资源简介

2.2.3　直线的一般式方程
1.直线3x－2y－4＝0的截距式方程是（　　）
A.－＝1　　　　　　B.＋＝1
C.－＝4 D.x－＝1
2.倾斜角为60°，在y轴上的截距为－1的直线方程是（　　）
A.x－y－1＝0 B.x－y＋1＝0
C.x－3y－1＝0 D.x＋3y－1＝0
3.方程Ax＋By＋C＝0表示倾斜角为锐角的直线，则必有（　　）
A.AB＞0 B.AB＜0
C.A＞0且B＜0 D.A＞0或B＜0
4.（2024·南京月考）已知直线l过点（2，3）且与直线m：x－2y＋5＝0平行，则直线l的方程为（　　）
A.2x＋y－7＝0 B.2x－y－1＝0
C.x－2y＋4＝0 D.x－2y＋1＝0
5.（多选）下列说法正确的是（　　）
A.直线y＝ax－2a（a∈R）必过点（2，0）
B.直线y＋1＝3x在y轴上的截距为1
C.直线x＋y＋1＝0的倾斜角为120°
D.过点（－2，3）且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为2x＋y＋1＝0
6.（多选）已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：（m－2）x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是（　　）
A.若l1∥l2，则m＝－1
B.若l1∥l2，则m＝3
C.若l1⊥l2，则m＝－
D.若l1⊥l2，则m＝
7.若直线（2m2－5m＋2）x－（m2－4）y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m＝　　　　.
8.（2024·济宁月考）已知直线l的斜率是直线2x－3y＋12＝0的斜率的，l在y轴上的截距是直线2x－3y＋12＝0在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为　　　　.
9.若直线的截距式＋＝1化为斜截式为y＝－2x＋b，化为一般式为bx＋ay－8＝0且a＞0，则a＋b＝　　　　.
10.已知直线l经过点P（2，3）且斜率为－.
（1）求直线l的一般式方程；
（2）求与直线l垂直，且过点（－3，1）的直线的一般式方程.
11.（2024·盐城月考）已知直线l1：ax＋y－2＝0，l2：（a＋3）x－2by＋1＝0（a＞0，b＞0）互相垂直，则的取值范围为（　　）
A.（0，） B.（0，）
C.（，1） D.（3，＋∞）
12.（多选）将直线3x－y＝0绕原点逆时针旋转90°，再向右平移m（m∈N*）个单位长度，所得直线的方程可能为（　　）
A.3x－y＋1＝0 B.x＋3y－1＝0
C.x＋3y－3＝0 D.x＋3y＋3＝0
13.设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且｜PA｜＝｜PB｜，若直线PA的斜率为，那么直线PB的斜率为　　　　；若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为　　　　.
14.已知直线l1：ax－by＋4＝0，l2：（a－1）x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值：
（1）l1⊥l2，且直线l1过点M（－4，－1）；
（2）直线l1∥l2，且l1，l2在y轴上的截距互为相反数.
15.（2024·杭州月考）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知在平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别为A（0，0），B（8，0），C（0，6），则△ABC的“欧拉线”方程为（　　）
A.3x＋4y－3＝0 B.3x－4y＝0
C.3x－4y＋3＝0 D.3x＋4y＝0
16.（2024·泰安质检）已知集合A＝{（x，y）｜＝a＋1}，B＝{（x，y）｜（a2－1）x＋（a－1）y＝15}，当a取何值时，A∩B＝ ？
2.2.3　直线的一般式方程
1.B　由3x－2y－4＝0，得3x－2y＝4，即x－y＝1，即＋＝1，所以直线的截距式方程为＋＝1.
2.A　由题意知，直线斜率k＝tan 60°＝，在y轴上的截距为－1，所以直线的斜截式方程是y＝x－1，化为一般式为x－y－1＝0.
3.B　因为倾斜角为锐角，所以k＝－＞0，所以AB＜0.故选B.
4.C　法一　因为直线l与直线m：x－2y＋5＝0平行，所以直线l的斜率为.又直线l过点（2，3），所以直线l的方程为y－3＝（x－2），即x－2y＋4＝0.故选C.
法二　因为l∥m，所以可设l：x－2y＋c＝0.又l过点（2，3），所以2－2×3＋c＝0，解得c＝4.所以直线l的方程为x－2y＋4＝0.故选C.
5.AD　A项，将点（2，0）代入直线方程知正确；B项，令x＝0得y＝－1，故在y轴上的截距为－1，错误；C项，由直线方程知：斜率为－，则倾斜角为150°，错误；D项，由2x＋y＋1＝0，x－2y＋3＝0的斜率分别为－2，，则有－2×＝－1，故相互垂直，将点（－2，3）代入方程2x＋y＋1＝0得2×（－2）＋3＋1＝0，故正确.故选A、D.
6.BD　若直线l1∥l2，则3－m（m－2）＝0，解得m＝3或m＝－1.当m＝－1时，两直线的方程分别为x－y－1＝0，－3x＋3y＋3＝0（即x－y－1＝0），两直线重合；当m＝3时两直线平行，故A错误，B正确.若l1⊥l2，则m－2＋3m＝0，得m＝，故C错误，D正确.故选B、D.
