资源简介

2.3.1　两条直线的交点坐标
　
1.已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是（　　）
A. B.
C. D.
2.（2024·镇江月考）下列直线中，与直线x＋y－1＝0相交的是（　　）
A.2x＋2y＝6 B.x＋y＝0
C.y＝－x－3 D.y＝x－1
3.（2024·枣庄质检）已知方程kx－y－1＝3k，当实数k变化时，方程表示的所有直线都通过的定点坐标为（　　）
A.（0，0） B.（0，1）
C.（3，1） D.（3，－1）
4.已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y－12＝0互相垂直，则垂足的坐标为（　　）
A.（1，－2） B.（－1，2）
C.（－2，1） D.（2，－1）
5.过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为（　　）
A.3x－19y＝0 B.3x＋19y＝0
C.19x＋3y＝0 D.19x－3y＝0
6.（多选）已知直线l1：3x＋y－1＝0与l2：x＋2y－7＝0，则下列说法正确的是（　　）
A.l1与l2的交点坐标是（0，－1）
B.过l1与l2的交点且与l1垂直的直线的方程为x－3y＋13＝0
C.l1，l2与x轴围成的三角形的面积是
D.l1的倾斜角是锐角
7.已知直线Ax＋3y＋C＝0与直线2x－3y＋4＝0的交点在y轴上，则C＝　　　　.
8.若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx－2y－5＝0相交于同一点，则实数m＝　　　　.
9.（2024·绍兴月考）若一条直线经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且该直线的一个方向向量为v＝（2，4），则该直线的方程为　　　　.
10.已知直线l1的方程为x＋2y－4＝0，l2在x轴上的截距为，且l1⊥l2.
（1）求直线l1与l2的交点坐标；
（2）已知直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求l3的方程.
11.已知直线kx－y＋2k＋1＝0与直线x＋2y－4＝0的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（　　）
A.（－6，2） B.（－，0）
C.（－，－） D.（，＋∞）
12.（2024·广州月考）已知直线y－1＝k（x－1）恒过定点A，且点A在直线mx＋ny－2＝0（m＞0，n＞0）上，则mn的最大值为　　　　.
13.（2024·周口月考）已知两直线l1：x－2y＋4＝0，l2：4x＋3y＋5＝0.若直线l3：ax＋2y－6＝0与l1，l2不能构成三角形，则满足条件的实数a＝　　　　.
14.已知直线l：（m－2）x－（m＋1）y＋3m＝0（m∈R），直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0.
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）设（1）中的定点为P，l与l1，l2的交点分别为A，B，若P恰为AB的中点，求m.
15.△ABC的三个顶点分别为A（0，3），B（3，3），C（2，0），如果直线x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分，则实数a＝（　　）
A. B.1＋
C.1＋ D.2－
16.（2024·湛江月考）已知△ABC的顶点B（3，4），AB边上的高所在的直线方程为x＋y－3＝0，E为BC的中点，且AE所在的直线方程为x＋3y－7＝0.
（1）求顶点A的坐标；
（2）求过点E且在x轴，y轴上的截距相等的直线l的方程.
2.3.1　两条直线的交点坐标
1.B　由得故交点为.
2.D　直线x＋y－1＝0的斜率为－1，选项A，B，C中的直线斜率均为－1，只有D选项中的直线的斜率为1，所以两直线相交，故选D.
3.D　将直线方程化为y＋1＝k（x－3），可得直线过定点（3，－1）.
4.A　由两直线垂直得－×＝－1，解得a＝10.由解得则垂足的坐标为（1，－2）.故选A.
5.B　设过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ（2x＋y＋5）＝0（λ为常数），代入原点坐标，求得λ＝－，故所求直线方程为x－3y＋4－（2x＋y＋5）＝0，即3x＋19y＝0，故选B.
6.BC　联立3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0，解得交点坐标为（－1，4），所以A中说法错误；由所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直得所求直线的斜率为，由点斜式得y－4＝（x＋1），即x－3y＋13＝0，所以B中说法正确；l1，l2与x轴围成的三角形的面积S＝×（7－）×4＝，所以C中说法正确；l1的斜率k1＝－3＜0，所以l1的倾斜角是钝角，所以D中说法错误.
