程，知过点（2，－1）且斜率为－的直线的点斜式方程为y＋1＝－（x－2），故C正确；由直线的斜截式方程，得斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x＋3，故D错误.故选A、B、C.
13.y＝x±5　解析：由直线l的斜率为，可设直线l的方程为y＝x＋b.令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－b.由题意得｜b｜＋＋＝30.∴｜b｜＋｜b｜＋｜b｜＝30，∴b＝±5.∴所求直线l的方程为y＝x±5.
14.解：（1）易知线段AB的中点的坐标为（5，－2），
∵kAB＝＝－，
∴线段AB的中垂线的斜率为，
∴由直线的点斜式方程可得线段AB的中垂线的方程为y＋2＝（x－5），即y＝x－.
（2）由已知得＝（－6，8），则直线l的斜率为－，
由直线的点斜式方程得直线l的方程为y＋3＝－（x－2），即y＝－x－.
15.C　若两直线相交，则一定不满足题意，所以两直线平行，则k＝2.因为直线y＝kx＋b总是在直线y＝2x－3的上方，所以直线y＝kx＋b在y轴上的截距必大于直线y＝2x－3在y轴上的截距，即b＞－3.
16.解：（1）①当截距为0时，l：y＝2x；
②当截距不为0时，k＝－1，l：y－2＝－（x－1），
∴y＝－x＋3.
综上，l的方程为2x－y＝0或x＋y－3＝0.
（2）由题意得l：x＋y－3＝0，∴a＋b＝3，
∴3a＋3b≥2＝2＝6，
当且仅当a＝b＝时，等号成立，
∴3a＋3b的最小值为6.
2 / 22.2.1　直线的点斜式方程
新课程标准解读 核心素养
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程与斜截式方程 数学抽象、数学运算
2.会用直线的斜截式方程解决直线的平行与垂直问题 数学运算、逻辑推理
　
　　射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向.若把子弹飞行的轨迹看作一条直线，并且射击手达到了上述的两个动作要求.
【问题】　（1）托枪的手的位置相当于直线中哪个几何要素？
（2）试从数学角度分析子弹是否会命中目标？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　直线的点斜式与斜截式方程
名称 条件 方程 图形
点斜式 直线l过定点P0（x0，y0），斜率为k y－y0＝　　
斜截式 直线l的斜率为k，且与y轴的交点为（0，b）（直线l与y轴的交点（0，b）的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距） y＝　 　
【想一想】
1.若直线的倾斜角为0°，且经过点P0（x0，y0），能用点斜式表示吗？
2.直线与y轴的交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念吗？
3.直线的斜截式方程等同于一次函数的解析式吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）任何一条直线的方程都可以写成点斜式y－y0＝k（x－x0）.（　　）
（2）x轴所在的直线方程为x＝0.（　　）
（3）直线在y轴上的截距不能等于0.（　　）
（4）直线的点斜式方程也可写成＝k.（　　）
2.直线l的点斜式方程是y－1＝3（x＋2），则直线l的斜率是（　　）
A.2 B.－1
C.3 D.－3
3.已知过点A（，2）的直线l的倾斜角为60°，则直线l的方程为（　　）
A.y－2＝x－ B.y－2＝（x－）
C.y＋2＝（x＋） D.y＋2＝（x－）
4.（2024·徐州质检）直线y＝－3x－6的斜率为k，在y轴上的截距为b，则（　　）
A.k＝3，b＝6 B.k＝－3，b＝－6
C.k＝－3，b＝6 D.k＝3，b＝－6
题型一 直线的点斜式方程
【例1】　（2024·无锡月考）已知在第一象限的△ABC中，A（1，1），B（5，1），A＝60°，B＝45°，求：
（1）AB边所在直线的方程；
（2）AC边与BC边所在直线的点斜式方程.
通性通法
求直线的点斜式方程的思路
提醒　只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程.
