资源简介

2.2.2　直线的两点式方程
1.直线－＝1在y轴上的截距为（　　）
A.｜b｜　　　 B.－b　　　
C.b　　　 D.±b
2.已知直线l的两点式方程为＝，则l的斜率为（　　）
A.－ B.
C.－ D.
3.（2024·宁波月考）过点（－2，0）且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的方程是（　　）
A.＋y＝1
B.＋＝1或＋＝1
C.＋＝1
D.＋y＝1或＋＝1
4.（2024·滨州月考）两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是（　　）
5.（多选）下列说法正确的是（　　）
A.不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示
B.若直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，且线段AB的中点为（4，1），则直线l的方程为＋＝1
C.在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程x＋y＝a（a∈R）表示
D.直线3x－2y＝4的截距式方程为＋＝1
6.（多选）光线自点（2，4）射入，经y轴反射后经过点（5，0），则下列选项中反射光线所在的直线经过的点有（　　）
A.（－9，8） B.（3，1）
C.（7，－1） D.（12，－4）
7.过点（1，3）且在x轴上的截距为2的直线方程是　　　　.
8.（2024·淮安月考）已知A（2，－1），B（6，1），则在y轴上的截距是－3，且经过线段AB中点的直线方程为　　　　.
9.已知直线l过点P（2，3），且与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点.若△AOB的面积为12（O为坐标原点），则直线l的方程为　　　　.
10.（2024·日照月考）已知△ABC中，A（1，－4），B（6，6），C（－2，0）.求：
（1）△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程；
（2）BC边的中线所在直线的方程并化为斜截式方程.
11.某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y（元）与行李重量x（kg）的关系如图所示，则旅客最多可免费携带行李的重量为（　　）
A.20 kg B.25 kg
C.30 kg D.80 kg
12.（多选）直线l经过点A（1，2），在x轴上的截距的取值范围是（－3，3），则其斜率的取值范围可以是（　　）
A. B.（－∞，－1）
C. D.
13.已知A（3，0），B（0，4），直线AB上一动点P（x，y），则xy的最大值是　　　　.
14.已知直线l过点P（4，1）.
（1）若直线l过点Q（－1，6），求直线l的方程；
（2）若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l的方程.
15.（2024·珠海质检）过点（1，3）作直线l，若l经过点（a，0）和（0，b），且a，b∈N*，则可作出的直线l的条数为（　　）
A.1 B.2
C.3 D.多于3
16.（2024·青岛月考）已知直线l经过点P（－1，2）.
（1）若l在两坐标轴上截距之和为零，求l的点斜式方程；
（2）设l的斜率k＞0，l与两坐标轴的交点分别为A，B，当△AOB的面积最小时，求l的斜截式方程.
2.2.2　直线的两点式方程
1.B　直线－＝1，令x＝0，解得y＝－b，∴直线－＝1在y轴上的截距为－b.故选B.
2.A　由两点式方程＝，知直线l过点（－5，0），（3，－3），所以l的斜率为＝－.
3.D　由题意得，直线在x轴上的截距为－2.因为直线在两坐标轴上的截距之差为3，所以直线在y轴上的截距为1或－5，所以所求的直线的方程为＋y＝1或＋＝1.
4.A　将两方程化为截距式l1：＋＝1，l2：＋＝1.假定l1的位置，判断a，b的正负，从而确定l2的位置，知A项符合.
5.BD　与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A错误；因为线段AB的中点为（4，1），所以直线l过点（8，0），（0，2），所以直线l的方程为＋＝1，故B正确；直线x－y＝0在两坐标轴上的截距相等，但不能用x＋y＝a（a∈R）表示，故C错误；方程3x－2y＝4可化为＋＝1，故D正确.故选B、D.
6.AD　点（2，4）关于y轴的对称点为（－2，4），则反射光线所在的直线经过点（－2，4）和点（5，0），则反射光线所在直线的方程为＝，即4x＋7y－20＝0.将四个选项中的点的坐标分别代入直线方程进行验证可知A、D选项符合题意.
7.3x＋y－6＝0　解析：由题意知直线过点（2，0），又直线过点（1，3），由两点式可得，＝，整理得3x＋y－6＝0.