7.－4　解析：因为两直线的交点在y轴上，且直线2x－3y＋4＝0与y轴的交点坐标是（0，），所以点（0，）在直线Ax＋3y＋C＝0上，则A×0＋3×＋C＝0，解得C＝－4.
8.9　解析：联立解得即（1，2）为三条直线的交点坐标，把（1，2）代入直线方程mx－2y－5＝0，得m－2×2－5＝0，即m＝9.
9.2x－y－1＝0　解析：联立方程解得所以直线l1与l2的交点为（1，1），因为所求直线的一个方向向量为v＝（2，4），所以该直线的斜率为2，故该直线的方程为y－1＝2（x－1），即2x－y－1＝0.
10.解：（1）设l2的方程为 2x－y＋m＝0.
因为l2在x轴上的截距为.
所以2×－0＋m＝0，解得m＝－3，
即l2：2x－y－3＝0.
由得
所以直线l1与l2的交点坐标为（2，1）.
（2）当l3过原点时，l3的方程为y＝x；
当l3不过原点时，设l3的方程为＋＝1，
则＋＝1，得a＝，
所以l3的方程为2x＋y－5＝0.
综上，l3的方程为x－2y＝0或2x＋y－5＝0.
11.C　联立解得由直线kx－y＋2k＋1＝0与x＋2y－4＝0的交点在第四象限可得解得－＜k＜－，即实数k的取值范围为（－，－）.故选C.
12.1　解析：已知直线y－1＝k（x－1），令得∴直线y－1＝k（x－1）恒过定点A（1，1）.将点A（1，1）的坐标代入mx＋ny－2＝0，得m＋n＝2.又m＞0，n＞0，∴mn≤（）2＝1（当且仅当m＝n＝1时，等号成立）.∴mn的最大值为1.
13.－1或或－2　解析：由题意可得，①当l3∥l1时，不能构成三角形，此时a×（－2）＝1×2，解得a＝－1；②当l3∥l2时，不能构成三角形，此时a×3＝4×2，解得a＝；③当l3过l1与l2的交点时，不能构成三角形，此时联立l1与l2的方程，得解得所以l1与l2过点（－2，1），将（－2，1）代入ax＋2y－6＝0得a×（－2）＋2×1－6＝0，解得a＝－2.综上，当a＝－1，，－2时，不能构成三角形.
14.解：（1）证明：（m－2）x－（m＋1）y＋3m＝0可化为m（x－y＋3）－（2x＋y）＝0，
由于m∈R，则解得
即直线l恒过定点（－1，2）.
所以直线l恒过定点.
（2）由（1）知P（－1，2），不妨设A（x0，y0），
因为P恰为AB的中点，所以B（－2－x0，4－y0）.
因为A，B分别在直线l1和直线l2上，
所以
解得所以A（－2，5）.
将A（－2，5）代入直线l的方程，解得m＝－.
所以m的值为－.
15.A　lAC：＋＝1，即3x＋2y－6＝0.由得因为S△ABC＝，所以×a×（3－）＝，得a＝或a＝－（舍去）.
16.解：（1）由已知得kAB＝1，∴直线AB的方程为y－4＝x－3，即x－y＋1＝0.
由解得
∴点A的坐标为（1，2）.
（2）设E（x0，y0），则C（2x0－3，2y0－4），则
解得∴E（4，1）.
∵直线l在x轴，y轴上的截距相等，∴当直线l经过原点时，设直线l的方程为y＝kx，把点E（4，1）代入，得1＝4k，解得k＝，此时直线l的方程为x－4y＝0.
当直线l不经过原点时，设直线l的方程为＋＝1，把点E（4，1）代入，得＋＝1，解得a＝5，此时直线l的方程为x＋y－5＝0，
∴直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.
2 / 22.3.1　两条直线的交点坐标
新课程标准解读 核心素养
1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标 数学运算
2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系 逻辑推理
　　在平面几何中研究了两直线的位置关系，有且只有以下三种几何特征：①平行；②重合；③相交.
【问题】　（1）在解析几何中，具有上述三种位置关系的直线，它们的代数特征各是什么？
（2）如何求两直线相交时的交点坐标？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　两直线的交点坐标
1.定义：已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，将方程联立，得方程组若方程组有　　　，则两条直线相交，此解就是交点的坐标.