【跟踪训练】
1.已知直线的方程为y＋2＝－x－1，则（　　）
A.该直线过点（－1，2），斜率为－1 B.该直线过点（－1，2），斜率为1
C.该直线过点（－1，－2），斜率为－1 D.该直线过点（－1，－2），斜率为1
2.（2024·龙岩月考）已知过定点（4，5）的直线m的一个方向向量是d＝（3，2），则直线m的点斜式方程为　　　　.
题型二 直线的斜截式方程
【例2】　（2024·金华月考）已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程.
【母题探究】
　（变条件）本例中若将“直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相等”改为“直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数”，求直线l的方程.
通性通法
求直线的斜截式方程应具备的条件
（1）斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在；
（2）直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可.
【跟踪训练】
　根据条件写出下列直线的斜截式方程：
（1）倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3；
（2）在y轴上的截距为－6，且与y轴夹角为60°.
题型三 直线斜截式方程的应用
【例3】　已知直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝（a2－2）x＋2.
（1）当a为何值时，l1∥l2？
（2）当a为何值时，l1⊥l2？
通性通法
两条直线平行和垂直的判定
（1）平行的判定
（2）垂直的判定
【跟踪训练】
1.若直线y＝kx－2与直线y＝3x垂直，则k＝（　　）
A.3　　　　　　　　B.
C.－3 D.－
2.已知直线l：y＝－x＋与直线l'：y＝x－平行，且直线l与y轴的交点为（0，1），则a＝　　　　，b＝　　　　.
1.若直线l的倾斜角为45°，且经过点（2，0），则直线l的方程是（　　）
A.y＝x＋2 B.y＝x－2
C.y＝x－ D.y＝x－2
2.（2024·厦门月考）方程y＝k（x－2）表示（　　）
A.经过点（－2，0）的所有直线
B.经过点（2，0）的所有直线
C.经过点（2，0）且不垂直于x轴的所有直线
D.经过点（2，0）且除去x轴的所有直线
3.直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则有（　　）
A.k＞0，b＞0 B.k＞0，b＜0
C.k＜0，b＞0 D.k＜0，b＜0
4.（2024·淮安月考）已知直线l的倾斜角为60°.
（1）若直线l过点P（，－2），求直线l的方程；
（2）若直线l在y轴上的截距为4，求直线l的方程.
2.2.1　直线的点斜式方程
【基础知识·重落实】
知识点
k（x－x0）　kx＋b
想一想
1.提示：能.
2.提示：不是同一概念，距离非负，而截距可正，可负，可为0.
3.提示：不一定.当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数，当k＝0时，y＝b不是一次函数.
自我诊断
1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）×
2.C
3.B
4.B
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）如图所示，因为A（1，1），B（5，1），所以AB∥x轴，
所以AB边所在直线的方程为y＝1.
（2）因为A＝60°，所以kAC＝tan 60°＝，
所以直线AC的点斜式方程为y－1＝（x－1）.
因为B＝45°，所以kBC＝tan 135°＝－1，
所以直线BC的点斜式方程为y－1＝－（x－5）.
跟踪训练
1.C　直线的方程可化为点斜式y－（－2）＝－[x－（－1）]，故直线过点（－1，－2），斜率为－1.
2.y－5＝（x－4）　解析：因为直线的一个方向向量d＝（3，2），所以直线的斜率为.又因为直线过点（4，5），所以直线的点斜式方程为y－5＝（x－4）.
【例2】　解：由斜截式方程知，直线l1的斜率k1＝－2，
又因为l∥l1，所以kl＝－2.
由题意知，l2在y轴上的截距为－2，
所以直线l在y轴上的截距为－2.
由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.
母题探究
　解：∵l1⊥l，直线l1：y＝－2x＋3，∴l的斜率为.
∵l与l2在y轴上的截距互为相反数，
直线l2：y＝4x－2，∴l在y轴上的截距为2.
∴直线l的方程为y＝x＋2.
跟踪训练
　解：（1）因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝.因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线的斜截式方程为y＝x＋3或y＝x－3.