8.3x－4y－12＝0　解析：由于A（2，－1），B（6，1），故线段AB中点的坐标为（4，0），又直线在y轴上的截距是－3，∴直线方程为－＝1，即3x－4y－12＝0.
9.3x＋2y－12＝0　解析：设直线l的方程为＋＝1（a＞0，b＞0），则△AOB的面积为ab＝12　①.因为直线l过点P（2，3），所以＋＝1　②.联立①②，解得a＝4，b＝6，故直线l的方程为＋＝1，即3x＋2y－12＝0.
10.解：（1）平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线.
因为线段AB，AC的中点坐标分别为（，1），（－，－2），所以平行于BC边的中位线所在直线的方程为＝，整理得，6x－8y－13＝0，化为截距式方程为＋＝1.
（2）因为BC边的中点为（2，3），所以BC边上的中线所在直线的方程为＝，即7x－y－11＝0，化为斜截式方程为y＝7x－11.
11.C　由图知点A（60，6），B（80，10），由直线方程的两点式，得直线AB的方程是＝，即y＝x－6.依题意，令y＝0，得x＝30，即旅客最多可免费携带30 kg行李.
12.BD　设直线的斜率为k，如图，过定点A的直线经过点B（3，0）时，直线l在x轴上的截距为3，此时k＝－1；过定点A的直线经过点C（－3，0）时，直线l在x轴的截距为－3，此时k＝，满足条件的直线l的斜率范围是（－∞，－1）∪（，＋∞）.
13.3　解析：直线AB的方程为＋＝1，P（x，y）在直线AB上，则x＝3－y，∴xy＝3y－y2＝（－y2＋4y）＝[－（y－2）2＋4]≤3.即当P点坐标为时，xy取得最大值3.
14.解：（1）因为直线l过点P（4，1），Q（－1，6），所以直线l的方程为＝，即x＋y－5＝0.
（2）由题意知，直线l的斜率存在且不为0，所以设直线l的斜率为k，则其方程为y－1＝k（x－4）.
令x＝0，得y＝1－4k；令y＝0，得x＝4－.
所以1－4k＝2（4－），解得k＝或k＝－2.
所以直线l的方程为y－1＝（x－4）或y－1＝－2（x－4），即x－4y＝0或2x＋y－9＝0.
15.B　∵l过点（a，0）和（0，b），且a，b∈N*，∴可设l：＋＝1.又l过点（1，3），∴＋＝1，整理得＝.当a＝1，b∈N*时，等式显然不成立；当a≥2且a∈N*时，b＝＝＝3＋.∵b∈N*，∴a－1＝1或a－1＝3，解得a＝2或a＝4.当a＝2时，b＝6；当a＝4时，b＝4.∴满足题意的直线l的方程为＋＝1或＋＝1，∴满足题意的直线l有2条.故选B.
16.解：（1）由题意知，l的斜率存在且不为0，设斜率为k，
则l的点斜式方程为y－2＝k（x＋1），
所以它在两坐标轴上的截距分别为－1－和k＋2，
所以－1－＋k＋2＝0，解得k＝－2或k＝1，
所以l的点斜式方程为y－2＝－2（x＋1）或y－2＝x＋1.
（2）由（1）知，A（－－1，0），B（0，k＋2），
所以△AOB的面积S＝｜－－1｜·｜k＋2｜＝＝＋2＋≥2＋2＝4，当且仅当k＝2时，等号成立，
所以当△AOB的面积最小时，l的斜截式方程为y＝2x＋4.
1 / 22.2.2　直线的两点式方程
新课程标准解读 核心素养
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程 逻辑推理、数学运算
2.能利用直线的两点式方程推导出直线的截距式方程 直观想象、数学运算
　　斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的直线.