2.两直线l1，l2位置关系的判断方法
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点个数 　　个 无数个 　 个
直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解.（　　）
（2）若两条直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交.（　　）
（3）无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交.（　　）
2.直线l1：2x＋y－3＝0与l2：x－y＋6＝0交点的坐标是（　　）
A.（－1，5）　　　　　　B.（1，1）
C.（－2，4） D.（2，－1）
3.方程组解的个数是（　　）
A.0 B.1
C.2 D.无数个
题型一 两直线相交问题
【例1】　分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点坐标：
（1）l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
（2）l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0.
通性通法
　　用代数方法求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直线的方程，然后联立求解.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数个解，则两条直线重合.
【跟踪训练】
1.（2024·嘉兴月考）两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为（　　）
A.（3，2）　　　　　　　B.（2，3）
C.（－2，－3） D.（－3，－2）
2.已知直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：2x－by－1＝0相交于点M（1，1），则a＋b＝　　　　.
题型二 求过两直线交点的直线
【例2】　（2024·河源月考）求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程.
【母题探究】
　（变条件）本例中若将“平行”改为“垂直”，其他条件不变，如何求解？
通性通法
过两条直线交点的直线方程的求法
（1）常规解法（方程组法）：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；
（2）特殊解法（直线系法）：先设出过两条直线交点的直线系方程，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程.
提醒　过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0）.
【跟踪训练】
　直线l经过（1，2），且经过直线2x＋3y＋8＝0与x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为（　　）
A.2x＋y＝0 B.2x－y＝0
C.x＋2y＝0 D.x－2y＝0
题型三 直线过定点问题
【例3】　（2024·阳江质检）不论m为何值，直线（m－1）x＋（2m－1）y＝m－5恒过一定点P，求点P的坐标.
通性通法
解直线恒过定点问题的策略
（1）将方程化为点斜式y－y0＝k（x－x0），其中k为参数，求得直线恒过定点（x0，y0）；
（2）赋值法：因为参数可取任意实数，所以给参数任取两次值，得到关于x，y的二元一次方程组，解方程组可得x，y的值，即为直线过的定点；
（3）分离参数法：将方程变形，把x，y作为参数的系数，即有参数的放在一起，没参数的放在一起，因为此式子对任意的参数的值都成立，所以需系数为零，解方程组可得x，y的值，即为直线过的定点.
【跟踪训练】
　无论实数a取何值，方程（a－1）x－y＋2a－1＝0表示的直线恒过定点，试求该定点.
1.直线x＋2y－4＝0与直线2x－y＋2＝0的交点坐标是（　　）
A.（2，0）　　　　　　　 B.（2，1）
C.（0，2） D.（1，2）
2.直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k＝（　　）
A.－24 B.24
C.6 D.±6
3.（2024·焦作月考）直线（a－1）x－y＋2a＋1＝0恒过定点　　　　.
4.分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点坐标：
（1）l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3；
（2）l1：5x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0.
2.3.1　两条直线的交点坐标
【基础知识·重落实】
知识点
1.唯一解　2.1　0　
自我诊断
1.（1）√　（2）×　（3）×
2.A
3.A
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）方程组的解为因此直线l1和l2相交，交点坐标为（3，－1）.
（2）方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合.
跟踪训练
1.B　联立解得∴两条直线的交点坐标为（2，3）.
2.－1　解析：∵直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：2x－by－1＝0相交于点M（1，1），∴ ∴a＋b＝－2＋1＝－1.
【例2】　解：法一　解方程组得
所以两直线的交点坐标为.又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3.
故所求直线方程为y＋＝－3（x＋），即15x＋5y＋16＝0.
法二　设所求直线方程为（2x－3y－3）＋λ（x＋y＋2）＝0，即（2＋λ）x＋（λ－3）y＋（2λ－3）＝0.（*）
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以有
得λ＝，代入（*）式得x＋y＋（2×－3）＝0，即15x＋5y＋16＝0.
母题探究
　解：设所求直线方程为（2x－3y－3）＋λ（x＋y＋2）＝0，即（2＋λ）x＋（λ－3）y＋（2λ－3）＝0，由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，则3（2＋λ）＋（λ－3）×1＝0，得λ＝－，所以所求直线方程为5x－15y－18＝0.