（2）与y轴夹角为60°的直线的倾斜角为30°或150°，所以斜率k为tan 30°或tan 150°，即k＝±，故所求直线的斜截式方程为y＝±x－6.
【例3】　解：设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，
则k1＝－1，k2＝a2－2，
（1）当l1∥l2时，有解得a＝－1.
（2）当l1⊥l2时，k1k2＝－1，即a2－2＝1，
所以a2＝3，所以a＝±.
跟踪训练
1.D　由两直线相互垂直，其斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1，可得3·k＝－1，解得k＝－，故选D.
2.－　2　解析：由直线l：y＝－x＋与直线l'：y＝x－平行，且直线l与y轴的交点为（0，1），得解得
随堂检测
1.B　由题得直线l的斜率为1，由点斜式求得直线l的方程为y－0＝x－2，即y＝x－2.故选B.
2.C　易验证直线经过点（2，0），又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴.
3.B　∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k＞0，b＜0.
4.解：（1）∵直线l的倾斜角为60°，∴直线l的斜率为tan 60°＝，又直线l过点P（，－2），∴由直线的点斜式方程得，直线l的方程为y－（－2）＝（x－），即y＝x－5.
（2）∵直线l在y轴上的截距为4，∴由直线的斜截式方程得，直线l的方程为y＝x＋4.
4 / 4(共54张PPT)
2.2.1　
直线的点斜式方程
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
新课程标准解读 核心素养
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线
的点斜式方程与斜截式方程 数学抽象、
数学运算
2.会用直线的斜截式方程解决直线的平行与垂直问
题 数学运算、
逻辑推理
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手
要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向.若把子弹飞行的轨迹看作一条
直线，并且射击手达到了上述的两个动作要求.
【问题】　（1）托枪的手的位置相当于直线中哪个几何要素？
（2）试从数学角度分析子弹是否会命中目标？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知识点　直线的点斜式与斜截式方程
名称 条件 方程 图形
点斜式 直线 l 过定点 P0（ x0，
y0），斜率为 k y － y0＝

k （ x －
x0）　
名称 条件 方程 图形
斜截
式 直线 l 的斜率为 k ，且与 y
轴的交点为（0， b ）（直
线 l 与 y 轴的交点（0， b ）
的纵坐标 b 叫做直线 l 在 y
轴上的截距） y ＝
kx ＋ b 　
1. 若直线的倾斜角为0°，且经过点 P0（ x0， y0），能用点斜式表
示吗？
提示：能.
2. 直线与 y 轴的交点到原点的距离和直线在 y 轴上的截距是同一概
念吗？
提示：不是同一概念，距离非负，而截距可正，可负，可为0.
3. 直线的斜截式方程等同于一次函数的解析式吗？
提示：不一定.当 k ≠0时， y ＝ kx ＋ b 即为一次函数，当 k ＝0时， y
＝ b 不是一次函数.
【想一想】
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）任何一条直线的方程都可以写成点斜式 y － y0＝ k （ x － x0）.
（　×　）
（2） x 轴所在的直线方程为 x ＝0. （　×　）
（3）直线在 y 轴上的截距不能等于0. （　×　）
（4）直线的点斜式方程也可写成 ＝ k . （　×　）
×
×
×
×
2. 直线 l 的点斜式方程是 y －1＝3（ x ＋2），则直线 l 的斜率是（　　）
A. 2 B. －1
C. 3 D. －3
3. 已知过点 A （ ，2）的直线 l 的倾斜角为60°，则直线 l 的方程为
（　　）
A. y －2＝ x － B. y －2＝ （ x － ）
C. y ＋2＝ （ x ＋ ） D. y ＋2＝ （ x － ）
4. （2024·徐州质检）直线 y ＝－3 x －6的斜率为 k ，在 y 轴上的截距为
b ，则（　　）
A. k ＝3， b ＝6 B. k ＝－3， b ＝－6
C. k ＝－3， b ＝6 D. k ＝3， b ＝－6
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 直线的点斜式方程
【例1】　（2024·无锡月考）已知在第一象限的△ ABC 中， A （1，
1）， B （5，1）， A ＝60°， B ＝45°，求：
（1） AB 边所在直线的方程；
解： 如图所示，因为 A （1，1）， B
（5，1），所以 AB ∥ x 轴，
所以 AB 边所在直线的方程为 y ＝1.