7.3　解析：由已知得∴m＝3.
8.x－3y＋24＝0　解析：直线2x－3y＋12＝0的斜率为，在y轴上截距为4.根据题意，直线l的斜率为，在y轴上截距为8，所以直线l的方程为y＝x＋8，即x－3y＋24＝0.
9.6　解析：由＋＝1，得y＝－x＋b，一般式为bx＋ay－ab＝0，所以－＝－2，－ab＝－8，即解得或因为a＞0，所以a＝2，b＝4，所以a＋b＝6.
10.解：（1）由点斜式可得直线l的方程为y－3＝－（x－2），化为一般式方程可得3x＋2y－12＝0.
（2）设所求方程为2x－3y＋n＝0.因为过点（－3，1），
所以－6－3＋n＝0，解得n＝9，则所求直线的一般式方程为2x－3y＋9＝0.
11.B　∵直线l1：ax＋y－2＝0，l2：（a＋3）x－2by＋1＝0（a＞0，b＞0）互相垂直，∴a（a＋3）－2b＝0，∴＝.∵a＞0，b＞0，∴∈（0，）.∴的取值范围为（0，）.故选B.
12.BC　将直线3x－y＝0绕原点逆时针旋转90°，得到直线y＝－x，再向右平移m（m∈N*）个单位长度，所得直线的方程为y＝－（x－m），即x＋3y－m＝0（m∈N*）.故选B、C.
13.－　x＋y－5＝0
解析：由题意，PA与PB两直线的倾斜角互补，故kPB＝－kPA＝－；因为直线PA的方程为x－y＋1＝0，∴kPB＝－1，由x＝2时，y＝3，得P（2，3），∴直线PB过点（2，3），故PB的方程为y－3＝－（x－2），即x＋y－5＝0.
14.解：（1）∵l1过点M（－4，－1），∴－4a＋b＋4＝0.∵l1⊥l2，∴a×（a－1）－b＝0.∴或
（2）由题意可得，两条直线不可能都经过原点，当b＝0时，两条直线分别化为ax＋4＝0，（a－1）x＋y＝0，可知两条直线不平行.b≠0时两条直线分别化为：y＝x＋，y＝（1－a）x－b，∴＝1－a，＝b，解得或
15.B　因为直线AB的斜率为＝0，直线AC的斜率不存在，所以∠CAB为直角，即△ABC是直角三角形，则垂心为直角顶点A（0，0），外心为斜边BC的中点M（4，3）.因为点A，M所在直线的斜率为＝，所以“欧拉线”的方程为y＝x，即3x－4y＝0.故选B.
16.解：集合A，B分别为点集.
集合A表示l1：（a＋1）x－y－2a＋1＝0（x≠2），
集合B表示l2：（a2－1）x＋（a－1）y－15＝0.
由得a＝±1.
①当a＝1时，B＝ ，A∩B＝ ；
②当a＝－1时，集合A表示直线y＝3（x≠2），
集合B表示直线y＝－，两直线平行.A∩B＝ ；
③由l1可知（2，3） A，当（2，3）∈B，即2（a2－1）＋3（a－1）－15＝0时，可得a＝－4或a＝，此时A∩B＝ .
综上可知，当a的值为－4，－1，1，时，A∩B＝ .
2 / 22.2.3　直线的一般式方程
新课程标准解读 核心素养
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式 数学抽象、逻辑推理
2.会进行直线方程的五种形式间的转化 逻辑推理、数学运算
　　前面学习了直线方程的四种形式，但它们各自有自己的适用条件，也就是说上述方程形式不是对任何直线都适用.
【问题】　是否存在一种方程形式，对任何直线都适用？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　直线的一般式方程
1.定义：关于x，y的二元一次方程 　　　　　（其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式.
2.一般式与其他形式的互化
提醒　系数的几何意义：①当B≠0时，则－＝k（斜率），－＝b（y轴上的截距）；②当B＝0，A≠0时，则－＝a（x轴上的截距），此时不存在斜率.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0来表示.（　　）
（2）垂直于x轴的直线方程可表示为Ax＋C＝0（A≠0）.（　　）
（3）直线l：Ax＋By＋C＝0的斜率为－.（　　）
（4）当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0表示过原点的直线.（　　）
2.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为（　　）
A.A≠0 B.B≠0
C.A·B≠0 D.A2＋B2≠0
3.若直线l的方程为2x＋y＋3＝0，求直线l的纵截距、横截距及斜率.
题型一 直线的一般式方程
角度1　求直线的一般式方程
【例1】　根据下列条件求直线的一般式方程：
（1）直线的斜率为2，且经过点A（1，3）；
（2）斜率为，且在y轴上的截距为4；
（3）经过两点A（2，－3），B（－1，－5）；
（4）在x，y轴上的截距分别为2，－4.
通性通法
求直线一般式方程的策略
　　在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式.
角度2　直线的一般式方程的几何意义
【例2】　（2024·济源质检）求下列直线的斜率以及在两坐标轴上的截距，并画出图形.
（1）－－＝1；
（2）4x－6y＋3＝0.