【问题】　（1）怎样表示斜拉索所在的直线方程呢？
（2）能否用直线上两个已知点的坐标来表示直线的方程？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　直线的两点式与截距式方程
两点式 截距式
条件 经过两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），其中x1≠x2，y1≠y2 在x轴上截距为a， 在y轴上截距为b
图形
方程 ＝　　 ＋＝1
适用范围 不能表示　　　　坐标轴的直线 不能表示　　　　坐标轴的直线及过　　　的直线
【想一想】
　方程＝和方程（y－y1）（x2－x1）＝（x－x1）（y2－y1）的适用范围相同吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.（　　）
（2）能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示.（　　）
（3）直线y＝x在x轴和y轴上的截距均为0.（　　）
2.在x轴和y轴上的截距分别为－4和5的直线的方程是（　　）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
3.过点A（5，6）和点B（－1，2）的直线的两点式方程是（　　）
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
4.过两点（－1，1）和（3，9）的直线在x轴上的截距为　　　　.
题型一 直线的两点式方程
【例1】　（2024·泉州质检）已知△ABC的三个顶点分别为A（0，4），B（－2，6），C（－8，0）.
（1）求边AC和AB所在直线的方程；
（2）求AC边上的中线BD所在直线的方程.
通性通法
已知两点求直线方程的方法（思路）
（1）已知直线上两点的坐标求直线方程时，若满足两点式方程的适用条件，可直接将两点的坐标代入直线的两点式方程，化简即得；
（2）若点的坐标中含有参数，需注意对参数的讨论；
（3）在斜率存在的情况下，也可以选用斜率公式求出斜率，再用点斜式求方程.
【跟踪训练】
1.（2024·镇江月考）经过M（3，2）与N（6，2）两点的直线的方程为（　　）
A.x＝2　　　　　　　　 B.y＝2
C.x＝3 D.x＝6
2.若点P（3，m）在过点A（2，－1），B（－3，4）的直线上，则m＝　　　　.
题型二 直线的截距式方程
【例2】　求过点A（3，4），且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.
【母题探究】
　（变条件）若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？
通性通法
求直线的截距式方程的方法（思路）
（1）由已知条件确定横、纵截距；
（2）若两截距为零，则直线过原点，直接写出方程即可；若两截距不为零，则代入公式＋＝1，可得所求的直线方程.
提醒　如果题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、截距互为相反数或在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的多少倍等条件，采用截距式求直线方程时一定要注意考虑“零截距”的情况.
【跟踪训练】
（2024·潮州月考）过点（0，3），且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是　　　　.
题型三 直线方程的综合应用
【例3】　（2024·新乡月考）求过点（1，2）且与两坐标轴正半轴围成的三角形面积为的直线方程.
通性通法
直线方程与三角形的面积、周长之间的关系
　　解决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时，一般选择直线方程的截距式，若设直线在x轴，y轴上的截距分别为a，b，则直线与坐标轴所围成的三角形的面积为S＝｜a｜｜b｜，周长C＝｜a｜＋｜b｜＋.
【跟踪训练】
1.（2024·湛江月考）已知△ABC的三个顶点分别为A（2，8），B（－4，0），C（6，0），则过点B将△ABC的面积平分的直线方程为（　　）
A.2x－y＋4＝0 B.x＋2y＋4＝0
C.2x＋y－4＝0 D.x－2y＋4＝0
2.（多选）经过点（2，1），且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程可以是（　　）
A.x＋y－3＝0 B.x＋y＋3＝0
C.x－y－1＝0 D.x－y＋1＝0
1.过P1（2，0），P2（0，3）两点的直线方程是（　　）
A.＋＝0　　　　　 B.＋＝0
C.＋＝1 D.－＝1
2.过点（1，2），（5，3）的直线方程是（　　）
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
3.如图，直线l的截距式方程是＋＝1，则（　　）
A.a＞0，b＞0 B.a＞0，b＜0
C.a＜0，b＞0 D.a＜0，b＜0
4.已知直线l经过点P（2，3）.
（1）若A（1，1）在直线l上，求l的方程；
（2）若直线l与直线2x－3y＋1＝0垂直，求直线l的方程.
2.2.2　直线的两点式方程
【基础知识·重落实】
知识点
　垂直于　垂直于　原点
想一想
　提示：不同.前者为分式形式，要求x1≠x2，y1≠y2，后者为整式形式，适用于过任何两点的直线方程.
自我诊断
1.（1）√　（2）√　（3）√
2.C
3.B
4.－　解析：直线方程为＝，化为截距式为＋＝1，则在x轴上的截距为－.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）由已知得直线AC的方程为＋＝1，整理得x－2y＋8＝0.直线AB的方程为＝，整理得x＋y－4＝0.