（2） AC 边与 BC 边所在直线的点斜式方程.
解： 因为 A ＝60°，所以 kAC ＝tan 60°＝ ，
所以直线 AC 的点斜式方程为 y －1＝ （ x －1）.
因为 B ＝45°，所以 kBC ＝tan 135°＝－1，
所以直线 BC 的点斜式方程为 y －1＝－（ x －5）.
通性通法
求直线的点斜式方程的思路
提醒　只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程.
【跟踪训练】
1. 已知直线的方程为 y ＋2＝－ x －1，则（　　）
A. 该直线过点（－1，2），斜率为－1
B. 该直线过点（－1，2），斜率为1
C. 该直线过点（－1，－2），斜率为－1
D. 该直线过点（－1，－2），斜率为1
解析： 　直线的方程可化为点斜式 y －（－2）＝－[ x －（－
1）]，故直线过点（－1，－2），斜率为－1.
2. （2024·龙岩月考）已知过定点（4，5）的直线 m 的一个方向向量是
d ＝（3，2），则直线 m 的点斜式方程为 .
解析：因为直线的一个方向向量 d ＝（3，2），所以直线的斜率为
.又因为直线过点（4，5），所以直线的点斜式方程为 y －5＝ （ x
－4）.
y －5＝ （ x －4）　
题型二 直线的斜截式方程
【例2】　（2024·金华月考）已知直线 l1的方程为 y ＝－2 x ＋3， l2的
方程为 y ＝4 x －2，直线 l 与 l1平行且与 l2在 y 轴上的截距相同，求直线
l 的方程.
解：由斜截式方程知，直线 l1的斜率 k1＝－2，
又因为 l ∥ l1，所以 kl ＝－2.
由题意知， l2在 y 轴上的截距为－2，
所以直线 l 在 y 轴上的截距为－2.
由斜截式可得直线 l 的方程为 y ＝－2 x －2.
【母题探究】
（变条件）本例中若将“直线 l 与 l1平行且与 l2在 y 轴上的截距相等”
改为“直线 l 与 l1垂直且与 l2在 y 轴上的截距互为相反数”，求直线 l 的
方程.
解：∵ l1⊥ l ，直线 l1： y ＝－2 x ＋3，∴ l 的斜率为 .
∵ l 与 l2在 y 轴上的截距互为相反数，
直线 l2： y ＝4 x －2，∴ l 在 y 轴上的截距为2.
∴直线 l 的方程为 y ＝ x ＋2.
通性通法
求直线的斜截式方程应具备的条件
（1）斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在；
（2）直线的斜截式方程 y ＝ kx ＋ b 中只有两个参数，因此要确定直线
方程只需两个独立条件即可.
【跟踪训练】
　根据条件写出下列直线的斜截式方程：
（1）倾斜角为60°，与 y 轴的交点到坐标原点的距离为3；
解： 因为直线的倾斜角为60°，所以斜率 k ＝tan 60°＝ .
因为直线与 y 轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在 y 轴
上的截距 b ＝3或 b ＝－3，故所求直线的斜截式方程为 y ＝ x
＋3或 y ＝ x －3.
（2）在 y 轴上的截距为－6，且与 y 轴夹角为60°.
解： 与 y 轴夹角为60°的直线的倾斜角为30°或150°，所以
斜率 k 为tan 30°或tan 150°，即 k ＝± ，故所求直线的斜截式方
程为 y ＝± x －6.
题型三 直线斜截式方程的应用
【例3】　已知直线 l1： y ＝－ x ＋2 a 与直线 l2： y ＝（ a2－2） x ＋2.
（1）当 a 为何值时， l1∥ l2？
（1）当 l1∥ l2时，有解得 a ＝－1.