通性通法
　　由直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0（A、B不同时为0）求直线在两坐标轴上的截距时，令x＝0，得直线在y轴上的截距；令y＝0，得直线在x轴上的截距.由两截距的位置可知直线的位置.【跟踪训练】
　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
（1）斜率为4，在y轴上的截距为－2；
（2）在y轴上的截距为3，且平行于x轴；
（3）经过C（－1，5），D（2，－1）两点.
题型二 一般式下两直线的平行或垂直
角度1　由平行、垂直求直线方程
【例3】　（2024·莆田月考）已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l'的方程：
（1）过点（－1，3），且与l平行；
（2）过点（－1，3），且与l垂直.
通性通法
与已知直线平行（垂直）的直线方程的求法
（1）与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0（m≠C）；
（2）与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.
角度2　由直线的平行、垂直求参数
【例4】　已知两条直线l1：（a－1）x＋2y＋1＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行，则a＝（　　）
A.－1　　　　　　　　 B.2
C.0或－2 D.－1或2
通性通法
利用一般式解决直线平行、垂直问题的策略
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
（1）若l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0（或A1C2－A2C1≠0）；
（2）若l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
【跟踪训练】
1.直线l过点（－1，2），且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是（　　）
A.3x＋2y－1＝0 B.3x＋2y＋7＝0
C.2x－3y＋5＝0 D.2x－3y＋8＝0
2.（2024·梅州月考）已知直线l1：x＋my－2m－2＝0，直线l2：mx＋y－1－m＝0，则当l1⊥l2时，m＝　　　　；当l1∥l2时，m＝　　　　.
题型三 由含参一般式求参数的值（范围）
【例5】　（1）（2024·泰州质检）设直线l的方程为（m－1）x＋y－m＝0（m∈R）.若直线l不过第三象限，则m的取值范围为　　　　；
（2）直线l的方程为（a＋1）x＋y＋2－a＝0（a∈R）.若l在两坐标轴上的截距相等，则l的方程为　　　　　　　　.
通性通法
由含参一般式求参数的值（范围）的策略
（1）要掌握各种形式的直线方程的基本类型和对应的限制条件；
（2）已知直线过（不过）某个象限，求参数值（范围）时，常用直线的斜截式方程进行求解，但要注意斜率为0或不存在的情况.【跟踪训练】
　设直线l的方程为2x＋（k－3）y－2k＋6＝0（k≠3），根据下列条件分别确定k的值：
（1）直线l的斜率为－1；
（2）直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0.
1.直线＋＝1化成一般式方程为（　　）
A.y＝－x＋4　　　　 B.y＝－（x－3）
C.4x＋3y－12＝0 D.4x＋3y＝12
2.在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是（　　）
A.30° B.60°
C.150° D.120°
3.（2024·东营月考）两条直线x＋2y＋m＝0和2x－y＋n＝0的位置关系是（　　）
A.平行 B.垂直
C.不平行也不垂直 D.与m，n的取值有关
4.分别写出满足下列条件的直线方程，并化成一般式：
（1）经过点B（－，2），倾斜角是30°；
（2）经过点（1，2）且与直线x－y＋1＝0垂直.
2.2.3　直线的一般式方程
【基础知识·重落实】
知识点
1.Ax＋By＋C＝0
自我诊断
1.（1）√　（2）√　（3）×　（4）√
2.D　根据直线方程的一般式可知，要使Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0.故选D.
3.解：在2x＋y＋3＝0中，令x＝0，得y＝－3，故直线l的纵截距为－3.
令y＝0，得x＝－，
故直线l的横截距为－，
2x＋y＋3＝0，即y＝－2x－3，故直线l的斜率为－2.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）因为k＝2，且经过点A（1，3），由直线的点斜式方程可得y－3＝2（x－1），整理可得2x－y＋1＝0，所以直线的一般式方程为2x－y＋1＝0.
（2）由直线的斜率k＝，且在y轴上的截距为4，得直线的斜截式方程为y＝x＋4.
整理可得直线的一般式方程为x－y＋4＝0.
（3）由直线的两点式方程可得＝，整理得直线的一般式方程为2x－3y－13＝0.
（4）由直线的截距式方程可得＋＝1，整理得直线的一般式方程为2x－y－4＝0.
【例2】　解：（1）将直线的方程化为斜截式为y＝－x－3，因此该直线的斜率为－，在y轴上的截距是－3.令y＝0，得x＝－4，即直线在x轴上的截距是－4.图形如图①所示.
（2）将直线的方程化为斜截式为y＝x＋，因此该直线的斜率为，在y轴上的截距是.令y＝0，得x＝－，即直线在x轴上的截距是－.图形如图②所示.
跟踪训练
　解：（1）y＝4x－2，即4x－y－2＝0.
（2）y＝3，即y－3＝0.
（3）由两点式方程得＝，即2x＋y－3＝0.
【例3】　解：法一　l的方程可化为y＝－x＋3，所以l的斜率为－.
（1）因为l'与l平行，所以l'的斜率为－.
又因为l'过点（－1，3），
所以由点斜式知l'的方程为y－3＝－（x＋1），
即3x＋4y－9＝0.