（2）由已知得xD＝＝－4，yD＝＝2，即D（－4，2），所以直线BD的方程为＝，整理得2x－y＋10＝0.
跟踪训练
1.B　由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线MN的方程为y＝2，故选B.
2.－2　解析：由直线方程的两点式得＝，即＝.∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2，∵点P（3，m）在直线AB上，则m＋1＝－3＋2，得m＝－2.
【例2】　解：①当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＋＝1.
又l过点A（3，4），所以＋＝1，解得a＝－1.
所以直线l的方程为＋＝1，即x－y＋1＝0.
②当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点（3，4），所以4＝k·3，解得k＝，直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0.
母题探究
　解：（1）当截距不为0时，设直线l的方程为＋＝1，
又l过点（3，4），所以＋＝1，解得a＝7，
所以直线l的方程为x＋y－7＝0.
（2）当截距为0时，由例可得直线l的方程为4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0.
跟踪训练
　3x＋2y－6＝0　解析：设直线方程为＋＝1，则解得a＝2，b＝3，则直线方程为＋＝1，即3x＋2y－6＝0.
【例3】　解：∵直线与坐标轴可以围成三角形，故其在x轴和y轴上的截距均存在，∴设直线方程为＋＝1.∵其过点（1，2），故＋＝1.又∵其面积为，故｜a｜｜b｜＝9.由以上两式可得或故直线方程为＋＝1或＋＝1，即x＋y－3＝0或4x＋y－6＝0.
跟踪训练
1.D　由A（2，8），C（6，0），得AC的中点坐标为D（4，4），则过点B将△ABC的面积平分的直线过点D（4，4），则所求直线方程为＝，即x－2y＋4＝0.
2.AC　由题意设直线方程为＋＝1或＋＝1，把点（2，1）代入直线方程得＋＝1或＋＝1，解得a＝3或a＝1，所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，即x＋y－3＝0或x－y－1＝0.
随堂检测
1.C　由截距式，得所求直线的方程为＋＝1.
2.B　∵所求直线过点（1，2），（5，3），∴所求直线方程是＝.
3.B　M（a，0），N（0，b），由题图知M在x轴正半轴上，N在y轴负半轴上，所以a＞0，b＜0.故选B.
4.解：（1）∵直线l经过点P（2，3），且A（1，1）在直线l上，则由两点式求得直线的方程为＝，即2x－y－1＝0.
（2）∵直线l与直线2x－3y＋1＝0垂直，则直线l的斜率为－.又直线l经过点P（2，3），故直线l的方程为y－3＝－（x－2），即3x＋2y－12＝0.
3 / 3(共60张PPT)
2.2.2　
直线的两点式方程
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
新课程标准解读 核心素养
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直
线的两点式方程 逻辑推理、数学
运算
2.能利用直线的两点式方程推导出直线的截距式
方程 直观想象、数学
运算
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　
　　斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线
为 x 轴，桥塔所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看
成过桥塔上一点与桥面上一点的直线.
【问题】　（1）怎样表示斜拉索所在的直线方程呢？
（2）能否用直线上两个已知点的坐标来表示直线的方程？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知识点　直线的两点式与截距式方程
两点式 截距式
条件 经过两点 P1（ x1， y1） 和 P2（ x2， y2），其中 x1≠ x2， y1≠ y2 在 x 轴上截距为 a ，
在 y 轴上截距为 b
图形
两点式 截距式
方程
适用 范围 不能表示 坐
标轴的直线 不能表示 坐标轴的
直线及过 的直线
　
垂直于　
垂直于　
原点　
【想一想】
　方程 ＝ 和方程（ y － y1）（ x2－ x1）＝（ x － x1）（ y2－
y1）的适用范围相同吗？
提示：不同.前者为分式形式，要求 x1≠ x2， y1≠ y2，后者为整式形
式，适用于过任何两点的直线方程.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.