解：设直线 l1， l2的斜率分别为 k1， k2，
则 k1＝－1， k2＝ a2－2，
（2）当 a 为何值时， l1⊥ l2？
解：当 l1⊥ l2时， k1 k2＝－1，即 a2－2＝1，
所以 a2＝3，所以 a ＝± .
通性通法
两条直线平行和垂直的判定
（1）平行的判定
（2）垂直的判定
【跟踪训练】
1. 若直线 y ＝ kx －2与直线 y ＝3 x 垂直，则 k ＝（　　）
A. 3 B.
C. －3 D. －
解析： 　由两直线相互垂直，其斜率分别为 k1， k2，则 k1· k2＝－
1，可得3· k ＝－1，解得 k ＝－ ，故选D.
2. 已知直线 l ： y ＝－ x ＋ 与直线l'： y ＝ x － 平行，且直线 l 与 y
轴的交点为（0，1），则 a ＝ ， b ＝ .
解析：由直线 l ： y ＝－ x ＋ 与直线l'： y ＝ x － 平行，且直线 l
与 y 轴的交点为（0，1），得
－ 　
2　
1. 若直线 l 的倾斜角为45°，且经过点（2，0），则直线 l 的方程是
（　　）
A. y ＝ x ＋2 B. y ＝ x －2
C. y ＝ x － D. y ＝ x －2
解析： 　由题得直线 l 的斜率为1，由点斜式求得直线 l 的方程为 y
－0＝ x －2，即 y ＝ x －2.故选B.
2. （2024·厦门月考）方程 y ＝ k （ x －2）表示（　　）
A. 经过点（－2，0）的所有直线
B. 经过点（2，0）的所有直线
C. 经过点（2，0）且不垂直于 x 轴的所有直线
D. 经过点（2，0）且除去 x 轴的所有直线
解析： 　易验证直线经过点（2，0），又直线斜率存在，故直线
不垂直于 x 轴.
3. 直线 y ＝ kx ＋ b 经过第一、三、四象限，则有（　　）
A. k ＞0， b ＞0 B. k ＞0， b ＜0
C. k ＜0， b ＞0 D. k ＜0， b ＜0
解析： 　∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如
图所示，由图知， k ＞0， b ＜0.
4. （2024·淮安月考）已知直线 l 的倾斜角为60°.
（1）若直线 l 过点 P （ ，－2），求直线 l 的方程；
解： ∵直线 l 的倾斜角为60°，∴直线 l 的斜率为tan 60°
＝ ，又直线 l 过点 P （ ，－2），∴由直线的点斜式方
程得，直线 l 的方程为 y －（－2）＝ （ x － ），即 y ＝
x －5.
（2）若直线 l 在 y 轴上的截距为4，求直线 l 的方程.
解： ∵直线 l 在 y 轴上的截距为4，∴由直线的斜截式方
程得，直线 l 的方程为 y ＝ x ＋4.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知某直线的倾斜角为30°，在 y 轴上的截距为2，则此直线的方程
为（　　）
A. y ＝ x ＋2 B. y ＝－ x ＋2
C. y ＝－ x －2 D. y ＝ x －2
解析： 　由题意得，直线的斜率 k ＝tan 30°＝ ，又直线在 y 轴上
的截距为2，故直线的方程为 y ＝ x ＋2.故选A.
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2. 直线 y －2＝－ （ x ＋1）的倾斜角及在 y 轴上的截距分别为
（　　）
A. 60°，2 B. 120°，2－
C. 60°，2－ D. 120°，2
解析： 　该直线的斜率为－ ，当 x ＝0时， y ＝2－ ，∴其倾
斜角为120°，在 y 轴上的截距为2－ .
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3. （2024·商丘月考）经过点（－1，1），斜率是直线 y ＝ x －2的斜
率的2倍的直线方程是（　　）
A. x ＝－1 B. y ＝1
C. y －1＝ （ x ＋1） D. y －1＝2 （ x ＋1）
解析： 　由方程知，已知直线的斜率为 ，由直线的点斜式方程可得方程为 y －1＝ （ x ＋1）.