（2）因为l'与l垂直，所以l'的斜率为，又l'过点（－1，3），
所以由点斜式可得方程为y－3＝（x＋1），
即4x－3y＋13＝0.
法二　（1）由l'与l平行，可设l'的方程为3x＋4y＋m＝0.将点（－1，3）代入上式得m＝－9.
所以所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.
（2）由l'与l垂直，可设l'的方程为4x－3y＋n＝0.
将（－1，3）代入上式得n＝13.
所以所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.
【例4】　A　法一　由题知，两条直线l1：（a－1）x＋2y＋1＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行，则a（a－1）＝2，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，直线l1：－2x＋2y＋1＝0与l2：x－y＋1＝0平行；当a＝2时，直线l1：x＋2y＋1＝0与l2：x＋2y＋1＝0重合（舍去）.综上，a＝－1.故选A.
法二　因为两直线平行且x，y前的系数不为0，所以＝≠，解得a＝－1.故选A.
跟踪训练
1.A　依题意可设所求直线方程为3x＋2y＋c＝0，又直线l过点（－1，2），代入可得c＝－1，故所求直线方程为3x＋2y－1＝0.
2.0　1　解析：若l1⊥l2，则1×m＋m×1＝0，得m＝0；若l1∥l2，则m2－1＝0，且（－1－m）×1－m（－2m－2）≠0，解得m＝1.
【例5】　（1）[1，＋∞）　（2）3x＋y＝0或x＋y＋2＝0　解析：（1）把直线l的方程化成斜截式，得y＝（1－m）x＋m，因为直线l不过第三象限，所以该直线的斜率小于等于零，且直线在y轴上的截距大于等于零，即解得m的取值范围为[1，＋∞）.
（2）当直线l过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距都为零，显然相等，则（a＋1）×0＋0＋2－a＝0，∴a＝2，即l的方程为3x＋y＝0；当直线l不过原点，即a≠2时，其方程可化为＋＝1，由l在两坐标轴上的截距相等得＝a－2，即a＋1＝1，∴a＝0，即l的方程为x＋y＋2＝0.综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
跟踪训练
　解：（1）因为直线l的斜率存在，
所以直线l的方程可化为y＝－x＋2，
由题意得－＝－1，解得k＝5.
（2）直线l的方程可化为＋＝1，
由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.
随堂检测
1.C　由＋＝1，得4x＋3y＝12，即4x＋3y－12＝0.
2.C　直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°，故选C.
3.B　因为A1A2＋B1B2＝1×2－2×1＝0，所以两直线垂直.
4.解：（1）因为直线经过点B（－，2），倾斜角是30°，所以斜率为，所以直线的点斜式方程为y－2＝（x＋），即x－y＋2＋＝0.
（2）设所求直线方程为y＝－x＋b，
将点（1，2）的坐标代入可得b＝1＋2＝3，
所以所求的直线方程为y＝－x＋3，即x＋y－3＝0.
2 / 3(共62张PPT)
2.2.3　
直线的一般式方程
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
新课程标准解读 核心素养
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方
程的一般式 数学抽象、
逻辑推理
2.会进行直线方程的五种形式间的转化 逻辑推理、
数学运算
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　前面学习了直线方程的四种形式，但它们各自有自己的适用条
件，也就是说上述方程形式不是对任何直线都适用.
【问题】　是否存在一种方程形式，对任何直线都适用？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知识点　直线的一般式方程
1. 定义：关于 x ， y 的二元一次方程 （其中 A ， B
不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式.
Ax ＋ By ＋ C ＝0　
2. 一般式与其他形式的互化
提醒　系数的几何意义：①当 B ≠0时，则－ ＝ k （斜率），－
＝ b （ y 轴上的截距）；②当 B ＝0， A ≠0时，则－ ＝ a （ x 轴上
的截距），此时不存在斜率.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于 x ， y 的
二元一次方程 Ax ＋ By ＋ C ＝0来表示. （　√　）
（2）垂直于 x 轴的直线方程可表示为 Ax ＋ C ＝0（ A ≠0）.
（　√　）
（3）直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝0的斜率为－ . （　×　）
（4）当 C ＝0时，方程 Ax ＋ By ＋ C ＝0表示过原点的直线.
（　√　）
√
√
×
√
2. 若方程 Ax ＋ By ＋ C ＝0表示直线，则 A ， B 应满足的条件为
（　　）
A. A ≠0 B. B ≠0
C. A · B ≠0 D. A2＋ B2≠0
解析： 　根据直线方程的一般式可知，要使 Ax ＋ By ＋ C ＝0表示
直线，则 A ， B 不能同时为0，即 A2＋ B2≠0.故选D.
3. 若直线 l 的方程为2 x ＋ y ＋3＝0，求直线 l 的纵截距、横截距及斜率.
解：在2 x ＋ y ＋3＝0中，令 x ＝0，得 y ＝－3，故直线 l 的纵截距为
－3.
令 y ＝0，得 x ＝－ ，
故直线 l 的横截距为－ ，
2 x ＋ y ＋3＝0，即 y ＝－2 x －3，故直线 l 的斜率为－2.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 直线的一般式方程
角度1　求直线的一般式方程
【例1】　根据下列条件求直线的一般式方程：
（1）直线的斜率为2，且经过点 A （1，3）；
解： 因为 k ＝2，且经过点 A （1，3），由直线的点斜式方
程可得 y －3＝2（ x －1），整理可得2 x － y ＋1＝0，所以直线的
一般式方程为2 x － y ＋1＝0.