（　√　）
（2）能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示. （　√　）
（3）直线 y ＝ x 在 x 轴和 y 轴上的截距均为0. （　√　）
√
√
√
2. 在 x 轴和 y 轴上的截距分别为－4和5的直线的方程是（　　）
3. 过点 A （5，6）和点 B （－1，2）的直线的两点式方程是（　　）

解析：直线方程为 ＝ ＋ ＝1，则在 x 轴
上的截距为－ .
－ 　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 直线的两点式方程
【例1】　（2024·泉州质检）已知△ ABC 的三个顶点分别为 A （0，
4）， B （－2，6）， C （－8，0）.
（1）求边 AC 和 AB 所在直线的方程；
解： 由已知得直线 AC 的方程为 ＋ ＝1，整理得 x －2 y
＋8＝0.直线 AB 的方程为 ＝ ，整理得 x ＋ y －4＝0.
（2）求 AC 边上的中线 BD 所在直线的方程.
解： 由已知得 xD ＝ ＝－4， yD ＝ ＝2，即 D （－
4，2），所以直线 BD 的方程为 ＝ ，整理得2 x － y ＋10
＝0.
通性通法
已知两点求直线方程的方法（思路）
（1）已知直线上两点的坐标求直线方程时，若满足两点式方程的
适用条件，可直接将两点的坐标代入直线的两点式方程，化
简即得；
（2）若点的坐标中含有参数，需注意对参数的讨论；
（3）在斜率存在的情况下，也可以选用斜率公式求出斜率，再用点
斜式求方程.
【跟踪训练】
1. （2024·镇江月考）经过 M （3，2）与 N （6，2）两点的直线的方
程为（　　）
A. x ＝2 B. y ＝2
C. x ＝3 D. x ＝6
解析： 　由 M ， N 两点的坐标可知，直线 MN 与 x 轴平行，所以直
线 MN 的方程为 y ＝2，故选B.
2. 若点 P （3， m ）在过点 A （2，－1）， B （－3，4）的直线上，则
m ＝ .
解析：由直线方程的两点式得 ＝ ＝ .∴直
线 AB 的方程为 y ＋1＝－ x ＋2，∵点 P （3， m ）在直线 AB 上，则
m ＋1＝－3＋2，得 m ＝－2.
－2　
题型二 直线的截距式方程
【例2】　求过点 A （3，4），且在两坐标轴上的截距互为相反数的
直线 l 的方程.
解：①当直线 l 在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线
l 的方程为 ＋ ＝1.
又 l 过点 A （3，4），所以 ＋ ＝1，解得 a ＝－1.
所以直线 l 的方程为 ＋ ＝1，即 x － y ＋1＝0.
②当直线 l 在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线 l 过原点
时，设直线 l 的方程为 y ＝ kx ，因为 l 过点（3，4），所以4＝ k ·3，解
得 k ＝ ，直线 l 的方程为 y ＝ x ，即4 x －3 y ＝0.
综上，直线 l 的方程为 x － y ＋1＝0或4 x －3 y ＝0.
【母题探究】
　（变条件）若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？
解：（1）当截距不为0时，设直线 l 的方程为 ＋ ＝1，
又 l 过点（3，4），所以 ＋ ＝1，解得 a ＝7，
所以直线 l 的方程为 x ＋ y －7＝0.
（2）当截距为0时，由例可得直线 l 的方程为4 x －3 y ＝0.
综上，直线 l 的方程为 x ＋ y －7＝0或4 x －3 y ＝0.
通性通法
求直线的截距式方程的方法（思路）
（1）由已知条件确定横、纵截距；
（2）若两截距为零，则直线过原点，直接写出方程即可；若两截距
不为零，则代入公式 ＋ ＝1，可得所求的直线方程.
提醒　如果题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、截距互
为相反数或在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的多少
倍等条件，采用截距式求直线方程时一定要注意考虑“零截
距”的情况.
【跟踪训练】
（2024·潮州月考）过点（0，3），且在两坐标轴上截距之和等于5的
直线方程是 .
解析：设直线方程为 ＋ ＝1，则解得 a ＝2， b ＝3，则
直线方程为 ＋ ＝1，即3 x ＋2 y －6＝0.
3 x ＋2 y －6＝0　
题型三 直线方程的综合应用
【例3】　（2024·新乡月考）求过点（1，2）且与两坐标轴正半轴围
成的三角形面积为 的直线方程.