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4. 过点（1，0）且与直线 y ＝ x －1平行的直线的方程是（　　）
A. y ＝ x － B. y ＝ x ＋
C. y ＝－2 x ＋2 D. y ＝－ x ＋
解析： 　与直线 y ＝ x －1平行的直线的方程可设为 y ＝ x ＋ c
（ c ≠－1）.将点（1，0）代入，得0＝ ＋ c ，解得 c ＝－ ，故所
求直线的方程为 y ＝ x － .
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5. （2024·苏州月考）若直线 y ＝ ax ＋ b 经过第一、二、三象限，则点
（－ a ，－ b ）位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析： 　因为直线 y ＝ ax ＋ b 经过第一、二、三象限，所以 a ＞
0， b ＞0，所以（－ a ，－ b ）位于第三象限，故选C.
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6. （多选）给出下列四个结论，正确的是（　　）
A. 方程 k ＝ 与方程 y －2＝ k （ x ＋1）可表示同一直线
B. 直线 l 过点 P （ x1， y1），倾斜角为90°，则其方程是 x ＝ x1
C. 直线 l 过点 P （ x1， y1），斜率为0，则其方程是 y ＝ y1
D. 所有的直线都有点斜式和斜截式方程
解析： 　A不正确，方程 k ＝ 不含点（－1，2）；B正确；C
正确；D只有 k 存在时成立.
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7. 已知直线 y ＝ ax －2和 y ＝（ a ＋2） x ＋1互相垂直，则 a ＝ .
解析：由题意可知 a ·（ a ＋2）＝－1，解得 a ＝－1.
－1　
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8. （2024·宁德质检）在 y 轴上的截距为－6，且与 y 轴相交成30°角的
直线的斜截式方程是 .
解析：因为直线与 y 轴相交成30°角，所以直线的倾斜角为60°或
120°，所以直线的斜率为 或－ ，又因为在 y 轴上的截距为－
6，所以直线的斜截式方程为 y ＝ x －6或 y ＝－ x －6.
y ＝ x －6或 y ＝－ x －6　
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9. 直线 y ＝ kx ＋2（ k ∈R）不过第三象限，则斜率 k 的取值范围
是 .
解析：当 k ＝0时，直线 y ＝2不过第三象限；当 k ＞0时，直线过第
三象限；当 k ＜0时，直线不过第三象限.
（－∞，0]　
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10. 求倾斜角是直线 y ＝－ x ＋1的倾斜角的 ，且分别满足下列条
件的直线方程：
（1）经过点（ ，－1）；
（1）∵所求直线经过点（ ，－1），斜率为 ，
∴所求直线方程是 y ＋1＝ （ x － ）.
解：∵直线 y ＝－ x ＋1的斜率 k ＝－ ，
∴其倾斜角α＝120°，
由题意，得所求直线的倾斜角α1＝ α＝30°，
故所求直线的斜率 k1＝tan 30°＝ .
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（2）在 y 轴上的截距是－5.
解： ∵所求直线的斜率是 ，在 y 轴上的截距为－5，
∴所求直线的方程为 y ＝ x －5.
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11. （2024·常州月考）直线 l1： y ＝ ax ＋ b 与直线 l2： y ＝ bx ＋ a （ ab
≠0， a ≠ b ）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（　　）
解析： 　对于A，由 l1得 a ＞0， b ＜0，而由 l2得 a ＞0， b ＞0，
矛盾；对于B，由 l1得 a ＜0， b ＞0，而由 l2得 a ＞0， b ＞0，矛
盾；对于C，由 l1得 a ＞0， b ＜0，而由 l2得 a ＜0， b ＞0，矛盾；
对于D，由 l1得 a ＞0， b ＞0，而由 l2得 a ＞0， b ＞0.故选D.