（2）斜率为 ，且在 y 轴上的截距为4；
解： 由直线的斜率 k ＝ ，且在 y 轴上的截距为4，得直
线的斜截式方程为 y ＝ x ＋4.
整理可得直线的一般式方程为 x － y ＋4＝0.
（3）经过两点 A （2，－3）， B （－1，－5）；
解： 由直线的两点式方程可得 ＝ ，整理得直
线的一般式方程为2 x －3 y －13＝0.
（4）在 x ， y 轴上的截距分别为2，－4.
解： 由直线的截距式方程可得 ＋ ＝1，整理得直线的
一般式方程为2 x － y －4＝0.
通性通法
求直线一般式方程的策略
　　在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据
给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式.
角度2　直线的一般式方程的几何意义
【例2】　（2024·济源质检）求下列直线的斜率以及在两坐标轴上的
截距，并画出图形.
（1）－ － ＝1；
解： 将直线的方程化为斜截式为 y ＝－
x －3，因此该直线的斜率为－ ，在 y 轴上
的截距是－3.令 y ＝0，得 x ＝－4，即直线在
x 轴上的截距是－4.图形如图①所示.
（2）4 x －6 y ＋3＝0.
解： 将直线的方程化为斜截式为 y ＝ x
＋ ，在 y 轴上的截
距是 .令 y ＝0，得 x ＝－ ，即直线在 x 轴上
的截距是－ .图形如图②所示.
通性通法
　　由直线的一般式方程 Ax ＋ By ＋ C ＝0（ A 、 B 不同时为0）求直线
在两坐标轴上的截距时，令 x ＝0，得直线在 y 轴上的截距；令 y ＝0，
得直线在 x 轴上的截距.由两截距的位置可知直线的位置.
【跟踪训练】
　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
（1）斜率为4，在 y 轴上的截距为－2；
解： y ＝4 x －2，即4 x － y －2＝0.
（2）在 y 轴上的截距为3，且平行于 x 轴；
解： y ＝3，即 y －3＝0.
（3）经过 C （－1，5）， D （2，－1）两点.
解： 由两点式方程得 ＝ ，即2 x ＋ y －3＝0.
题型二 一般式下两直线的平行或垂直
角度1　由平行、垂直求直线方程
【例3】　（2024·莆田月考）已知直线 l 的方程为3 x ＋4 y －12＝0，求
满足下列条件的直线l'的方程：
（1）过点（－1，3），且与 l 平行；
（1）因为l'与 l 平行，所以l'的斜率为－ .
又因为l'过点（－1，3），
所以由点斜式知l'的方程为 y －3＝－ （ x ＋1），
即3 x ＋4 y －9＝0.
解：法一　 l 的方程可化为 y ＝－ x ＋3，所以 l 的斜率为－ .
法二　 由l'与 l 平行，可设l'的方程为3 x ＋4 y ＋ m ＝0.将点（－
1，3）代入上式得 m ＝－9.
所以所求直线的方程为3 x ＋4 y －9＝0.
（2）过点（－1，3），且与 l 垂直.
解：法一　因为l'与 l 垂直，所以l'的斜率为 ，又l'过点（－1，3），
所以由点斜式可得方程为 y －3＝ （ x ＋1），
即4 x －3 y ＋13＝0.
法二　由l'与 l 垂直，可设l'的方程为4 x －3 y ＋ n ＝0.
将（－1，3）代入上式得 n ＝13.
所以所求直线的方程为4 x －3 y ＋13＝0.
通性通法
与已知直线平行（垂直）的直线方程的求法
（1）与直线 Ax ＋ By ＋ C ＝0平行的直线方程可设为 Ax ＋ By ＋ m ＝0
（ m ≠ C ）；
（2）与直线 Ax ＋ By ＋ C ＝0垂直的直线方程可设为 Bx － Ay ＋ m ＝0.
角度2　由直线的平行、垂直求参数
【例4】　已知两条直线 l1：（ a －1） x ＋2 y ＋1＝0与 l2： x ＋ ay ＋1
＝0平行，则 a ＝（　　）
A. －1 B. 2
C. 0或－2 D. －1或2
解析： 　法一　由题知，两条直线 l1：（ a －1） x ＋2 y ＋1＝0与
l2： x ＋ ay ＋1＝0平行，则 a （ a －1）＝2，解得 a ＝－1或 a ＝2.当 a
＝－1时，直线 l1：－2 x ＋2 y ＋1＝0与 l2： x － y ＋1＝0平行；当 a ＝2
时，直线 l1： x ＋2 y ＋1＝0与 l2： x ＋2 y ＋1＝0重合（舍去）.综上， a
＝－1.故选A.
法二　因为两直线平行且 x ， y 前的系数不为0，所以 ＝ ≠ ，解
得 a ＝－1.故选A.