解：∵直线与坐标轴可以围成三角形，故其在 x 轴和 y 轴上的截距均
存在，∴设直线方程为 ＋ ＝1.∵其过点（1，2），故 ＋ ＝1.又
∵其面积为 ，故｜ a ｜｜ b ｜＝9.由以上两式可得
＋ ＝1或 ＋ ＝1，即 x ＋ y －3＝0或4 x ＋ y
－6＝0.
通性通法
直线方程与三角形的面积、周长之间的关系
　　解决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时，一般选择直
线方程的截距式，若设直线在 x 轴， y 轴上的截距分别为 a ， b ，则直
线与坐标轴所围成的三角形的面积为 S ＝ ｜ a ｜｜ b ｜，周长 C ＝｜
a ｜＋｜ b ｜＋ .
【跟踪训练】
1. （2024·湛江月考）已知△ ABC 的三个顶点分别为 A （2，8）， B
（－4，0）， C （6，0），则过点 B 将△ ABC 的面积平分的直线方
程为（　　）
A. 2 x － y ＋4＝0 B. x ＋2 y ＋4＝0
C. 2 x ＋ y －4＝0 D. x －2 y ＋4＝0
解析： 　由 A （2，8）， C （6，0），得 AC 的中点坐标为 D
（4，4），则过点 B 将△ ABC 的面积平分的直线过点 D （4，4），
则所求直线方程为 ＝ ，即 x －2 y ＋4＝0.
2. （多选）经过点（2，1），且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直
线方程可以是（　　）
A. x ＋ y －3＝0 B. x ＋ y ＋3＝0
C. x － y －1＝0 D. x － y ＋1＝0
解析： 　由题意设直线方程为 ＋ ＝1或 ＋ ＝1，把点
（2，1）代入直线方程得 ＋ ＝1或 ＋ ＝1，解得 a ＝3或 a ＝
1，所以所求直线的方程为 ＋ ＝1或 ＋ ＝1，即 x ＋ y －3＝0或
x － y －1＝0.
1. 过 P1（2，0）， P2（0，3）两点的直线方程是（　　）
解析： 　由截距式，得所求直线的方程为 ＋ ＝1.
2. 过点（1，2），（5，3）的直线方程是（　　）
解析： 　∵所求直线过点（1，2），（5，3），∴所求直线方程
是 ＝ .
3. 如图，直线 l 的截距式方程是 ＋ ＝1，则（　　）
A. a ＞0， b ＞0 B. a ＞0， b ＜0
C. a ＜0， b ＞0 D. a ＜0， b ＜0
解析： 　 M （ a ，0）， N （0， b ），由题图知 M 在 x 轴正半轴
上， N 在 y 轴负半轴上，所以 a ＞0， b ＜0.故选B.
4. 已知直线 l 经过点 P （2，3）.
（1）若 A （1，1）在直线 l 上，求 l 的方程；
解： ∵直线 l 经过点 P （2，3），且 A （1，1）在直
线 l 上，则由两点式求得直线的方程为 ＝ ，即2 x
－ y －1＝0.
（2）若直线 l 与直线2 x －3 y ＋1＝0垂直，求直线 l 的方程.
解： ∵直线 l 与直线2 x －3 y ＋1＝0垂直，则直线 l 的斜
率为－ .又直线 l 经过点 P （2，3），故直线 l 的方程为 y －3
＝－ （ x －2），即3 x ＋2 y －12＝0.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 直线 － ＝1在 y 轴上的截距为（　　）
A. ｜ b ｜ B. － b
C. b D. ± b
解析： 　直线 － ＝1，令 x ＝0，解得 y ＝－ b ，∴直线 － ＝1
在 y 轴上的截距为－ b .故选B.
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2. 已知直线 l 的两点式方程为 ＝ ，则 l 的斜率为（　　）
解析： 　由两点式方程 ＝ ，知直线 l 过点（－5，
0），（3，－3），所以 l 的斜率为 ＝－ .