跟踪训练
　B　设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ（x－y－1）＝0，即（2＋λ）x＋（3－λ）y＋8－λ＝0.因为l过（1，2），所以（2＋λ）＋2（3－λ）＋8－λ＝0，解得λ＝8.则直线l的方程为2x－y＝0.故选B.
【例3】　解：法一　当m＝1时，直线方程为y＝－4；
当m＝时，直线方程为x＝9，这两条直线的交点为（9，－4）.
又当x＝9，y＝－4时，9（m－1）＋（－4）·（2m－1）＝m－5，即点（9，－4）在直线（m－1）x＋（2m－1）y＝m－5上，故无论m取何值，直线（m－1）x＋（2m－1）y＝m－5都过定点P（9，－4）.
法二　∵（m－1）x＋（2m－1）y＝m－5，∴m（x＋2y－1）－（x＋y－5）＝0，则无论m取何值，直线（m－1）x＋（2m－1）y＝m－5都过直线x＋2y－1＝0与x＋y－5＝0的交点.
解方程组得即交点为P（9，－4）.
故不论m取何值，直线（m－1）x＋（2m－1）y＝m－5都过定点P（9，－4）.
跟踪训练
解：由（a－1）x－y＋2a－1＝0，得－x－y－1＋a（x＋2）＝0.所以已知直线恒过直线－x－y－1＝0与直线x＋2＝0的交点.
解方程组得
所以方程（a－1）x－y＋2a－1＝0表示的直线恒过定点（－2，1）.
随堂检测
1.C　解方程组得即直线x＋2y－4＝0与直线2x－y＋2＝0的交点坐标是（0，2）.
2.A　因为直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，可设交点坐标为（a，0），所以解得故选A.
3.（－2，3）　解析：由题意得a（x＋2）＋（－x－y＋1）＝0，令解得∴该直线恒过定点（－2，3）.
4.解：（1）方程组无解，
这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.
（2）解方程组得
所以l1与l2相交，且交点坐标为（－，）.
2 / 3(共60张PPT)
2.3.1　
两条直线的交点坐标
新课程标准解读 核心素养
1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标 数学运算
2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　在平面几何中研究了两直线的位置关系，有且只有以下三种几何
特征：①平行；②重合；③相交.
【问题】　（1）在解析几何中，具有上述三种位置关系的直线，它
们的代数特征各是什么？
（2）如何求两直线相交时的交点坐标？
知识点　两直线的交点坐标
1. 定义：已知两条直线 l1： A1 x ＋ B1 y ＋ C1＝0， l2： A2 x ＋ B2 y ＋ C2＝
0，将方程联立，得方程组若方程组有
，则两条直线相交，此解就是交点的坐标.
唯一
解　
一组 无数组 无解
直线 l1与 l2的公共点个数 个 无数个
个
直线 l1与 l2的位置关系 相交 重合 平行
1　
0　
2. 两直线 l1， l2位置关系的判断方法
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元
一次方程组的解. （　√　）
（2）若两条直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交.
（　×　）
（3）无论 m 为何值， x － y ＋1＝0与 x －2 my ＋3＝0必相交.
（　×　）
√
×
×
2. 直线 l1：2 x ＋ y －3＝0与 l2： x － y ＋6＝0交点的坐标是（　　）
A. （－1，5） B. （1，1）
C. （－2，4） D. （2，－1）
3. 方程组解的个数是（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 无数个
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 两直线相交问题
【例1】　分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点
坐标：
（1） l1：2 x － y ＝7和 l2：3 x ＋2 y －7＝0；
解： 方程组因此直线 l1
和 l2相交，交点坐标为（3，－1）.
（2） l1：2 x －6 y ＋4＝0和 l2：4 x －12 y ＋8＝0.
解： 方程组有无数个解，这表明直线 l1
和 l2重合.
通性通法
　　用代数方法求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直线的方
程，然后联立求解.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组
若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就
是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线
平行；若方程组有无数个解，则两条直线重合.