通性通法
利用一般式解决直线平行、垂直问题的策略
直线 l1： A1 x ＋ B1 y ＋ C1＝0，直线 l2： A2 x ＋ B2 y ＋ C2＝0.
（1）若 l1∥ l2 A1 B2－ A2 B1＝0且 B1 C2－ B2 C1≠0（或 A1 C2－ A2
C1≠0）；
（2）若 l1⊥ l2 A1 A2＋ B1 B2＝0.
【跟踪训练】
1. 直线 l 过点（－1，2），且与直线2 x －3 y ＋4＝0垂直，则 l 的方程
是（　　）
A. 3 x ＋2 y －1＝0 B. 3 x ＋2 y ＋7＝0
C. 2 x －3 y ＋5＝0 D. 2 x －3 y ＋8＝0
解析： 　依题意可设所求直线方程为3 x ＋2 y ＋ c ＝0，又直线
l 过点（－1，2），代入可得 c ＝－1，故所求直线方程为3 x ＋2
y －1＝0.
2. （2024·梅州月考）已知直线 l1： x ＋ my －2 m －2＝0，直线 l2： mx
＋ y －1－ m ＝0，则当 l1⊥ l2时， m ＝ 　　；当 l1∥ l2时， m ＝ 　　.
0　
解析：若 l1⊥ l2，则1× m ＋ m ×1＝0，得 m ＝0；若 l1∥ l2，则 m2－1
＝0，且（－1－ m ）×1－ m （－2 m －2）≠0，解得 m ＝1.
1
题型三 由含参一般式求参数的值（范围）
【例5】　（1）（2024·泰州质检）设直线 l 的方程为（ m －1） x ＋ y
－ m ＝0（ m ∈R）.若直线 l 不过第三象限，则 m 的取值范围为 　　 ；
[1，＋∞）　
解析： 把直线 l 的方程化成斜截式，得 y ＝（1－ m ） x ＋
m ，因为直线 l 不过第三象限，所以该直线的斜率小于等于零，
且直线在 y 轴上的截距大于等于零，即解得 m 的取
值范围为[1，＋∞）.
（2）直线 l 的方程为（ a ＋1） x ＋ y ＋2－ a ＝0（ a ∈R）.若 l 在两坐
标轴上的截距相等，则 l 的方程为 　 　.
3 x ＋ y ＝0或 x ＋ y ＋2＝0
解析：当直线 l 过原点时，该直线在 x 轴和 y 轴上的截距都为
零，显然相等，则（ a ＋1）×0＋0＋2－ a ＝0，∴ a ＝2，即 l 的
方程为3 x ＋ y ＝0；当直线 l 不过原点，即 a ≠2时，其方程可化
为 ＋ ＝1，由 l 在两坐标轴上的截距相等得 ＝ a －2，
即 a ＋1＝1，∴ a ＝0，即 l 的方程为 x ＋ y ＋2＝0.综上， l 的方程
为3 x ＋ y ＝0或 x ＋ y ＋2＝0.
通性通法
由含参一般式求参数的值（范围）的策略
（1）要掌握各种形式的直线方程的基本类型和对应的限制条件；
（2）已知直线过（不过）某个象限，求参数值（范围）时，常用直
线的斜截式方程进行求解，但要注意斜率为0或不存在的情况.
【跟踪训练】
　设直线 l 的方程为2 x ＋（ k －3） y －2 k ＋6＝0（ k ≠3），根据下列
条件分别确定 k 的值：
（1）直线 l 的斜率为－1；
解： 因为直线 l 的斜率存在，
所以直线 l 的方程可化为 y ＝－ x ＋2，
由题意得－ ＝－1，解得 k ＝5.
（2）直线 l 在 x 轴、 y 轴上的截距之和等于0.
解： 直线 l 的方程可化为 ＋ ＝1，
由题意得 k －3＋2＝0，解得 k ＝1.
1. 直线 ＋ ＝1化成一般式方程为（　　）
C. 4 x ＋3 y －12＝0 D. 4 x ＋3 y ＝12
解析： 　由 ＋ ＝1，得4 x ＋3 y ＝12，即4 x ＋3 y －12＝0.
2. 在直角坐标系中，直线 x ＋ y －3＝0的倾斜角是（　　）
A. 30° B. 60°
C. 150° D. 120°
解析： 　直线斜率 k ＝－ ，所以倾斜角为150°，故选C.
3. （2024·东营月考）两条直线 x ＋2 y ＋ m ＝0和2 x － y ＋ n ＝0的位置
关系是（　　）
A. 平行 B. 垂直
C. 不平行也不垂直 D. 与 m ， n 的取值有关
解析： 因为 A1 A2＋ B1 B2＝1×2－2×1＝0，所以两直线垂直.
4. 分别写出满足下列条件的直线方程，并化成一般式：
（1）经过点 B （－ ，2），倾斜角是30°；
解： 因为直线经过点 B （－ ，2），倾斜角是30°，所
以斜率为 ，所以直线的点斜式方程为 y －2＝ （ x ＋
x － y ＋2＋ ＝0.
（2）经过点（1，2）且与直线 x － y ＋1＝0垂直.