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3. （2024·宁波月考）过点（－2，0）且在两坐标轴上的截距之差为3
的直线的方程是（　　）
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解析： 　由题意得，直线在 x 轴上的截距为－2.因为直线在两坐标
轴上的截距之差为3，所以直线在 y 轴上的截距为1或－5，所以所求
的直线的方程为 ＋ y ＝1或 ＋ ＝1.
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4. （2024·滨州月考）两条直线 l1： － ＝1和 l2： － ＝1在同一直
角坐标系中的图象可以是（　　）
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解析： 　将两方程化为截距式 l1： ＋ ＝1， l2： ＋ ＝1.假
定 l1的位置，判断 a ， b 的正负，从而确定 l2的位置，知A项符合.
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5. （多选）下列说法正确的是（　　）
C. 在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程 x ＋ y ＝ a （ a ∈R）表
示
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解析： 　与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A错误；
因为线段 AB 的中点为（4，1），所以直线 l 过点（8，0），（0，
2），所以直线 l 的方程为 ＋ ＝1，故B正确；直线 x － y ＝0在两
坐标轴上的截距相等，但不能用 x ＋ y ＝ a （ a ∈R）表示，故C错
误；方程3 x －2 y ＝4可化为 ＋ ＝1，故D正确.故选B、D.
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6. （多选）光线自点（2，4）射入，经 y 轴反射后经过点（5，0），
则下列选项中反射光线所在的直线经过的点有（　　）
A. （－9，8） B. （3，1）
C. （7，－1） D. （12，－4）
解析： 　点（2，4）关于 y 轴的对称点为（－2，4），则反射光
线所在的直线经过点（－2，4）和点（5，0），则反射光线所在直
线的方程为 ＝ ，即4 x ＋7 y －20＝0.将四个选项中的点的坐
标分别代入直线方程进行验证可知A、D选项符合题意.
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7. 过点（1，3）且在 x 轴上的截距为2的直线方程是
.
解析：由题意知直线过点（2，0），又直线过点（1，3），由两点
式可得， ＝ ，整理得3 x ＋ y －6＝0.
3 x ＋ y －6＝
0　
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8. （2024·淮安月考）已知 A （2，－1）， B （6，1），则在 y 轴上的
截距是－3，且经过线段 AB 中点的直线方程为 .
解析：由于 A （2，－1）， B （6，1），故线段 AB 中点的坐标为
（4，0），又直线在 y 轴上的截距是－3，∴直线方程为 － ＝1，
即3 x －4 y －12＝0.
3 x －4 y －12＝0　
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9. 已知直线 l 过点 P （2，3），且与 x ， y 轴的正半轴分别交于 A ， B
两点.若△ AOB 的面积为12（ O 为坐标原点），则直线 l 的方程为
.
解析：设直线 l 的方程为 ＋ ＝1（ a ＞0， b ＞0），则△ AOB 的面
积为 ab ＝12　①.因为直线 l 过点 P （2，3），所以 ＋ ＝1　②.
联立①②，解得 a ＝4， b ＝6，故直线 l 的方程为 ＋ ＝1，即3 x ＋
2 y －12＝0.
3 x ＋2 y －12＝0　
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10. （2024·日照月考）已知△ ABC 中， A （1，－4）， B （6，6），
C （－2，0）.求：
（1）△ ABC 中平行于 BC 边的中位线所在直线的方程并化为截距
式方程；
解： 平行于 BC 边的中位线就是 AB ， AC 中点的连线.
因为线段 AB ， AC 的中点坐标分别为（ ，1），（－ ，－2），所以平行于 BC 边的中位线所在直线的方程为 ＝ ，整理得，6 x －8 y －13＝0，化为截距式方程为 ＋ ＝1.
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（2） BC 边的中线所在直线的方程并化为斜截式方程.
解： 因为 BC 边的中点为（2，3），所以 BC 边上的中
线所在直线的方程为 ＝ ，即7 x － y －11＝0，化为斜
截式方程为 y ＝7 x －11.
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11. 某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超
过规定，则需要购买行李票，行李票费用 y （元）与行李重量 x
（kg）的关系如图所示，则旅客最多可免费携带行李的重量为
（　　）
A. 20 kg B. 25 kg
C. 30 kg D. 80 kg
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解析： 　由图知点 A （60，6）， B （80，10），由直线方程的
两点式，得直线 AB 的方程是 ＝ ，即 y ＝ x －6.依题意，
令 y ＝0，得 x ＝30，即旅客最多可免费携带30 kg行李.