【跟踪训练】
1. （2024·嘉兴月考）两条直线 l1：2 x － y －1＝0与 l2： x ＋3 y －11＝0
的交点坐标为（　　）
A. （3，2） B. （2，3）
C. （－2，－3） D. （－3，－2）
解析： 　联立∴两条直线的交
点坐标为（2，3）.
2. 已知直线 l1： ax ＋ y ＋1＝0与 l2：2 x － by －1＝0相交于点 M （1，
1），则 a ＋ b ＝ .
解析：∵直线 l1： ax ＋ y ＋1＝0与 l2：2 x － by －1＝0相交于点 M
（1，1），∴
∴ a ＋ b ＝－2＋1＝－1.
－1　
题型二 求过两直线交点的直线
【例2】　（2024·河源月考）求过两直线2 x －3 y －3＝0和 x ＋ y ＋2＝
0的交点且与直线3 x ＋ y －1＝0平行的直线方程.
解：法一　解方程组
所以两直线的交点坐标为 .又所求直线与直线3 x ＋ y －1＝0
平行，所以所求直线的斜率为－3.
故所求直线方程为 y ＋ ＝－3 ，即15 x ＋5 y ＋16＝0.
法二　设所求直线方程为（2 x －3 y －3）＋λ（ x ＋ y ＋2）＝0，即（2
＋λ） x ＋（λ－3） y ＋（2λ－3）＝0.（*）
由于所求直线与直线3 x ＋ y －1＝0平行，所以有
得λ＝ ，代入（*）式得 x ＋ y ＋（2× －3）＝0，
即15 x ＋5 y ＋16＝0.
【母题探究】
　（变条件）本例中若将“平行”改为“垂直”，其他条件不变，如
何求解？
解：设所求直线方程为（2 x －3 y －3）＋λ（ x ＋ y ＋2）＝0，即（2＋
λ） x ＋（λ－3） y ＋（2λ－3）＝0，由于所求直线与直线3 x ＋ y －1＝
0垂直，则3（2＋λ）＋（λ－3）×1＝0，得λ＝－ ，所以所求直线方
程为5 x －15 y －18＝0.
通性通法
过两条直线交点的直线方程的求法
（1）常规解法（方程组法）：一般是先解方程组求出交点坐标，再
结合其他条件写出直线方程；
（2）特殊解法（直线系法）：先设出过两条直线交点的直线系方
程，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线
方程.
提醒　过两条已知直线 A1 x ＋ B1 y ＋ C1＝0， A2 x ＋ B2 y ＋ C2＝0
交点的直线系方程为 A1 x ＋ B1 y ＋ C1＋λ（ A2 x ＋ B2 y ＋ C2）＝0
（不包括直线 A2 x ＋ B2 y ＋ C2＝0）.
【跟踪训练】
　直线 l 经过（1，2），且经过直线2 x ＋3 y ＋8＝0与 x － y －1＝0的
交点，则直线 l 的方程为（　　）
A. 2 x ＋ y ＝0 B. 2 x － y ＝0
C. x ＋2 y ＝0 D. x －2 y ＝0
解析： 　设所求直线方程为2 x ＋3 y ＋8＋λ（ x － y －1）＝0，即（2
＋λ） x ＋（3－λ） y ＋8－λ＝0.因为 l 过（1，2），所以（2＋λ）＋2
（3－λ）＋8－λ＝0，解得λ＝8.则直线 l 的方程为2 x － y ＝0.故选B.
题型三 直线过定点问题
【例3】　（2024·阳江质检）不论 m 为何值，直线（ m －1） x ＋（2
m －1） y ＝ m －5恒过一定点 P ，求点 P 的坐标.
解：法一　当 m ＝1时，直线方程为 y ＝－4；
当 m ＝ 时，直线方程为 x ＝9，这两条直线的交点为（9，－4）.
又当 x ＝9， y ＝－4时，9（ m －1）＋（－4）（2 m －1）＝ m －5，即
点（9，－4）在直线（ m －1） x ＋（2 m －1） y ＝ m －5上，故无论 m
取何值，直线（ m －1） x ＋（2 m －1） y ＝ m －5都过定点 P （9，－
4）.
法二　∵（ m －1） x ＋（2 m －1） y ＝ m －5，∴ m （ x ＋2 y －1）－
（ x ＋ y －5）＝0，则无论 m 取何值，直线（ m －1） x ＋（2 m －1） y
＝ m －5都过直线 x ＋2 y －1＝0与 x ＋ y －5＝0的交点.