解： 设所求直线方程为 y ＝－ x ＋ b ，
将点（1，2）的坐标代入可得 b ＝1＋2＝3，
所以所求的直线方程为 y ＝－ x ＋3，即 x ＋ y －3＝0.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 直线3 x －2 y －4＝0的截距式方程是（　　）
解析： 　由3 x －2 y －4＝0，得3 x －2 y ＝4，即 x － y ＝1，即
＋ ＝1，所以直线的截距式方程为 ＋ ＝1.
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2. 倾斜角为60°，在 y 轴上的截距为－1的直线方程是（　　）
解析： 　由题意知，直线斜率 k ＝tan 60°＝ ，在 y 轴上的截距
为－1，所以直线的斜截式方程是 y ＝ x －1，化为一般式为 x
－ y －1＝0.
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3. 方程 Ax ＋ By ＋ C ＝0表示倾斜角为锐角的直线，则必有（　　）
A. AB ＞0 B. AB ＜0
C. A ＞0且 B ＜0 D. A ＞0或 B ＜0
解析： 　因为倾斜角为锐角，所以 k ＝－ ＞0，所以 AB ＜0.
故选B.
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4. （2024·南京月考）已知直线 l 过点（2，3）且与直线 m ： x －2 y ＋5
＝0平行，则直线 l 的方程为（　　）
A. 2 x ＋ y －7＝0 B. 2 x － y －1＝0
C. x －2 y ＋4＝0 D. x －2 y ＋1＝0
解析： 　法一　因为直线 l 与直线 m ： x －2 y ＋5＝0平行，所以直
线 l 的斜率为 .又直线 l 过点（2，3），所以直线 l 的方程为 y －3＝
（ x －2），即 x －2 y ＋4＝0.故选C.
法二　因为 l ∥ m ，所以可设 l ： x －2 y ＋ c ＝0.又 l 过点（2，
3），所以2－2×3＋ c ＝0，解得 c ＝4.所以直线 l 的方程为 x －2 y
＋4＝0.故选C.
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5. （多选）下列说法正确的是（　　）
A. 直线 y ＝ ax －2 a （ a ∈R）必过点（2，0）
B. 直线 y ＋1＝3 x 在 y 轴上的截距为1
D. 过点（－2，3）且垂直于直线 x －2 y ＋3＝0的直线方程为2 x ＋ y ＋
1＝0
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解析： 　A项，将点（2，0）代入直线方程知正确；B项，令 x
＝0得 y ＝－1，故在 y 轴上的截距为－1，错误；C项，由直线方程
知：斜率为－ ，则倾斜角为150°，错误；D项，由2 x ＋ y ＋1＝
0， x －2 y ＋3＝0的斜率分别为－2， ，则有－2× ＝－1，故相互
垂直，将点（－2，3）代入方程2 x ＋ y ＋1＝0得2×（－2）＋3＋1
＝0，故正确.故选A、D.
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6. （多选）已知直线 l1： x ＋ my －1＝0， l2：（ m －2） x ＋3 y ＋3＝
0，则下列说法正确的是（　　）
A. 若 l1∥ l2，则 m ＝－1
B. 若 l1∥ l2，则 m ＝3
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解析： 　若直线 l1∥ l2，则3－ m （ m －2）＝0，解得 m ＝3或 m
＝－1.当 m ＝－1时，两直线的方程分别为 x － y －1＝0，－3 x ＋3 y
＋3＝0（即 x － y －1＝0），两直线重合；当 m ＝3时两直线平行，
故A错误，B正确.若 l1⊥ l2，则 m －2＋3 m ＝0，得 m ＝ ，故C错
误，D正确.故选B、D.
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7. 若直线（2 m2－5 m ＋2） x －（ m2－4） y ＋5 m ＝0的倾斜角是45°，
则实数 m ＝ .
解析：由已知得∴ m ＝3.
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8. （2024·济宁月考）已知直线 l 的斜率是直线2 x －3 y ＋12＝0的斜率
的 ， l 在 y 轴上的截距是直线2 x －3 y ＋12＝0在 y 轴上的截距的2
倍，则直线 l 的方程为 .
解析：直线2 x －3 y ＋12＝0的斜率为 ，在 y 轴上截距为4.根据题
意，直线 l 的斜率为 ，在 y 轴上截距为8，所以直线 l 的方程为 y ＝
x ＋8，即 x －3 y ＋24＝0.
x －3 y ＋24＝0　
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9. 若直线的截距式 ＋ ＝1化为斜截式为 y ＝－2 x ＋ b ，化为一般式
为 bx ＋ ay －8＝0且 a ＞0，则 a ＋ b ＝ .
解析：由 ＋ ＝1，得 y ＝－ x ＋ b ，一般式为 bx ＋ ay － ab ＝0，
所以－ ＝－2，－ ab ＝－8，即
因为 a ＞0，所以 a ＝2， b ＝4，所以 a ＋ b ＝6.
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10. 已知直线 l 经过点 P （2，3）且斜率为－ .
（1）求直线 l 的一般式方程；
解： 由点斜式可得直线 l 的方程为 y －3＝－ （ x －2），化为一般式方程可得3 x ＋2 y －12＝0.
（2）求与直线 l 垂直，且过点（－3，1）的直线的一般式方程.