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12. （多选）下列说法正确的有（　　）
A. 若直线 y ＝ kx ＋ b 经过第一、二、四象限，则点（ k ， b ）在第二象限
B. 直线 y ＝ ax －3 a ＋2过定点（3，2）
C. 过点（2，－1）且斜率为－ 的直线的点斜式方程为 y ＋1＝－ （ x －2）
D. 斜率为－2，在 y 轴截距为3的直线方程为 y ＝－2 x ±3
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解析： 　对于A，由直线 y ＝ kx ＋ b 经过第一、二、四象限，
知直线的斜率 k ＜0，纵截距 b ＞0，故点（ k ， b ）在第二象限，
故A正确；对于B，直线方程 y ＝ ax －3 a ＋2，整理得 y －2＝ a （ x
－3），可得此直线过定点（3，2），故B正确；对于C，由点斜
式方程，知过点（2，－1）且斜率为－ 的直线的点斜式方程为
y ＋1＝－ （ x －2），故C正确；由直线的斜截式方程，得斜率
为－2，在 y 轴上的截距为3的直线方程为 y ＝－2 x ＋3，故D错误.
故选A、B、C.
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13. （2024·云浮质检）已知直线 l 的斜率为 ，且与坐标轴所围成的
三角形的周长是30，则直线 l 的方程为 .
解析：由直线 l 的斜率为 ，可设直线 l 的方程为 y ＝ x ＋ b .令 x
＝0，得 y ＝ b ；令 y ＝0，得 x ＝－ b .由题意得｜ b ｜＋
＋ ＝30.∴｜ b ｜＋ ｜ b ｜＋ ｜ b ｜＝30，∴ b
＝±5.∴所求直线 l 的方程为 y ＝ x ±5.
y ＝ x ±5　
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14. 已知在平面直角坐标系中的两点 A （8，－6）， B （2，2）.
（1）求线段 AB 的中垂线的方程；
解： 易知线段 AB 的中点的坐标为（5，－2），
∵ kAB ＝ ＝－ ，
∴线段 AB 的中垂线的斜率为 ，
∴由直线的点斜式方程可得线段 AB 的中垂线的方程为 y ＋2
＝ （ x －5），即 y ＝ x － .
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（2）求以向量 为方向向量且过点 P （2，－3）的直线 l 的方程.
解： 由已知得 ＝（－6，8），则直线 l 的斜率为－ ，
由直线的点斜式方程得直线 l 的方程为 y ＋3＝－ （ x －
2），即 y ＝－ x － .
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15. 在同一平面直角坐标系中，直线 y ＝ kx ＋ b 总是在直线 y ＝2 x －3
的上方，则实数 k ， b 的取值应该满足的条件是（　　）
A. k ＞2， b ＞－3 B. k ＞2， b ＝－3
C. k ＝2， b ＞－3 D. k ＝2， b ＝－3
解析： 　若两直线相交，则一定不满足题意，所以两直线平行，
则 k ＝2.因为直线 y ＝ kx ＋ b 总是在直线 y ＝2 x －3的上方，所以直
线 y ＝ kx ＋ b 在 y 轴上的截距必大于直线 y ＝2 x －3在 y 轴上的截
距，即 b ＞－3.
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16. （2024·惠州质检）已知直线 l 过点（1，2）且在 x ， y 轴上的截距
相等.
（1）求直线 l 的方程；
解： ①当截距为0时， l ： y ＝2 x ；
②当截距不为0时， k ＝－1， l ： y －2＝－（ x －1），
∴ y ＝－ x ＋3.
综上， l 的方程为2 x － y ＝0或 x ＋ y －3＝0.
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（2）若直线 l 在 x ， y 轴上的截距不为0，点 P （ a ， b ）在直线 l
上，求3 a ＋3 b 的最小值.
解： 由题意得 l ： x ＋ y －3＝0，∴ a ＋ b ＝3，
∴3 a ＋3 b ≥2 ＝2 ＝6 ，
当且仅当 a ＝ b ＝ 时，等号成立，
∴3 a ＋3 b 的最小值为6 .
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