解方程组即交点为 P （9，－4）.
故不论 m 取何值，直线（ m －1） x ＋（2 m －1） y ＝ m －5都过定点 P
（9，－4）.
通性通法
解直线恒过定点问题的策略
（1）将方程化为点斜式 y － y0＝ k （ x － x0），其中 k 为参数，求得直
线恒过定点（ x0， y0）；
（2）赋值法：因为参数可取任意实数，所以给参数任取两次值，得
到关于 x ， y 的二元一次方程组，解方程组可得 x ， y 的值，即为
直线过的定点；
（3）分离参数法：将方程变形，把 x ， y 作为参数的系数，即有参数
的放在一起，没参数的放在一起，因为此式子对任意的参数的
值都成立，所以需系数为零，解方程组可得 x ， y 的值，即为直
线过的定点.
【跟踪训练】
　无论实数 a 取何值，方程（ a －1） x － y ＋2 a －1＝0表示的直线恒
过定点，试求该定点.
解：由（ a －1） x － y ＋2 a －1＝0，得－ x － y －1＋ a （ x ＋2）＝0.
所以已知直线恒过直线－ x － y －1＝0与直线 x ＋2＝0的交点.
解方程组
所以方程（ a －1） x － y ＋2 a －1＝0表示的直线恒过定点（－2，1）.
1. 直线 x ＋2 y －4＝0与直线2 x － y ＋2＝0的交点坐标是（　　）
A. （2，0） B. （2，1）
C. （0，2） D. （1，2）
解析： 　解方程组即直线 x ＋2 y －4
＝0与直线2 x － y ＋2＝0的交点坐标是（0，2）.
2. 直线2 x ＋3 y － k ＝0和直线 x － ky ＋12＝0的交点在 x 轴上，则 k ＝
（　　）
A. －24 B. 24
C. 6 D. ±6
解析： 　因为直线2 x ＋3 y － k ＝0和直线 x － ky ＋12＝0的交点在 x
轴上，可设交点坐标为（ a ，0），所以故选A.
3. （2024·焦作月考）直线（ a －1） x － y ＋2 a ＋1＝0恒过定点
.
解析：由题意得 a （ x ＋2）＋（－ x － y ＋1）＝0，令
∴该直线恒过定点（－2，3）.
（－
2，3）　
4. 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点坐标：
（1） l1：4 x ＋2 y ＋4＝0和 l2： y ＝－2 x ＋3；
解： 方程组无解，
这表明直线 l1和 l2没有公共点，故 l1∥ l2.
（2） l1：5 x ＋4 y －2＝0， l2：2 x ＋ y ＋2＝0.
解： 解方程组
所以 l1与 l2相交，且交点坐标为（－ ）.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知直线 l1：3 x ＋4 y －5＝0与 l2：3 x ＋5 y －6＝0相交，则它们的交
点是（　　）
解析： 　由 .
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2. （2024·镇江月考）下列直线中，与直线 x ＋ y －1＝0相交的是
（　　）
A. 2 x ＋2 y ＝6 B. x ＋ y ＝0
C. y ＝－ x －3 D. y ＝ x －1
解析： 　直线 x ＋ y －1＝0的斜率为－1，选项A，B，C中的直线
斜率均为－1，只有D选项中的直线的斜率为1，所以两直线相交，
故选D.
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3. （2024·枣庄质检）已知方程 kx － y －1＝3 k ，当实数 k 变化时，方
程表示的所有直线都通过的定点坐标为（　　）
A. （0，0） B. （0，1）
C. （3，1） D. （3，－1）
解析： 　将直线方程化为 y ＋1＝ k （ x －3），可得直线过定点
（3，－1）.
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4. 已知直线 ax ＋4 y －2＝0与2 x －5 y －12＝0互相垂直，则垂足的坐标
为（　　）
A. （1，－2） B. （－1，2）
C. （－2，1） D. （2，－1）
解析： 　由两直线垂直得－ × ＝－1，解得 a ＝10.由
则垂足的坐标为（1，－2）.
故选A.