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12. （多选）直线 l 经过点 A （1，2），在 x 轴上的截距的取值范围是
（－3，3），则其斜率的取值范围可以是（　　）
B. （－∞，－1）
解析：BD　设直线的斜率为 k ，如图，过定点
A 的直线经过点 B （3，0）时，直线 l 在 x 轴上
的截距为3，此时 k ＝－1；过定点 A 的直线经
过点 C （－3，0）时，直线 l 在 x 轴的截距为－3，此时 k ＝ ，满足条件的直线 l 的斜率范围是（－∞，－1）∪ .
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13. 已知 A （3，0）， B （0，4），直线 AB 上一动点 P （ x ， y ），则
xy 的最大值是 .
解析：直线 AB 的方程为 ＋ ＝1， P （ x ， y ）在直线 AB 上，则 x
＝3－ y ，∴ xy ＝3 y － y2＝ （－ y2＋4 y ）＝ [－（ y －2）2＋
4]≤3.即当 P 点坐标为 时， xy 取得最大值3.
3　
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14. 已知直线 l 过点 P （4，1）.
（1）若直线 l 过点 Q （－1，6），求直线 l 的方程；
解： 因为直线 l 过点 P （4，1）， Q （－1，6），所以
直线 l 的方程为 ＝ ，即 x ＋ y －5＝0.
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（2）若直线 l 在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的2倍，求直线 l 的
方程.
解： 由题意知，直线 l 的斜率存在且不为0，所以设直
线 l 的斜率为 k ，则其方程为 y －1＝ k （ x －4）.
令 x ＝0，得 y ＝1－4 k ；令 y ＝0，得 x ＝4－ .
所以1－4 k ＝2（4－ ），解得 k ＝ 或 k ＝－2.
所以直线 l 的方程为 y －1＝ （ x －4）或 y －1＝－2（ x －
4），即 x －4 y ＝0或2 x ＋ y －9＝0.
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15. （2024·珠海质检）过点（1，3）作直线 l ，若 l 经过点（ a ，0）和
（0， b ），且 a ， b ∈N*，则可作出的直线 l 的条数为（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 多于3
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解析： ∵ l 过点（ a ，0）和（0， b ），且 a ， b ∈N*，∴可设
l ： ＋ ＝1.又 l 过点（1，3），∴ ＋ ＝1，整理得 ＝ .当 a
＝1， b ∈N*时，等式显然不成立；当 a ≥2且 a ∈N*时， b ＝ ＝
＝3＋ .∵ b ∈N*，∴ a －1＝1或 a －1＝3，解得 a ＝
2或 a ＝4.当 a ＝2时， b ＝6；当 a ＝4时， b ＝4.∴满足题意的直线 l
的方程为 ＋ ＝1或 ＋ ＝1，∴满足题意的直线 l 有2条.故选B.
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16. （2024·青岛月考）已知直线 l 经过点 P （－1，2）.
（1）若 l 在两坐标轴上截距之和为零，求 l 的点斜式方程；
解： 由题意知， l 的斜率存在且不为0，设斜率为 k ，
则 l 的点斜式方程为 y －2＝ k （ x ＋1），
所以它在两坐标轴上的截距分别为－1－ 和 k ＋2，
所以－1－ ＋ k ＋2＝0，解得 k ＝－2或 k ＝1，
所以 l 的点斜式方程为 y －2＝－2（ x ＋1）或 y －2＝ x ＋1.
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（2）设 l 的斜率 k ＞0， l 与两坐标轴的交点分别为 A ， B ，当△
AOB 的面积最小时，求 l 的斜截式方程.
解： 由（1）知， A （－ －1，0）， B （0， k ＋2），
所以△ AOB 的面积 S ＝ ｜－ －1｜·｜ k ＋2｜＝ ＝
＋2＋ ≥2 ＋2＝4，当且仅当 k ＝2时，等号成立，
所以当△ AOB 的面积最小时， l 的斜截式方程为 y ＝2 x ＋4.
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