解： 设所求方程为2 x －3 y ＋ n ＝0.因为过点（－3，1），
所以－6－3＋ n ＝0，解得 n ＝9，则所求直线的一般式方程
为2 x －3 y ＋9＝0.
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11. （2024·盐城月考）已知直线 l1： ax ＋ y －2＝0， l2：（ a ＋3） x －
2 by ＋1＝0（ a ＞0， b ＞0）互相垂直，则 的取值范围为
（　　）
D. （3，＋∞）
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解析： 　∵直线 l1： ax ＋ y －2＝0， l2：（ a ＋3） x －2 by ＋1＝0
（ a ＞0， b ＞0）互相垂直，∴ a （ a ＋3）－2 b ＝0，∴ ＝
.∵ a ＞0， b ＞0，∴ ∈（0， ）.∴ 的取值范围为（0，
）.故选B.
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12. （多选）将直线3 x － y ＝0绕原点逆时针旋转90°，再向右平移 m
（ m ∈N*）个单位长度，所得直线的方程可能为（　　）
A. 3 x － y ＋1＝0 B. x ＋3 y －1＝0
C. x ＋3 y －3＝0 D. x ＋3 y ＋3＝0
解析： 　将直线3 x － y ＝0绕原点逆时针旋转90°，得到直线 y
＝－ x ，再向右平移 m （ m ∈N*）个单位长度，所得直线的方程
为 y ＝－ （ x － m ），即 x ＋3 y － m ＝0（ m ∈N*）.故选B、C.
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13. 设 A ， B 是 x 轴上的两点，点 P 的横坐标为2，且｜ PA ｜＝｜
PB ｜，若直线 PA 的斜率为 ，那么直线 PB 的斜率为 　－ 　；若
直线 PA 的方程为 x － y ＋1＝0，则直线 PB 的方程为
.
解析：由题意， PA 与 PB 两直线的倾斜角互补，故 kPB ＝－ kPA ＝－
；因为直线 PA 的方程为 x － y ＋1＝0，∴ kPB ＝－1，由 x ＝2时，
y ＝3，得 P （2，3），∴直线 PB 过点（2，3），故 PB 的方程为 y
－3＝－（ x －2），即 x ＋ y －5＝0.
－ 　
x ＋ y －5＝
0　
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14. 已知直线 l1： ax － by ＋4＝0， l2：（ a －1） x ＋ y ＋ b ＝0，求分别
满足下列条件的 a ， b 的值：
（1） l1⊥ l2，且直线 l1过点 M （－4，－1）；
解： ∵ l1过点 M （－4，－1），∴－4 a ＋ b ＋4＝0.
∵ l1⊥ l2，∴ a ×（ a －1）－ b ＝0.∴
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（2）直线 l1∥ l2，且 l1， l2在 y 轴上的截距互为相反数.
解： 由题意可得，两条直线不可能都经过原点，当 b ＝
0时，两条直线分别化为 ax ＋4＝0，（ a －1） x ＋ y ＝0，可
知两条直线不平行. b ≠0时两条直线分别化为： y ＝ x ＋ ，
y ＝（1－ a ） x － b ，∴ ＝1－ a ， ＝ b ，解得
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15. （2024·杭州月考）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角
形的外心、重心、垂心位于同一条直线上.这条直线被后人称为三
角形的“欧拉线”.已知在平面直角坐标系中，△ ABC 的顶点分别
为 A （0，0）， B （8，0）， C （0，6），则△ ABC 的“欧拉线”
方程为（　　）
A. 3 x ＋4 y －3＝0 B. 3 x －4 y ＝0
C. 3 x －4 y ＋3＝0 D. 3 x ＋4 y ＝0
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解析： 　因为直线 AB 的斜率为 ＝0，直线 AC 的斜率不存在，
所以∠ CAB 为直角，即△ ABC 是直角三角形，则垂心为直角顶点
A （0，0），外心为斜边 BC 的中点 M （4，3）.因为点 A ， M 所在
直线的斜率为 ＝ ，所以“欧拉线”的方程为 y ＝ x ，即3 x －
4 y ＝0.故选B.
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16. （2024·泰安质检）已知集合 A ＝{（ x ， y ） ＝ a ＋1}， B ＝
{（ x ， y ）｜（ a2－1） x ＋（ a －1） y ＝15}，当 a 取何值时， A
∩ B ＝ ？
解：集合 A ， B 分别为点集.
集合 A 表示 l1：（ a ＋1） x － y －2 a ＋1＝0（ x ≠2），
集合 B 表示 l2：（ a2－1） x ＋（ a －1） y －15＝0.
由得 a ＝±1.
①当 a ＝1时， B ＝ ， A ∩ B ＝ ；
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②当 a ＝－1时，集合 A 表示直线 y ＝3（ x ≠2），
集合 B 表示直线 y ＝－ ，两直线平行. A ∩ B ＝ ；
③由 l1可知（2，3） A ，当（2，3）∈ B ，即2（ a2－1）＋3（ a
－1）－15＝0时，可得 a ＝－4或 a ＝ ，此时 A ∩ B ＝ .
综上可知，当 a 的值为－4，－1，1， 时， A ∩ B ＝ .
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