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5. 过两直线 l1： x －3 y ＋4＝0和 l2：2 x ＋ y ＋5＝0的交点和原点的直线
方程为（　　）
A. 3 x －19 y ＝0 B. 3 x ＋19 y ＝0
C. 19 x ＋3 y ＝0 D. 19 x －3 y ＝0
解析： 　设过两直线交点的直线系方程为 x －3 y ＋4＋λ（2 x ＋ y
＋5）＝0（λ为常数），代入原点坐标，求得λ＝－ ，故所求直线
方程为 x －3 y ＋4－ （2 x ＋ y ＋5）＝0，即3 x ＋19 y ＝0，故选B.
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6. （多选）已知直线 l1：3 x ＋ y －1＝0与 l2： x ＋2 y －7＝0，则下列说
法正确的是（　　）
A. l1与 l2的交点坐标是（0，－1）
B. 过 l1与 l2的交点且与 l1垂直的直线的方程为 x －3 y ＋13＝0
D. l1的倾斜角是锐角
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解析： 　联立3 x ＋ y －1＝0与 x ＋2 y －7＝0，解得交点坐标为
（－1，4），所以A中说法错误；由所求直线与直线3 x ＋ y －1＝0
垂直得所求直线的斜率为 ，由点斜式得 y －4＝ （ x ＋1），即 x
－3 y ＋13＝0，所以B中说法正确； l1， l2与 x 轴围成的三角形的面
积 S ＝ ×（7－ ）×4＝ ，所以C中说法正确； l1的斜率 k1＝－3
＜0，所以 l1的倾斜角是钝角，所以D中说法错误.
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7. 已知直线 Ax ＋3 y ＋ C ＝0与直线2 x －3 y ＋4＝0的交点在 y 轴上，则
C ＝ .
解析：因为两直线的交点在 y 轴上，且直线2 x －3 y ＋4＝0与 y 轴的
交点坐标是（0， ），所以点（0， ）在直线 Ax ＋3 y ＋ C ＝0上，
则 A ×0＋3× ＋ C ＝0，解得 C ＝－4.
－4　
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8. 若三条直线 y ＝2 x ， x ＋ y ＝3， mx －2 y －5＝0相交于同一点，则
实数 m ＝ .
解析：联立即（1，2）为三条直线的交
点坐标，把（1，2）代入直线方程 mx －2 y －5＝0，得 m －2×2－5
＝0，即 m ＝9.
9　
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9. （2024·绍兴月考）若一条直线经过两条直线 l1： x ＋ y ＝2， l2：2 x
－ y ＝1的交点，且该直线的一个方向向量为 v ＝（2，4），则该直
线的方程为 .
解析：联立方程所以直线 l1与 l2的交点
为（1，1），因为所求直线的一个方向向量为 v ＝（2，4），所以
该直线的斜率为2，故该直线的方程为 y －1＝2（ x －1），即2 x － y
－1＝0.
2 x － y －1＝0　
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10. 已知直线 l1的方程为 x ＋2 y －4＝0， l2在 x 轴上的截距为 ，且 l1⊥
l2.
（1）求直线 l1与 l2的交点坐标；
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解： 设 l2的方程为 2 x － y ＋ m ＝0.
因为 l2在 x 轴上的截距为 .
所以2× －0＋ m ＝0，解得 m ＝－3，
即 l2：2 x － y －3＝0.
由
所以直线 l1与 l2的交点坐标为（2，1）.
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（2）已知直线 l3经过 l1与 l2的交点，且在 y 轴上的截距是在 x 轴上
的截距的2倍，求 l3的方程.
解： 当 l3过原点时， l3的方程为 y ＝ x ；
当 l3不过原点时，设 l3的方程为 ＋ ＝1，
则 ＋ ＝1，得 a ＝ ，
所以 l3的方程为2 x ＋ y －5＝0.
综上， l3的方程为 x －2 y ＝0或2 x ＋ y －5＝0.
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11. 已知直线 kx － y ＋2 k ＋1＝0与直线 x ＋2 y －4＝0的交点在第四象
限，则实数 k 的取值范围为（　　）
A. （－6，2）
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解析： 　联立由直线 kx
－ y ＋2 k ＋1＝0与 x ＋2 y －4＝0的交点在第四象限可得
解得－ ＜ k ＜－ ，即实数 k 的取值范围为（－
，－ ）.故选C.
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12. （2024·广州月考）已知直线 y －1＝ k （ x －1）恒过定点 A ，且点
A 在直线 mx ＋ ny －2＝0（ m ＞0， n ＞0）上，则 mn 的最大值
为 .
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解析：已知直线 y －1＝ k （ x －1），令
∴直线 y －1＝ k （ x －1）恒过定点 A （1，1）.将点 A
（1，1）的坐标代入 mx ＋ ny －2＝0，得 m ＋ n ＝2.又 m ＞0， n ＞
0，∴ mn ≤（ ）2＝1（当且仅当 m ＝ n ＝1时，等号成立）.
∴ mn 的最大值为1.
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－1或 或－2　
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解析：由题意可得，①当 l3∥ l1时，不能构成三角形，此时 a ×
（－2）＝1×2，解得 a ＝－1；②当 l3∥ l2时，不能构成三角形，
此时 a ×3＝4×2，解得 a ＝ ；③当 l3过 l1与 l2的交点时，不能构成
三角形，此时联立 l1与 l2的方程，得所以 l1与 l2过点（－2，1），将（－2，1）代入 ax ＋2 y
－6＝0得 a ×（－2）＋2×1－6＝0，解得 a ＝－2.综上，当 a ＝－
1， ，－2时，不能构成三角形.
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14. 已知直线 l ：（ m －2） x －（ m ＋1） y ＋3 m ＝0（ m ∈R），直线
l1：4 x ＋ y ＋3＝0和 l2：3 x －5 y －5＝0.
（1）求证：直线 l 恒过定点；
解： 证明：（ m －2） x －（ m ＋1） y ＋3 m ＝0可化为
m （ x － y ＋3）－（2 x ＋ y ）＝0，
由于 m ∈R，则
即直线 l 恒过定点（－1，2）.
所以直线 l 恒过定点.
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（2）设（1）中的定点为 P ， l 与 l1， l2的交点分别为 A ， B ，若 P
恰为 AB 的中点，求 m .
解： 由（1）知 P （－1，2），不妨设 A （ x0， y0），
因为 P 恰为 AB 的中点，所以 B （－2－ x0，4－ y0）.
因为 A ， B 分别在直线 l1和直线 l2上，
所以
解得所以 A （－2，5）.
将 A （－2，5）代入直线 l 的方程，解得 m ＝－ .
所以 m 的值为－ .
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15. △ ABC 的三个顶点分别为 A （0，3）， B （3，3）， C （2，0），
如果直线 x ＝ a 将△ ABC 分割成面积相等的两部分，则实数 a ＝
（　　）
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解析： 　 lAC ： ＋ ＝1，即3 x ＋2 y －6＝0.由
因为 S△ ABC ＝ × a ×（3
－ ）＝ ，得 a ＝ 或 a ＝－ （舍去）.
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16. （2024·湛江月考）已知△ ABC 的顶点 B （3，4）， AB 边上的高所
在的直线方程为 x ＋ y －3＝0， E 为 BC 的中点，且 AE 所在的直线
方程为 x ＋3 y －7＝0.
（1）求顶点 A 的坐标；
解： 由已知得 kAB ＝1，∴直线 AB 的方程为 y －4＝ x －
3，即 x － y ＋1＝0.
由
∴点 A 的坐标为（1，2）.
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（2）求过点 E 且在 x 轴， y 轴上的截距相等的直线 l 的方程.
解： 设 E （ x0， y0），则 C （2 x0－3，2 y0－4），则
解得∴ E （4，1）.
∵直线 l 在 x 轴， y 轴上的截距相等，∴当直线 l 经过原点
时，设直线 l 的方程为 y ＝ kx ，把点 E （4，1）代入，得1＝4
k ，解得 k ＝ ，此时直线 l 的方程为 x －4 y ＝0.
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当直线 l 不经过原点时，设直线 l 的方程为 ＋ ＝1，把点 E
（4，1）代入，得 ＋ ＝1，解得 a ＝5，此时直线 l 的方程
为 x ＋ y －5＝0，
∴直线 l 的方程为 x －4 y ＝0或 x ＋ y －5＝0.
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